Le point d'inflexion : définition et calcul – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Un point d'inflexion pour une fonction $f$ dont la dérivée seconde $f''$ est définie sur un intervalle $I$ est un point où la courbe représentative de $f$ change de convexité. Cela se produit lorsque $f''$ s'annule et change de signe en ce point. Si $f''(x_0) = 0$ et que $f''$ change de signe en $x_0$, alors le point d'abscisse $x_0$ est un point d'inflexion pour la courbe de $f$.

💡 Bon réflexe : Pour trouver un point d'inflexion, calculez $f''(x)$, résolvez $f''(x)=0$, puis vérifiez impérativement le changement de signe de $f''(x)$ autour de chaque solution.

Méthode — Le point d'inflexion : définition et calcul

1. Calculer la dérivée première $f'$

Déterminez l'expression de la dérivée première $f'(x)$ de la fonction $f(x)$. Assurez-vous que $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle d'étude.

2. Calculer la dérivée seconde $f''$

Dérivez $f'(x)$ pour obtenir l'expression de la dérivée seconde $f''(x)$. C'est cette fonction qui nous renseignera sur la convexité de $f$.

3. Résoudre $f''(x) = 0$

Recherchez les valeurs de $x$ pour lesquelles $f''(x) = 0$. Ces points sont des candidats potentiels pour être des points d'inflexion.

4. Étudier le signe de $f''$

Pour chaque valeur $x_0$ trouvée à l'étape 3, étudiez le signe de $f''(x)$ autour de $x_0$. Si $f''(x)$ change de signe en $x_0$ (par exemple, passe de positif à négatif ou de négatif à positif), alors le point d'abscisse $x_0$ est un point d'inflexion. Si $f''(x)$ ne change pas de signe, ce n'est pas un point d'inflexion.

5. Déterminer les coordonnées complètes

Si un point d'inflexion est identifié en $x_0$, calculez l'ordonnée correspondante $y_0 = f(x_0)$ pour donner les coordonnées complètes du point d'inflexion $(x_0, f(x_0))$.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$. Déterminer les coordonnées des points d'inflexion de la courbe représentative de $f$.

1. Calculer la dérivée première $f'(x)$

La fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$ est un polynôme, donc elle est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$. $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$

2. Calculer la dérivée seconde $f''(x)$

Dérivons $f'(x)$ : $$f''(x) = 6x - 6$$

3. Résoudre $f''(x) = 0$

Nous cherchons les valeurs de $x$ pour lesquelles $f''(x) = 0$ : $$6x - 6 = 0$$ $$6x = 6$$ $$x = 1$$

4. Étudier le signe de $f''(x)$ autour de $x=1$

La fonction $f''(x) = 6x - 6$ est une fonction affine croissante. Son signe est : - Pour $x < 1$, $f''(x) < 0$ (la fonction $f$ est concave). - Pour $x > 1$, $f''(x) > 0$ (la fonction $f$ est convexe). Comme $f''(x)$ s'annule en $x=1$ et change de signe (de négatif à positif), il y a bien un point d'inflexion en $x=1$.

5. Déterminer les coordonnées complètes du point d'inflexion

Calculons l'ordonnée du point d'inflexion en $x=1$ : $$f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) + 1$$ $$f(1) = 1 - 3 + 2 + 1$$ $$f(1) = 1$$

Le point d'inflexion de la courbe représentative de $f$ a pour coordonnées $(1, 1)$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion avec les extrema

Ne pas confondre un point d'inflexion avec un extremum local. Un extremum local est lié à l'annulation de $f'(x)$ et un changement de signe de $f'(x)$, tandis qu'un point d'inflexion est lié à l'annulation de $f''(x)$ et un changement de signe de $f''(x)$.
Oublier de vérifier le changement de signe de $f''(x)$. Si $f''(x_0)=0$ mais que $f''$ ne change pas de signe en $x_0$ (par exemple, $f''(x) = x^4$ en $x=0$), alors $x_0$ n'est pas un point d'inflexion.
Ne pas calculer l'ordonnée du point d'inflexion. Un point d'inflexion est un couple de coordonnées $(x_0, f(x_0))$, pas seulement l'abscisse $x_0$.

Exercice type BAC

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2 + x + 1)e^{-x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Calculer la dérivée première $f'(x)$ de la fonction $f$.
Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ de la fonction $f$.
Démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.

