Croissances comparées de e^x, ln(x) et x^n : méthodes et preuves – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Pourquoi l'exponentielle l'emporte-t-elle sur les puissances de $x$ en $+\infty$ ?

Intuitivement, la croissance de $e^x$ est exponentielle, tandis que celle de $x^n$ est polynomiale. La fonction exponentielle croît plus rapidement que n'importe quelle fonction polynomiale. La preuve formelle utilise souvent la règle de L'Hôpital ou des inégalités comme $e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ pour $x>0$.

Définition

Les croissances comparées décrivent le comportement relatif des fonctions exponentielle ($x \mapsto e^x$), logarithme népérien ($x \mapsto \ln(x)$) et puissances ($x \mapsto x^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$) lorsque $x$ tend vers l'infini. Ces résultats fondamentaux permettent de lever des formes indéterminées et de déterminer les limites de fonctions complexes.

💡 Bon réflexe : Face à une forme indéterminée avec $e^x$, $\ln(x)$ et $x^n$, factorise toujours par le terme qui 'l'emporte' pour faire apparaître les formes des croissances comparées.

Méthode — Croissances comparées de $e^x$, $\ln(x)$ et $x^n$

Identifier la forme indéterminée

Avant d'appliquer les croissances comparées, il est crucial de vérifier si la limite est une forme indéterminée du type $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$, $0 \times \infty$, ou $\infty - \infty$. Les croissances comparées sont particulièrement utiles pour les formes $\frac{\infty}{\infty}$ et $0 \times \infty$ impliquant $e^x$, $\ln(x)$ et $x^n$.

Appliquer les théorèmes de croissances comparées

Utiliser les théorèmes suivants :

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$. (L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ en $+\infty$).
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{\ln(x)} = +\infty$. (Toute puissance de $x$ l'emporte sur le logarithme en $+\infty$).
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$. (La puissance de $x$ l'emporte sur le logarithme en $0^+$).

Effectuer des changements de variable si nécessaire

Parfois, la forme n'est pas directement celle des théorèmes. Un changement de variable peut ramener l'expression à une forme connue. Par exemple, pour $\lim_{x \to -\infty} x e^x$, poser $X = -x$. Alors $x = -X$ et $e^x = e^{-X} = \frac{1}{e^X}$. La limite devient $\lim_{X \to +\infty} -X \frac{1}{e^X} = - \lim_{X \to +\infty} \frac{X}{e^X} = -0 = 0$.

Simplifier et conclure

Après application des théorèmes et éventuels changements de variable, simplifier l'expression et conclure sur la valeur de la limite. Il est souvent utile de factoriser par le terme qui 'l'emporte' pour faire apparaître les formes des théorèmes.

Exemple résolu

Calculer la limite de la fonction $f(x) = \frac{e^{2x} - 3x^2}{x^3 + \ln(x)}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Identifier la forme indéterminée

Lorsque $x \to +\infty$:

$e^{2x} \to +\infty$
$3x^2 \to +\infty$
$x^3 \to +\infty$
$\ln(x) \to +\infty$

Le numérateur tend vers $+\infty$ (car $e^{2x}$ l'emporte sur $3x^2$) et le dénominateur tend vers $+\infty$. On a donc une forme indéterminée du type $\frac{\infty}{\infty}$.

Factoriser par les termes dominants

Pour lever l'indétermination, on factorise le numérateur et le dénominateur par les termes qui croissent le plus rapidement:$$f(x) = \frac{e^{2x} \left(1 - \frac{3x^2}{e^{2x}}\right)}{x^3 \left(1 + \frac{\ln(x)}{x^3}\right)}$$

Appliquer les théorèmes de croissances comparées aux termes factorisés

On analyse les limites des termes entre parenthèses et des termes factorisés:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{e^{2x}}$: On pose $X = 2x$. Lorsque $x \to +\infty$, $X \to +\infty$. Alors $\frac{3x^2}{e^{2x}} = \frac{3(X/2)^2}{e^X} = \frac{3X^2}{4e^X}$. D'après les croissances comparées, $\lim_{X \to +\infty} \frac{X^2}{e^X} = 0$. Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{e^{2x}} = 0$.
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^3}$: D'après les croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^3} = 0$.

Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{3x^2}{e^{2x}}\right) = 1 - 0 = 1$ et $\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{\ln(x)}{x^3}\right) = 1 + 0 = 1$.

Calculer la limite finale

L'expression de $f(x)$ devient:$$f(x) = \frac{e^{2x}}{x^3} \times \frac{\left(1 - \frac{3x^2}{e^{2x}}\right)}{\left(1 + \frac{\ln(x)}{x^3}\right)}$$On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\left(1 - \frac{3x^2}{e^{2x}}\right)}{\left(1 + \frac{\ln(x)}{x^3}\right)} = \frac{1}{1} = 1$.
Il reste à évaluer $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{x^3}$. On pose $X = 2x$. Lorsque $x \to +\infty$, $X \to +\infty$. Alors $\frac{e^{2x}}{x^3} = \frac{e^X}{(X/2)^3} = \frac{8e^X}{X^3}$. D'après les croissances comparées, $\lim_{X \to +\infty} \frac{e^X}{X^3} = +\infty$.
Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{x^3} = +\infty$.

Par produit et quotient de limites, on obtient $\lim_{x \to +\infty} f(x) = (+\infty) \times 1 = +\infty$.
Ainsi, $\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x} - 3x^2}{x^3 + \ln(x)} = +\infty}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oublier les conditions d'application

Appliquer les croissances comparées sans vérifier que $x$ tend vers $+\infty$ (ou $0^+$ pour $x^n \ln(x)$).
Confondre les ordres de grandeur : par exemple, penser que $x^n$ l'emporte sur $e^x$ en $+\infty$, ce qui est faux.
Oublier de faire un changement de variable lorsque l'exposant de $e$ ou l'argument de $\ln$ n'est pas simplement $x$ (ex: $e^{2x}$, $\ln(x^2)$).

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \frac{e^x}{x} - \ln(x)$.

Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$.
Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par $g(x) = e^x - x^2 \ln(x)$. Montrer que $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.

Limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$:
On analyse chaque terme séparément:
- $\lim_{x \to 0^+} e^x = e^0 = 1$.
- $\lim_{x \to 0^+} x = 0^+$. Donc $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.
- $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$.
Ainsi, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{e^x}{x} - \ln(x)\right) = (+\infty) - (-\infty) = +\infty + \infty = +\infty$.
Donc $\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty}$.
Limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$:
On analyse chaque terme séparément:
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}$: D'après le théorème des croissances comparées (l'exponentielle l'emporte sur $x$), $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$.
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$.
On a une forme indéterminée du type $+\infty - \infty$. Pour lever cette indétermination, on factorise par le terme dominant, qui est $\frac{e^x}{x}$:
$$f(x) = \frac{e^x}{x} \left(1 - \frac{x \ln(x)}{e^x}\right)$$
Analysons la limite de $\frac{x \ln(x)}{e^x}$ lorsque $x \to +\infty$. On peut réécrire ce terme comme $\frac{x}{e^x} \times \ln(x)$.
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$ (croissances comparées).
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$.
Le produit $0 \times (+\infty)$ est une forme indéterminée. On doit réécrire $\frac{x \ln(x)}{e^x}$ différemment. On sait que $e^x$ l'emporte sur $x^n$ pour tout $n$. On peut écrire $\frac{x \ln(x)}{e^x} = \frac{\ln(x)}{e^x/x}$.
Ou mieux, on peut utiliser la propriété que $e^x$ l'emporte sur $x^2$. Soit $x > 0$, on a $e^x > x^2$. Donc $\frac{1}{e^x} < \frac{1}{x^2}$.
Alors $0 < \frac{x \ln(x)}{e^x} < \frac{x \ln(x)}{x^2} = \frac{\ln(x)}{x}$.
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (croissances comparées).
Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln(x)}{e^x} = 0$.
Donc $\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{x \ln(x)}{e^x}\right) = 1 - 0 = 1$.
Finalement, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} \times \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{x \ln(x)}{e^x}\right) = (+\infty) \times 1 = +\infty$.
Donc $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$.
Limite de $g(x) = e^x - x^2 \ln(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$:
- $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.
- $\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$.
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$.
Donc $\lim_{x \to +\infty} x^2 \ln(x) = +\infty$.
On a une forme indéterminée du type $+\infty - \infty$. On factorise par le terme dominant, qui est $e^x$ (car l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$, et donc sur $x^2 \ln(x)$).
$$g(x) = e^x \left(1 - \frac{x^2 \ln(x)}{e^x}\right)$$
Analysons la limite de $\frac{x^2 \ln(x)}{e^x}$ lorsque $x \to +\infty$.
On peut écrire $\frac{x^2 \ln(x)}{e^x} = \frac{x^2}{e^x} \times \ln(x)$.
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$ (croissances comparées).
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$.
On a encore une forme indéterminée $0 \times \infty$. Pour la lever, on peut utiliser la propriété que $e^x$ l'emporte sur $x^3$.
Pour $x > 0$, on a $e^x > x^3$ pour $x$ suffisamment grand. Donc $\frac{1}{e^x} < \frac{1}{x^3}$.
Alors $0 < \frac{x^2 \ln(x)}{e^x} < \frac{x^2 \ln(x)}{x^3} = \frac{\ln(x)}{x}$.
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (croissances comparées).
Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 \ln(x)}{e^x} = 0$.
Donc $\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{x^2 \ln(x)}{e^x}\right) = 1 - 0 = 1$.
Finalement, $\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} e^x \times \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{x^2 \ln(x)}{e^x}\right) = (+\infty) \times 1 = +\infty$.
Donc $\boxed{\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty}$.

