Le triangle de Pascal et les coefficients binomiaux – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Y a-t-il des propriétés remarquables des coefficients binomiaux ?

Oui, plusieurs :- Symétrie : $\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$- Cas particuliers : $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{1} = n$- Relation de Pascal : $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$- Somme des coefficients d'une ligne : $\sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} = 2^n$ (cela découle du binôme de Newton avec $a=1, b=1$). Ces propriétés sont très utiles pour simplifier les calculs ou vérifier des résultats.

Définition

Les coefficients binomiaux, notés $\binom{n}{p}$ (lire "$p$ parmi $n$"), représentent le nombre de façons de choisir $p$ éléments distincts parmi $n$ éléments distincts, sans tenir compte de l'ordre. Ils sont définis pour tout entier naturel $n$ et tout entier $p$ tel que $0 \leq p \leq n$ par la formule $$\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$ où $n!$ (factorielle $n$) est le produit de tous les entiers de $1$ à $n$, avec $0! = 1$ par convention. Le triangle de Pascal est une disposition triangulaire de ces coefficients binomiaux, où chaque coefficient est la somme des deux coefficients situés juste au-dessus de lui.

💡 Bon réflexe : Pour les problèmes de dénombrement, toujours se demander si l'ordre des éléments compte ou non avant de choisir entre combinaisons (coefficients binomiaux) et arrangements.

Méthode — Le triangle de Pascal et les coefficients binomiaux

Comprendre la définition des coefficients binomiaux

Les coefficients binomiaux $\binom{n}{p}$ sont utilisés pour compter des combinaisons. Par exemple, $\binom{n}{p}$ est le nombre de sous-ensembles à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Il est essentiel de maîtriser la formule de calcul : $$\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$ ainsi que les propriétés immédiates : $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{1} = n$ et $\binom{n}{n-1} = n$.

Construire le triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est une méthode visuelle pour obtenir les coefficients binomiaux. Chaque ligne $n$ (en commençant par $n=0$) contient les coefficients $\binom{n}{p}$ pour $p$ allant de $0$ à $n$. Le premier et le dernier élément de chaque ligne sont toujours $1$. Chaque autre élément est la somme des deux éléments situés juste au-dessus de lui dans la ligne précédente. C'est la relation de Pascal : $$\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$$ pour $1 \leq p \leq n-1$.

Utiliser le triangle de Pascal pour le calcul rapide

Pour calculer un coefficient binomial $\binom{n}{p}$ sans utiliser la formule factorielle, on peut lire directement sa valeur dans le triangle de Pascal. Il suffit de se placer à la ligne $n$ et à la colonne $p$ (en commençant par la ligne $0$ et la colonne $0$). Cette méthode est particulièrement efficace pour les petites valeurs de $n$.

Appliquer le binôme de Newton

Les coefficients binomiaux sont fondamentaux dans la formule du binôme de Newton, qui permet de développer une puissance de somme : $$(a+b)^n = \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} a^{n-p} b^p$$ Cette formule est très utile pour développer des expressions comme $(x+y)^3$ ou $(2x-1)^4$. Les coefficients du développement sont directement les valeurs de la $n$-ième ligne du triangle de Pascal.

Exemple résolu

Calculer le coefficient binomial $\binom{5}{2}$ en utilisant la formule factorielle, puis vérifier ce résultat à l'aide du triangle de Pascal. Enfin, donner le développement de $(x+y)^4$ en utilisant les coefficients binomiaux.

Calcul de $\binom{5}{2}$ par la formule factorielle

On applique la formule $\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ avec $n=5$ et $p=2$.$$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$$

Construction du triangle de Pascal jusqu'à la ligne 5

Ligne 0 : $1$ Ligne 1 : $1 \quad 1$ Ligne 2 : $1 \quad (1+1) \quad 1 \implies 1 \quad 2 \quad 1$ Ligne 3 : $1 \quad (1+2) \quad (2+1) \quad 1 \implies 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$ Ligne 4 : $1 \quad (1+3) \quad (3+3) \quad (3+1) \quad 1 \implies 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$ Ligne 5 : $1 \quad (1+4) \quad (4+6) \quad (6+4) \quad (4+1) \quad 1 \implies 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1$

Vérification de $\binom{5}{2}$ avec le triangle de Pascal

Dans la ligne 5 du triangle de Pascal, les coefficients sont $1, 5, 10, 10, 5, 1$. Le coefficient $\binom{5}{2}$ est le troisième élément (en commençant à $p=0$), donc il vaut $10$. Cela confirme le calcul précédent.

