Dérivation & Intégration · Fiche N°48 / 110

Démontrer une inégalité via l'étude de f(x) − g(x)

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Pour démontrer une inégalité de la forme $f(x) \leq g(x)$ ou $f(x) \geq g(x)$ sur un intervalle $I$, on étudie le signe de la fonction différence $h(x) = f(x) - g(x)$ sur cet intervalle. Si $h(x) \leq 0$ sur $I$, alors $f(x) \leq g(x)$ sur $I$. Si $h(x) \geq 0$ sur $I$, alors $f(x) \geq g(x)$ sur $I$.

💡 Bon réflexe : Toujours définir clairement la fonction différence, étudier ses variations rigoureusement, et ne pas oublier de calculer sa valeur en un point clé pour conclure sur son signe.
xyO1f convexe ⟹f(x) ≥ tangentex² ≥ 2x−1 pour tout x

Méthode — Démontrer une inégalité via l'étude de f(x) − g(x)

1

Étape 1 : Définir la fonction différence

On pose la fonction différence $h(x) = f(x) - g(x)$ (ou $h(x) = g(x) - f(x)$ si l'on anticipe un signe positif pour faciliter les calculs) sur l'intervalle $I$ où l'inégalité doit être prouvée.

2

Étape 2 : Calculer la dérivée de la fonction différence

On calcule la dérivée $h'(x)$ de la fonction $h(x)$. Cette étape est cruciale pour étudier les variations de $h(x)$. On s'assure que $h(x)$ est dérivable sur $I$.

3

Étape 3 : Étudier le signe de la dérivée et les variations de la fonction différence

On détermine le signe de $h'(x)$ sur l'intervalle $I$. Cela permet de construire le tableau de variations de $h(x)$. On identifie les extremums locaux et globaux de $h(x)$ sur $I$.

4

Étape 4 : Conclure sur le signe de la fonction différence et l'inégalité

En utilisant le tableau de variations et les valeurs aux bornes de l'intervalle (ou en un point particulier si nécessaire), on détermine le signe de $h(x)$ sur $I$. Si $h(x) \geq 0$ sur $I$, alors $f(x) \geq g(x)$ sur $I$. Si $h(x) \leq 0$ sur $I$, alors $f(x) \leq g(x)$ sur $I$.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = e^x - x - 1$. Démontrer que pour tout $x \geq 0$, $e^x \geq x + 1$.

1
Définir la fonction différence
On veut montrer que $e^x \geq x + 1$, ce qui équivaut à montrer que $e^x - x - 1 \geq 0$. On pose donc la fonction différence $h(x) = e^x - x - 1$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$. On doit montrer que $h(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$.
2
Calculer la dérivée de la fonction différence
La fonction $h$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables. Sa dérivée est $h'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - x - 1) = e^x - 1$.
3
Étudier le signe de la dérivée et les variations de la fonction différence
On étudie le signe de $h'(x) = e^x - 1$:
  • $h'(x) = 0 \iff e^x - 1 = 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0$.
  • $h'(x) > 0 \iff e^x - 1 > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0$.
Donc, $h'(x) > 0$ pour tout $x > 0$. La fonction $h$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Calculons la valeur de $h(0)$: $h(0) = e^0 - 0 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0$.
4
Conclure sur le signe de la fonction différence et l'inégalité
Puisque $h(0) = 0$ et que la fonction $h$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$, cela signifie que pour tout $x \geq 0$, $h(x) \geq h(0)$.
Donc, pour tout $x \geq 0$, $h(x) \geq 0$.
Ceci implique que $e^x - x - 1 \geq 0$, et par conséquent $e^x \geq x + 1$ pour tout $x \geq 0$.

Nous avons démontré que pour tout $x \geq 0$, $e^x \geq x + 1$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli des bornes de l'intervalle

  1. Ne pas vérifier que la fonction différence est bien définie et dérivable sur l'intervalle d'étude.
  2. Oublier de calculer la valeur de la fonction différence aux bornes de l'intervalle (ou en un point clé) pour établir le signe global.
  3. Confondre le signe de la dérivée avec le signe de la fonction elle-même.

Exercice type BAC

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $f(x) = x^2$ et $g(x) = x \ln(x+1)$.

  1. Étudier les variations de la fonction $h$ définie sur $[0;+\infty[$ par $h(x) = x - \ln(x+1)$. On pourra calculer $h'(x)$ et $h''(x)$.
  2. En déduire le signe de $h(x)$ sur $[0;+\infty[$.
  3. Démontrer que pour tout $x \geq 0$, $x^2 \geq x \ln(x+1)$.