Questions fréquentes

Pourquoi l'exponentielle l'emporte-t-elle sur les puissances de $x$ en $+\infty$ ?

Intuitivement, la croissance de $e^x$ est exponentielle, tandis que celle de $x^n$ est polynomiale. La fonction exponentielle croît plus rapidement que n'importe quelle fonction polynomiale. La preuve formelle utilise souvent la règle de L'Hôpital ou des inégalités comme $e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ pour $x>0$.

Pourquoi les puissances de $x$ l'emportent-elles sur le logarithme en $+\infty$ ?

Le logarithme népérien croît très lentement en $+\infty$. Toute fonction puissance $x^n$ (avec $n>0$) croît plus rapidement. La preuve peut se faire en posant $x = e^u$, ce qui transforme $\frac{\ln(x)}{x^n}$ en $\frac{u}{(e^u)^n} = \frac{u}{e^{nu}}$, et on utilise alors la croissance comparée de l'exponentielle sur $u$.

Comment prouver que $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ ?

On effectue un changement de variable. Posons $X = \frac{1}{x}$. Lorsque $x \to 0^+$, $X \to +\infty$. Alors $x = \frac{1}{X}$ et $\ln(x) = \ln(\frac{1}{X}) = -\ln(X)$. L'expression devient $x^n \ln(x) = \left(\frac{1}{X}\right)^n (-\ln(X)) = -\frac{\ln(X)}{X^n}$. D'après les croissances comparées en $+\infty$, $\lim_{X \to +\infty} \frac{\ln(X)}{X^n} = 0$. Donc $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = -0 = 0$.

Peut-on utiliser les croissances comparées pour $x \to -\infty$ ?

Les théorèmes de croissances comparées tels qu'énoncés s'appliquent principalement pour $x \to +\infty$ ou $x \to 0^+$. Pour $x \to -\infty$, il faut souvent faire un changement de variable. Par exemple, pour $\lim_{x \to -\infty} x e^x$, on pose $X = -x$. Alors $x = -X$ et $e^x = e^{-X}$. La limite devient $\lim_{X \to +\infty} -X e^{-X} = -\lim_{X \to +\infty} \frac{X}{e^X} = -0 = 0$.

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