Développement de $(x+y)^4$ avec le binôme de Newton

On utilise la formule $(a+b)^n = \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} a^{n-p} b^p$ avec $n=4$, $a=x$ et $b=y$. Les coefficients sont ceux de la ligne 4 du triangle de Pascal : $1, 4, 6, 4, 1$.$$(x+y)^4 = \binom{4}{0}x^4y^0 + \binom{4}{1}x^3y^1 + \binom{4}{2}x^2y^2 + \binom{4}{3}x^1y^3 + \binom{4}{4}x^0y^4$$$$(x+y)^4 = 1x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + 1y^4$$

Le coefficient $\binom{5}{2}$ est égal à $10$. Le développement de $(x+y)^4$ est $x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$.

⚠️ Confusion entre arrangement et combinaison

Ne pas confondre les coefficients binomiaux (combinaisons, l'ordre ne compte pas) avec les arrangements (l'ordre compte). Par exemple, choisir 2 personnes parmi 5 pour former une équipe est une combinaison $\binom{5}{2}$, mais choisir 2 personnes pour un président et un vice-président est un arrangement $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$.
Oublier que $0! = 1$. Cette convention est essentielle pour que les formules des coefficients binomiaux soient cohérentes, notamment pour $\binom{n}{0}$ et $\binom{n}{n}$.
Erreur dans la construction du triangle de Pascal : s'assurer que chaque ligne commence et finit par 1 et que chaque terme est bien la somme des deux termes au-dessus.

Exercice type BAC

Une urne contient 7 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 7.

On tire simultanément 3 boules de l'urne. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
On considère l'événement A : "Les 3 boules tirées portent des numéros impairs". Calculer le nombre de tirages réalisant l'événement A.
On considère l'événement B : "Parmi les 3 boules tirées, il y a exactement 2 boules portant un numéro pair". Calculer le nombre de tirages réalisant l'événement B.

Le tirage est simultané, l'ordre ne compte donc pas. Il s'agit de choisir 3 boules parmi 7. Le nombre de tirages possibles est donné par le coefficient binomial $\binom{7}{3}$.
$$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{ (3 \times 2 \times 1) \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$$
Il y a 35 tirages possibles.
Les boules portent les numéros de 1 à 7. Les numéros impairs sont {1, 3, 5, 7}. Il y a 4 boules impaires.
L'événement A consiste à tirer 3 boules parmi ces 4 boules impaires. Le nombre de tirages réalisant A est $\binom{4}{3}$.
$$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3!}{3! \times 1} = 4$$
Il y a 4 tirages réalisant l'événement A.
Les numéros pairs sont {2, 4, 6}. Il y a 3 boules paires.
L'événement B consiste à tirer exactement 2 boules paires et (par conséquent) 1 boule impaire.
Le nombre de façons de choisir 2 boules paires parmi les 3 boules paires est $\binom{3}{2}$.
$$\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2!}{2! \times 1} = 3$$
Le nombre de façons de choisir 1 boule impaire parmi les 4 boules impaires est $\binom{4}{1}$.
$$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3!}{1 \times 3!} = 4$$
Pour obtenir le nombre total de tirages réalisant l'événement B, on multiplie ces deux nombres (principe multiplicatif) :
Nombre de tirages pour B = $\binom{3}{2} \times \binom{4}{1} = 3 \times 4 = 12$.
Il y a 12 tirages réalisant l'événement B.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la relation de Pascal et à quoi sert-elle ?

La relation de Pascal est $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$. Elle signifie que pour obtenir un coefficient binomial, on additionne les deux coefficients situés juste au-dessus de lui dans la ligne précédente du triangle de Pascal. Elle est fondamentale pour construire le triangle de Pascal et pour certaines démonstrations en combinatoire.

Comment savoir si je dois utiliser les coefficients binomiaux ou les arrangements ?

Les coefficients binomiaux $\binom{n}{p}$ sont utilisés lorsque l'ordre des éléments choisis n'a pas d'importance (on parle de combinaisons). Les arrangements $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ sont utilisés lorsque l'ordre des éléments choisis est important. Par exemple, choisir un comité de 3 personnes parmi 10 est une combinaison, tandis que choisir un président, un vice-président et un secrétaire parmi 10 est un arrangement.

Y a-t-il des propriétés remarquables des coefficients binomiaux ?

Oui, plusieurs :
- Symétrie : $\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$
- Cas particuliers : $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{1} = n$
- Relation de Pascal : $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$
- Somme des coefficients d'une ligne : $\sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} = 2^n$ (cela découle du binôme de Newton avec $a=1, b=1$). Ces propriétés sont très utiles pour simplifier les calculs ou vérifier des résultats.

Le triangle de Pascal est-il uniquement pour les coefficients binomiaux ?

Le triangle de Pascal est intrinsèquement lié aux coefficients binomiaux et à la formule du binôme de Newton. Cependant, il apparaît aussi dans d'autres domaines des mathématiques, comme les probabilités (distribution binomiale), la théorie des nombres (propriétés des nombres premiers), et même en informatique (fractales comme le triangle de Sierpinski).

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