Algèbre & Combinatoire · Fiche N°6 / 110

Dénombrement : principe additif et principe multiplicatif

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Le dénombrement est l'art de compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini. Il repose sur deux principes fondamentaux : le principe additif, qui s'applique lorsque l'on choisit entre des options mutuellement exclusives, et le principle multiplicatif, utilisé lorsque l'on effectue une succession de choix indépendants.

💡 Bon réflexe : Avant de calculer, identifie clairement si les choix sont successifs (multiplicatif) ou alternatifs (additif), et gère les contraintes en priorité ou par le complémentaire.
•n₁=3n₂=2Total : 3 × 2 = 6Principe multiplicatif

Méthode — Dénombrement : principe additif et principe multiplicatif

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Étape 1 : Identifier la nature du problème

Déterminez si le problème implique une succession de choix (principe multiplicatif) ou un choix entre plusieurs catégories d'éléments (principe additif). Un problème peut combiner les deux principes.

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Étape 2 : Appliquer le principe multiplicatif pour les choix successifs

Si une tâche est composée de $k$ étapes successives, et que la première étape peut être réalisée de $n_1$ manières, la deuxième de $n_2$ manières, ..., et la $k$-ième de $n_k$ manières, alors le nombre total de façons de réaliser la tâche est le produit $n_1 × n_2 × \dots × n_k$.

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Étape 3 : Appliquer le principe additif pour les choix mutuellement exclusifs

Si un événement peut se produire de $k$ manières différentes, et que ces manières sont mutuellement exclusives (c'est-à-dire qu'elles ne peuvent pas se produire simultanément), alors le nombre total de façons dont l'événement peut se produire est la somme $n_1 + n_2 + \dots + n_k$, où $n_i$ est le nombre de façons pour la $i$-ième manière.

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Étape 4 : Combiner les principes si nécessaire

Dans des problèmes plus complexes, il est souvent nécessaire d'utiliser les deux principes. Par exemple, on peut avoir à calculer le nombre de façons de réaliser une partie d'une tâche (multiplicatif), puis d'additionner ces résultats pour différentes catégories de tâches (additif).

Exemple résolu

Une entreprise fabrique des stylos. Chaque stylo est composé d'un corps, d'un capuchon et d'une mine. Il y a 5 couleurs de corps possibles (bleu, rouge, vert, noir, jaune), 3 couleurs de capuchon possibles (transparent, noir, blanc) et 2 types de mines (fine, moyenne). De plus, l'entreprise propose des stylos de luxe avec un corps métallique (3 couleurs : argent, or, bronze), un capuchon transparent et une mine moyenne. Les stylos de luxe ne peuvent pas avoir de corps en plastique.

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Calculer le nombre de stylos standards (corps en plastique).
Les stylos standards ont un corps en plastique. Il y a 5 choix pour la couleur du corps, 3 choix pour la couleur du capuchon et 2 choix pour le type de mine. Ces choix sont indépendants. En utilisant le principe multiplicatif :
Nombre de stylos standards = $5 × 3 × 2 = 30$.
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Calculer le nombre de stylos de luxe (corps métallique).
Les stylos de luxe ont un corps métallique. Il y a 3 choix pour la couleur du corps métallique, 1 choix pour le capuchon (transparent) et 1 choix pour la mine (moyenne). En utilisant le principe multiplicatif :
Nombre de stylos de luxe = $3 × 1 × 1 = 3$.
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Déterminer si les catégories de stylos sont mutuellement exclusives.
Un stylo ne peut pas être à la fois standard (corps en plastique) et de luxe (corps métallique). Les deux catégories sont donc mutuellement exclusives.
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Calculer le nombre total de stylos différents que l'entreprise peut fabriquer.
Puisque les catégories 'stylos standards' et 'stylos de luxe' sont mutuellement exclusives, nous utilisons le principe additif pour trouver le nombre total de stylos :
Nombre total de stylos = Nombre de stylos standards + Nombre de stylos de luxe
Nombre total de stylos = $30 + 3 = 33$.

L'entreprise peut fabriquer un total de 33 stylos différents.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion entre additif et multiplicatif

  1. Ne pas distinguer si les choix sont successifs et indépendants (multiplicatif) ou s'il s'agit de choisir entre des catégories distinctes (additif).
  2. Oublier de prendre en compte toutes les contraintes ou conditions spécifiques du problème (par exemple, un capuchon imposé pour les stylos de luxe).
  3. Mal interpréter le mot "ou" (souvent additif) et "et" (souvent multiplicatif), bien que ce ne soit pas toujours une règle absolue.

