Formules d'addition : sin(a+b), cos(a+b), tan(a+b) – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Les formules d'addition permettent d'exprimer les fonctions trigonométriques d'une somme ou d'une différence d'angles en fonction des fonctions trigonométriques de ces angles. Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$
$\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$
$\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$
$\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$

Si de plus $\cos(a+b) \neq 0$, $\cos(a) \neq 0$ et $\cos(b) \neq 0$, alors $\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$.

💡 Bon réflexe : Pour les calculs d'angles non remarquables, toujours chercher à les décomposer en somme ou différence d'angles remarquables (ex: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{6}$).

Méthode — Formules d\'addition : $\sin(a+b)$, $\cos(a+b)$, $\tan(a+b)$

Identifier la structure de l'angle

Déterminer si l'angle à calculer est une somme ($a+b$) ou une différence ($a-b$) de deux angles dont les valeurs trigonométriques sont connues ou facilement calculables (par exemple, des angles remarquables comme $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, etc.).

Choisir la formule appropriée

Sélectionner la formule d'addition ou de soustraction correspondant à la fonction trigonométrique (cosinus, sinus ou tangente) et à l'opération (addition ou soustraction) identifiée à l'étape précédente. Par exemple, pour $\cos(a+b)$, utiliser $\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$.

Calculer les valeurs trigonométriques des angles composants

Évaluer $\cos(a)$, $\sin(a)$, $\cos(b)$, $\sin(b)$ (et $\tan(a)$, $\tan(b)$ si nécessaire) pour les angles $a$ et $b$ choisis. Utiliser le cercle trigonométrique et les valeurs remarquables.

Appliquer la formule et simplifier

Substituer les valeurs calculées dans la formule choisie et effectuer les opérations arithmétiques. Simplifier l'expression obtenue au maximum pour donner le résultat final sous une forme exacte.

Exemple résolu

Calculer la valeur exacte de $\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)$.

Décomposer l'angle $\frac{7\pi}{12}$ en une somme d'angles remarquables.

On cherche deux angles $a$ et $b$ dont la somme est $\frac{7\pi}{12}$ et dont les valeurs trigonométriques sont connues. On peut écrire $\frac{7\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$. Ici, $a = \frac{\pi}{4}$ et $b = \frac{\pi}{3}$.

Identifier la formule d'addition à utiliser.

Puisqu'il s'agit d'un cosinus d'une somme, on utilise la formule $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$.

Calculer les valeurs trigonométriques des angles $a$ et $b$.

Pour $a = \frac{\pi}{4}$ : $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Pour $b = \frac{\pi}{3}$ : $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Appliquer la formule et simplifier.

On substitue les valeurs dans la formule :
$\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right)$
$= \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$
$= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

La valeur exacte de $\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)$ est $\boxed{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}$.

⚠️ Confusion entre les signes et les fonctions

Ne pas confondre le signe dans la formule du cosinus : $\cos(a+b)$ contient un '$-$', tandis que $\cos(a-b)$ contient un '$+$'.
Intervertir les fonctions dans la formule du sinus : $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ et non $\sin(a)\sin(b) + \cos(a)\cos(b)$.
Oublier les conditions d'existence pour la tangente : $\tan(a+b)$ n'est définie que si $\cos(a+b) \neq 0$, $\cos(a) \neq 0$ et $\cos(b) \neq 0$.

Exercice type BAC

On considère deux angles $a$ et $b$ tels que $\sin(a) = \frac{3}{5}$ avec $a \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ et $\cos(b) = -\frac{12}{13}$ avec $b \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$.

Déterminer les valeurs exactes de $\cos(a)$ et $\sin(b)$.
Calculer la valeur exacte de $\cos(a+b)$.
Calculer la valeur exacte de $\sin(a-b)$.

Déterminons $\cos(a)$ et $\sin(b)$.
Pour $\cos(a)$ : On sait que $\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1$.
Donc $\cos^2(a) = 1 - \sin^2(a) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$.
Ainsi $\cos(a) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ ou $\cos(a) = -\frac{4}{5}$.
Puisque $a \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, $\cos(a)$ est positif. Donc $\cos(a) = \frac{4}{5}$.
Pour $\sin(b)$ : On sait que $\cos^2(b) + \sin^2(b) = 1$.
Donc $\sin^2(b) = 1 - \cos^2(b) = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169-144}{169} = \frac{25}{169}$.
Ainsi $\sin(b) = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$ ou $\sin(b) = -\frac{5}{13}$.
Puisque $b \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$, $\sin(b)$ est positif. Donc $\sin(b) = \frac{5}{13}$.
Calculons $\cos(a+b)$.
On utilise la formule $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$.
En substituant les valeurs trouvées et celles données :
$\cos(a+b) = \left(\frac{4}{5}\right) × \left(-\frac{12}{13}\right) - \left(\frac{3}{5}\right) × \left(\frac{5}{13}\right)$
$= -\frac{48}{65} - \frac{15}{65}$
$= -\frac{63}{65}$.
Calculons $\sin(a-b)$.
On utilise la formule $\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$.
En substituant les valeurs :
$\sin(a-b) = \left(\frac{3}{5}\right) × \left(-\frac{12}{13}\right) - \left(\frac{4}{5}\right) × \left(\frac{5}{13}\right)$
$= -\frac{36}{65} - \frac{20}{65}$
$= -\frac{56}{65}$.

Questions fréquentes

Comment retenir les signes des formules d'addition pour cosinus et sinus ?

Pour le cosinus, le signe est 'contraire' à l'opération : $\cos(a+b)$ a un '$-$', $\cos(a-b)$ a un '$+$'. Pour le sinus, le signe est 'identique' à l'opération : $\sin(a+b)$ a un '$+$', $\sin(a-b)$ a un '$-$'. De plus, le cosinus 'sépare' les fonctions (cos cos - sin sin) tandis que le sinus 'mélange' (sin cos + cos sin).

Les formules d'addition sont-elles au programme de Terminale Spécialité ?

Oui, les formules d'addition pour le cosinus et le sinus sont explicitement au programme de Terminale Spécialité Mathématiques. La formule de la tangente en découle et est utile mais moins souvent demandée directement.

Peut-on utiliser ces formules pour des angles négatifs ou supérieurs à $2\pi$ ?

Oui, les formules d'addition sont valables pour tous les nombres réels $a$ et $b$. Il suffit d'utiliser les propriétés de parité et de périodicité des fonctions trigonométriques ($\cos(-x) = \cos(x)$, $\sin(-x) = -\sin(x)$, $\cos(x+2\pi) = \cos(x)$, etc.) pour ramener les angles à des valeurs plus simples si nécessaire.

Comment démontrer la formule de $\cos(a+b)$ ?

La démonstration la plus courante utilise le produit scalaire de vecteurs unitaires dans un repère orthonormé. Soient $\vec{u}(\cos a, \sin a)$ et $\vec{v}(\cos(-b), \sin(-b)) = \vec{v}(\cos b, -\sin b)$. Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ peut être calculé de deux manières :
1. Par les coordonnées : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \cos a \cos b + \sin a (-\sin b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.
2. Par la formule avec l'angle : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| × ||\vec{v}|| × \cos(a - (-b)) = 1 × 1 × \cos(a+b) = \cos(a+b)$.
En égalant les deux expressions, on obtient $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.

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