  1. Étude des variations de $h(x) = x - \ln(x+1)$ :

    La fonction $h$ est définie et dérivable sur $[0;+\infty[$. Sa dérivée est :

    $$h'(x) = 1 - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = \frac{x}{x+1}$$

    Pour étudier le signe de $h'(x)$, on remarque que pour $x \geq 0$, $x \geq 0$ et $x+1 > 0$. Donc $h'(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$.

    La fonction $h$ est donc croissante sur $[0;+\infty[$.
    Calculons $h(0) = 0 - \ln(0+1) = 0 - \ln(1) = 0 - 0 = 0$.

    Pour aller plus loin et confirmer le signe de $h(x)$, on peut étudier $h''(x)$ mais ce n'est pas strictement nécessaire ici car $h(0)=0$ et $h$ est croissante.

  2. Déduction du signe de $h(x)$ :

    Puisque $h(0) = 0$ et que $h$ est croissante sur $[0;+\infty[$, on en déduit que pour tout $x \geq 0$, $h(x) \geq h(0)$, c'est-à-dire $h(x) \geq 0$.

    Donc, pour tout $x \geq 0$, $x - \ln(x+1) \geq 0$.

  3. Démonstration de l'inégalité $x^2 \geq x \ln(x+1)$ :

    On veut démontrer que $x^2 \geq x \ln(x+1)$ pour tout $x \geq 0$.

    On distingue deux cas :

    • Cas 1 : $x = 0$
      L'inégalité devient $0^2 \geq 0 \times \ln(0+1)$, soit $0 \geq 0 \times \ln(1)$, ce qui donne $0 \geq 0$. L'inégalité est vérifiée pour $x=0$.
    • Cas 2 : $x > 0$
      Puisque $x > 0$, on peut diviser l'inégalité par $x$ sans changer le sens de l'inégalité :
      $$x^2 \geq x \ln(x+1) \iff x \geq \ln(x+1)$$
      Cette dernière inégalité est équivalente à $x - \ln(x+1) \geq 0$.
      D'après la question 2, nous avons montré que $h(x) = x - \ln(x+1) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$.
      Donc, pour $x > 0$, l'inégalité $x \geq \ln(x+1)$ est vraie.

    En combinant les deux cas, on conclut que pour tout $x \geq 0$, $x^2 \geq x \ln(x+1)$.

Questions fréquentes

Pourquoi étudier $f(x) - g(x)$ et non $f(x)/g(x)$ ?
L'étude de la différence $f(x) - g(x)$ est plus générale. L'étude du quotient $f(x)/g(x)$ n'est possible que si $g(x)$ ne s'annule pas et garde un signe constant sur l'intervalle, ce qui n'est pas toujours le cas. De plus, la dérivation d'un quotient est souvent plus complexe que celle d'une différence.
Que faire si la dérivée $h'(x)$ est difficile à étudier ?
Si $h'(x)$ est difficile à étudier, on peut parfois étudier sa propre dérivée $h''(x)$ pour connaître les variations de $h'(x)$, et ainsi déduire le signe de $h'(x)$. C'est une technique courante appelée l'étude de la dérivée seconde.
Faut-il toujours calculer la valeur de la fonction différence à l'origine ou aux bornes de l'intervalle ?
Oui, c'est essentiel. La valeur de la fonction différence à un point clé (souvent une borne de l'intervalle ou un point où la dérivée s'annule) combinée à ses variations permet de déterminer son signe sur tout l'intervalle. Si $h(a)=0$ et $h$ est croissante sur $[a;b]$, alors $h(x) \geq 0$ sur $[a;b]$.
Cette méthode est-elle la seule pour démontrer des inégalités ?
Non, d'autres méthodes existent comme l'utilisation des propriétés des fonctions (convexité, concavité), des inégalités de référence (AM-GM, Cauchy-Schwarz, etc.), ou des raisonnements par récurrence. Cependant, l'étude de la fonction différence est l'une des méthodes les plus puissantes et fréquemment utilisées en Terminale Spécialité.

Pour aller plus loin

Vous bloquez sur ce chapitre ?

Adil accompagne les lycéens en Terminale Spécialité, en ligne ou à domicile dans le Val d'Oise. Résultats en 1 séance.

📞 Appeler Cours Terminale →