Exercice type BAC

Un code d'accès à un système informatique est composé de 4 caractères. Chaque caractère peut être une lettre majuscule de l'alphabet (26 lettres) ou un chiffre (10 chiffres).

  1. Combien de codes différents peut-on former si les caractères peuvent être répétés ?
  2. Combien de codes différents peut-on former si tous les caractères doivent être distincts ?
  3. Combien de codes différents peut-on former si le code doit contenir au moins un chiffre et les caractères peuvent être répétés ?
  1. Combien de codes différents peut-on former si les caractères peuvent être répétés ?
    Chaque caractère peut être une lettre majuscule (26 choix) ou un chiffre (10 choix). Donc, pour chaque position, il y a $26 + 10 = 36$ choix possibles.
    Puisque les caractères peuvent être répétés et qu'il y a 4 positions, nous utilisons le principe multiplicatif :
    Nombre de codes = $36 × 36 × 36 × 36 = 36^4 = 1\,679\,616$.
    Il y a $1\,679\,616$ codes différents possibles.
  2. Combien de codes différents peut-on former si tous les caractères doivent être distincts ?
    Pour le premier caractère, il y a 36 choix possibles (26 lettres + 10 chiffres).
    Pour le deuxième caractère, comme il doit être distinct du premier, il reste 35 choix.
    Pour le troisième caractère, il reste 34 choix.
    Pour le quatrième caractère, il reste 33 choix.
    En utilisant le principe multiplicatif :
    Nombre de codes = $36 × 35 × 34 × 33 = 1\,413\,720$.
    Il y a $1\,413\,720$ codes différents avec des caractères distincts.
  3. Combien de codes différents peut-on former si le code doit contenir au moins un chiffre et les caractères peuvent être répétés ?
    Il est plus simple de calculer le nombre total de codes possibles (calculé en question 1) et de soustraire le nombre de codes qui ne contiennent aucun chiffre.
    Nombre total de codes (caractères répétés) = $36^4 = 1\,679\,616$.
    Calculons le nombre de codes qui ne contiennent aucun chiffre. Si un code ne contient aucun chiffre, cela signifie que tous ses caractères sont des lettres majuscules. Il y a 26 choix pour chaque position.
    Nombre de codes sans aucun chiffre = $26 × 26 × 26 × 26 = 26^4 = 456\,976$.
    Le nombre de codes contenant au moins un chiffre est la différence :
    Nombre de codes avec au moins un chiffre = (Total de codes) - (Codes sans aucun chiffre)
    Nombre de codes avec au moins un chiffre = $1\,679\,616 - 456\,976 = 1\,222\,640$.
    Il y a $1\,222\,640$ codes différents contenant au moins un chiffre.

Questions fréquentes

Quelle est la différence fondamentale entre le principe additif et le principe multiplicatif ?
Le principe additif s'applique lorsque l'on a des choix mutuellement exclusifs (on choisit une option ou une autre). On additionne les nombres de possibilités. Le principe multiplicatif s'applique lorsque l'on a une série de choix indépendants (on choisit une option et une autre). On multiplie les nombres de possibilités.
Quand utiliser la formule des arrangements ou des combinaisons plutôt que les principes de base ?
Les arrangements et les combinaisons sont des cas particuliers du principe multiplicatif. Les arrangements ($A_n^p$) sont utilisés lorsque l'ordre compte et qu'il n'y a pas de répétition. Les combinaisons ($inom{n}{p}$) sont utilisées lorsque l'ordre ne compte pas et qu'il n'y a pas de répétition. Les principes additif et multiplicatif sont plus généraux et permettent de résoudre des problèmes où l'ordre et la répétition peuvent varier, ou pour des choix plus complexes.
Le principe additif est-il toujours lié au mot "ou" et le multiplicatif au mot "et" ?
Souvent, oui. "Ou" suggère un choix entre des alternatives (principe additif), tandis que "et" suggère une succession de choix (principe multiplicatif). Cependant, il faut toujours analyser le contexte pour s'assurer que les conditions d'application des principes sont remplies. Par exemple, "au moins un" implique souvent de passer par le complémentaire, qui peut combiner les deux principes.
Comment gérer les problèmes de dénombrement avec des contraintes ?
Les contraintes doivent être prises en compte dès le début du raisonnement. Souvent, il est utile de commencer par les choix les plus contraints. Si une contrainte rend le calcul direct difficile, il peut être plus simple de calculer le nombre total de possibilités sans la contrainte, puis de soustraire les cas qui ne respectent pas la contrainte (méthode du complémentaire), comme dans l'exercice 3.

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