Calcul de la dérivée première $f'(x)$ :
La fonction $f$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = x^2 + x + 1$ et $v(x) = e^{-x}$.
On a $u'(x) = 2x + 1$ et $v'(x) = -e^{-x}$.
La formule de dérivation d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$.
$$f'(x) = (2x + 1)e^{-x} + (x^2 + x + 1)(-e^{-x})$$
$$f'(x) = e^{-x} [ (2x + 1) - (x^2 + x + 1) ]$$
$$f'(x) = e^{-x} [ 2x + 1 - x^2 - x - 1 ]$$
$$f'(x) = e^{-x} ( -x^2 + x )$$
$$f'(x) = -x(x-1)e^{-x}$$
Calcul de la dérivée seconde $f''(x)$ :
On dérive $f'(x) = (-x^2 + x)e^{-x}$. C'est encore de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = -x^2 + x$ et $v(x) = e^{-x}$.
On a $u'(x) = -2x + 1$ et $v'(x) = -e^{-x}$.
$$f''(x) = (-2x + 1)e^{-x} + (-x^2 + x)(-e^{-x})$$
$$f''(x) = e^{-x} [ (-2x + 1) - (-x^2 + x) ]$$
$$f''(x) = e^{-x} [ -2x + 1 + x^2 - x ]$$
$$f''(x) = e^{-x} ( x^2 - 3x + 1 )$$
Recherche du point d'inflexion :
Un point d'inflexion existe si $f''(x) = 0$ et que $f''$ change de signe.
On résout $f''(x) = 0$ :
$$e^{-x} ( x^2 - 3x + 1 ) = 0$$
Comme $e^{-x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, l'équation est équivalente à :
$$x^2 - 3x + 1 = 0$$
C'est une équation du second degré. Calculons le discriminant $\Delta$ :
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 1 × 1 = 9 - 4 = 5$$
Puisque $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes :
$$x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{5}}{2 × 1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$$
$$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{5}}{2 × 1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$$
Étudions le signe de $f''(x)$. Puisque $e^{-x} > 0$, le signe de $f''(x)$ est celui du trinôme $x^2 - 3x + 1$. C'est un trinôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est $1 > 0$. Il est donc positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.
$$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x & -\infty & & x_1 & & x_2 & & +\infty \ \hline x^2-3x+1 & & + & 0 & - & 0 & + & \ \hline f''(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \ \hline \text{Convexité de } f & \text{convexe} & & \text{concave} & & \text{convexe} \ \hline\end{array}$$
La dérivée seconde $f''(x)$ s'annule et change de signe en $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ et en $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ admet donc deux points d'inflexion.

Calculons les ordonnées correspondantes :
Pour $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ :
$$f\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) = \left(\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)^2 + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + 1\right)e^{-\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)}$$
On sait que $x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$, donc $x_1^2 + 1 = 3x_1$.
Alors $x_1^2 + x_1 + 1 = 3x_1 + x_1 = 4x_1$.
Donc $f(x_1) = (4x_1)e^{-x_1} = 4\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)e^{-\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)} = (6 - 2\sqrt{5})e^{-\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)}$.
Le premier point d'inflexion est $I_1\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, (6 - 2\sqrt{5})e^{-\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)}\right)$.

Pour $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ :
De même, $x_2^2 - 3x_2 + 1 = 0$, donc $x_2^2 + 1 = 3x_2$.
Alors $x_2^2 + x_2 + 1 = 3x_2 + x_2 = 4x_2$.
Donc $f(x_2) = (4x_2)e^{-x_2} = 4\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)e^{-\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)} = (6 + 2\sqrt{5})e^{-\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)}$.
Le second point d'inflexion est $I_2\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, (6 + 2\sqrt{5})e^{-\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)}\right)$.

Correction de l'énoncé : L'énoncé demandait un unique point d'inflexion, mais la fonction proposée en a deux. L'important est la méthode de résolution.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la convexité d'une fonction ?

Une fonction $f$ est dite convexe sur un intervalle si sa courbe représentative est 'tournée vers le haut' sur cet intervalle. Graphiquement, cela signifie que tout segment reliant deux points de la courbe est situé au-dessus de la courbe. Mathématiquement, cela correspond à $f''(x) \geq 0$ sur l'intervalle. Inversement, une fonction est concave si sa courbe est 'tournée vers le bas', ce qui correspond à $f''(x) \leq 0$.

Un point où $f''(x_0)=0$ est-il toujours un point d'inflexion ?

Non, pas nécessairement. Pour qu'il y ait un point d'inflexion en $x_0$, il faut non seulement que $f''(x_0)=0$, mais aussi que $f''(x)$ change de signe en $x_0$. Par exemple, pour $f(x) = x^4$, on a $f''(x) = 12x^2$. $f''(0) = 0$, mais $f''(x) \geq 0$ pour tout $x$, donc $f''$ ne change pas de signe en $0$. La fonction $f(x)=x^4$ est toujours convexe et n'a pas de point d'inflexion en $x=0$.

Comment interpréter graphiquement un point d'inflexion ?

Graphiquement, un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente. C'est le point où la courbure de la fonction change de sens : elle passe d'être 'creuse' (convexe) à 'bombée' (concave), ou inversement. La tangente à la courbe en un point d'inflexion est parfois appelée tangente d'inflexion.

Est-il possible qu'une fonction n'ait pas de point d'inflexion ?

Oui, tout à fait. Par exemple, la fonction exponentielle $f(x) = e^x$ a $f''(x) = e^x$, qui est toujours positive. Elle est donc toujours convexe et n'a aucun point d'inflexion. De même, $f(x) = x^2$ est toujours convexe et n'a pas de point d'inflexion.

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