Résoudre une inéquation avec e^x – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Une inéquation avec $e^x$ est une inégalité mathématique où l'inconnue $x$ apparaît dans l'exposant de la fonction exponentielle, par exemple $e^{f(x)} < g(x)$ ou $e^{f(x)} > e^{g(x)}$. La résolution de ces inéquations repose sur la stricte croissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$, ce qui signifie que pour tous réels $a$ et $b$, $e^a < e^b \iff a < b$ et $e^a = e^b \iff a = b$.

💡 Bon réflexe : Toujours isoler l'exponentielle, puis appliquer le logarithme népérien en vérifiant les conditions de positivité, et enfin résoudre l'inéquation algébrique résultante.

Méthode — Résoudre une inéquation avec $e^x$

Étape 1 : Isoler l'expression exponentielle

L'objectif est de réécrire l'inéquation sous la forme $e^{f(x)} < k$, $e^{f(x)} > k$, $e^{f(x)} < e^{g(x)}$ ou $e^{f(x)} > e^{g(x)}$, où $k$ est une constante et $f(x)$, $g(x)$ sont des expressions de $x$. On utilise les propriétés algébriques classiques (addition, soustraction, multiplication, division) en veillant à ne pas changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication ou division par un nombre négatif.

Étape 2 : Appliquer la fonction logarithme népérien (si nécessaire)

Si l'inéquation est de la forme $e^{f(x)} < k$ ou $e^{f(x)} > k$ avec $k > 0$, on applique la fonction $\ln$ (logarithme népérien) aux deux membres de l'inégalité. Comme la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$, le sens de l'inégalité est conservé : $e^{f(x)} < k \iff f(x) < \ln(k)$ et $e^{f(x)} > k \iff f(x) > \ln(k)$. Si $k \leq 0$, l'inéquation n'a pas de solution ou est toujours vraie (par exemple $e^{f(x)} > -1$ est toujours vraie car $e^{f(x)} > 0$). Si l'inéquation est déjà de la forme $e^{f(x)} < e^{g(x)}$ ou $e^{f(x)} > e^{g(x)}$, on passe directement à l'étape 3.

Étape 3 : Résoudre l'inéquation résultante

Après application du logarithme, on obtient une inéquation polynomiale, rationnelle ou autre, qu'il faut résoudre par les méthodes habituelles (tableau de signes, résolution d'équations, etc.). Par exemple, si on a $f(x) < \ln(k)$, on résout cette nouvelle inéquation pour trouver les valeurs de $x$ qui satisfont la condition.

Étape 4 : Conclure et vérifier le domaine de validité

Exprimer l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle(s). Il est crucial de s'assurer que les solutions obtenues sont valides dans le domaine de définition des fonctions impliquées. En particulier, l'argument de la fonction $\ln$ doit toujours être strictement positif. Pour $e^x$, le domaine de définition est $\mathbb{R}$.

Exemple résolu

Résoudre l'inéquation suivante : $2e^{2x+1} - 6 \leq 0$.

Étape 1 : Isoler l'expression exponentielle.

On commence par ajouter $6$ aux deux membres de l'inéquation : $$2e^{2x+1} \leq 6$$ Ensuite, on divise par $2$ (qui est positif, donc le sens de l'inégalité est conservé) : $$e^{2x+1} \leq 3$$

Étape 2 : Appliquer la fonction logarithme népérien.

L'inéquation est de la forme $e^{f(x)} \leq k$ avec $k=3 > 0$. On peut donc appliquer la fonction $\ln$ aux deux membres. Comme $\ln$ est strictement croissante, le sens de l'inégalité est conservé : $$\ln(e^{2x+1}) \leq \ln(3)$$ En utilisant la propriété $\ln(e^A) = A$, on obtient : $$2x+1 \leq \ln(3)$$

Étape 3 : Résoudre l'inéquation résultante.

On résout cette inéquation linéaire en $x$ : $$2x \leq \ln(3) - 1$$ $$x \leq \frac{\ln(3) - 1}{2}$$

Étape 4 : Conclure et vérifier le domaine de validité.

L'ensemble des solutions est l'intervalle $]-\infty; \frac{\ln(3) - 1}{2}]$. La fonction exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$, donc il n'y a pas de restriction de domaine à vérifier pour $x$ au-delà de la résolution de l'inéquation linéaire.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $2e^{2x+1} - 6 \leq 0$ est $S = \left]-\infty; \frac{\ln(3) - 1}{2}\right]$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli des conditions sur le logarithme

Oublier que $\ln(k)$ n'est défini que si $k > 0$. Si l'inéquation mène à $e^{f(x)} < k$ avec $k \leq 0$, il n'y a pas de solution car $e^{f(x)}$ est toujours strictement positif.
Changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication ou division par un nombre négatif sans s'en rendre compte.
Confondre les propriétés de $e^x$ et $\ln(x)$ (par exemple, penser que $e^{A+B} = e^A + e^B$ au lieu de $e^{A+B} = e^A × e^B$).
Ne pas simplifier complètement l'expression de $x$ ou laisser des erreurs de calcul algébrique.

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^x + 1$.

Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x \to -\infty$.
Résoudre l'inéquation $f(x) > 1$.
En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe représentative de $f$ est au-dessus de la droite d'équation $y=1$.

Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x \to -\infty$.
On a $f(x) = (x-1)e^x + 1$.
Lorsque $x \to -\infty$, on sait que $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
On a une forme indéterminée du type $$\lim_{x \to -\infty} (x-1)e^x$$ On peut réécrire $(x-1)e^x = xe^x - e^x$.
On sait par croissances comparées que $\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$.
Et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
Donc, $\lim_{x \to -\infty} (x-1)e^x = 0 - 0 = 0$.
Par conséquent, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 + 1 = 1$.
Résoudre l'inéquation $f(x) > 1$.
L'inéquation est $(x-1)e^x + 1 > 1$.
On soustrait $1$ aux deux membres : $$(x-1)e^x > 0$$ On sait que pour tout réel $x$, $e^x > 0$.
Pour que le produit $(x-1)e^x$ soit strictement positif, il faut que le facteur $(x-1)$ soit strictement positif (puisque $e^x$ est toujours positif).
Donc, on doit avoir : $$x-1 > 0$$ $$x > 1$$
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) > 1$ est $S = ]1; +\infty[$.
En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe représentative de $f$ est au-dessus de la droite d'équation $y=1$.
La courbe représentative de $f$ est au-dessus de la droite d'équation $y=1$ lorsque $f(x) > 1$.
D'après la question précédente, cette condition est vérifiée pour $x \in ]1; +\infty[$.
Donc, la courbe représentative de $f$ est au-dessus de la droite d'équation $y=1$ pour $x \in ]1; +\infty[$.

Questions fréquentes

Peut-on résoudre une inéquation avec $e^x$ si le second membre est négatif ou nul ?

Oui, mais il faut être vigilant. Puisque $e^x$ est toujours strictement positif ($e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$), une inéquation comme $e^{f(x)} < -5$ n'aura aucune solution. Une inéquation comme $e^{f(x)} > -5$ sera toujours vraie pour tout $x$ pour lequel $f(x)$ est défini. Il n'est pas nécessaire d'appliquer le $\ln$ dans ces cas.

Quelles sont les propriétés de l'exponentielle et du logarithme à connaître pour ces résolutions ?

Les propriétés essentielles sont : $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$, $e^{\ln(x)} = x$ (pour $x>0$), $e^{a+b} = e^a × e^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^b = e^{ab}$. La stricte croissance de $e^x$ et $\ln(x)$ est fondamentale : $e^a < e^b \iff a < b$ et $\ln(a) < \ln(b) \iff a < b$ (pour $a,b > 0$).

Comment gérer les inéquations avec des produits ou quotients impliquant $e^x$ ?

Pour les produits ou quotients, on utilise souvent un tableau de signes. Par exemple, pour $(x-1)e^x > 0$, on étudie le signe de chaque facteur. Comme $e^x$ est toujours positif, le signe du produit dépendra uniquement du signe de $(x-1)$. Si l'inéquation est plus complexe, on peut être amené à factoriser ou à réduire au même dénominateur avant d'étudier les signes.

Faut-il toujours vérifier le domaine de définition des fonctions ?

Oui, c'est une étape cruciale. La fonction exponentielle $e^x$ est définie sur tout $\mathbb{R}$, donc elle n'impose pas de restrictions sur $x$. Cependant, si d'autres fonctions sont impliquées (comme $\ln(x)$, $\sqrt{x}$, ou des fonctions rationnelles), il faut s'assurer que les solutions obtenues sont compatibles avec leurs domaines de définition. Par exemple, $\ln(A)$ n'est défini que si $A > 0$.

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