Le logarithme népérien : définition et propriétés algébriques – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Quelle est la relation entre $\ln(x)$ et $e^x$ ?

La fonction logarithme népérien $\ln$ et la fonction exponentielle $e^x$ sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. Cela signifie que pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$, et pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$. Graphiquement, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Définition

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ qui s'annule en $1$.

Ainsi, pour tout $x > 0$, $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ et $\ln(1) = 0$.

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$. Elle réalise une bijection de $]0 ; +\infty[$ sur $\mathbb{R}$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier le domaine de définition des expressions avec $\ln$ avant de commencer les calculs ou la résolution.

Méthode — Le logarithme népérien : définition et propriétés algébriques

Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier une expression

Les propriétés fondamentales du logarithme népérien sont :

$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ pour $a, b > 0$
$\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ pour $a, b > 0$
$\ln(a^n) = n\ln(a)$ pour $a > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$
$\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$ pour $a > 0$
$\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$ pour $a > 0$

Ces propriétés permettent de transformer des produits, quotients ou puissances en sommes ou différences, simplifiant ainsi les expressions.

Résoudre une équation ou inéquation avec $\ln$

Pour résoudre une équation du type $\ln(f(x)) = c$ ou $\ln(f(x)) = \ln(g(x))$ :

Déterminer l'ensemble de définition des expressions (les arguments du $\ln$ doivent être strictement positifs).
Utiliser la propriété d'injectivité de $\ln$ : $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (pour $A, B > 0$).
Utiliser la fonction exponentielle, réciproque de $\ln$ : $\ln(A) = c \iff A = e^c$.
Vérifier que les solutions obtenues appartiennent bien à l'ensemble de définition initial.

Pour les inéquations, utiliser la stricte croissance de $\ln$ : $\ln(A) < \ln(B) \iff A < B$ (pour $A, B > 0$) ou $\ln(A) < c \iff A < e^c$ (pour $A > 0$).

Étudier les limites impliquant $\ln$

Connaître les limites de référence :

$\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$
$\lim_{x\to +\infty} \ln(x) = +\infty$

Ainsi que les croissances comparées :

$\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$
$\lim_{x\to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$

Ces limites sont cruciales pour l'étude des fonctions composées avec $\ln$.

Calculer la dérivée d'une fonction avec $\ln$

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $x \mapsto \ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est donnée par la formule : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$. Cette formule est essentielle pour l'étude des variations de fonctions logarithmiques.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x - 1 - \ln(x)$. Étudier les variations de $f$ et en déduire son signe sur $]0 ; +\infty[$.

Calculer la dérivée de $f$

La fonction $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ comme somme de fonctions dérivables. Pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$ : $f'(x) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(1) - \frac{d}{dx}(\ln(x)) = 1 - 0 - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x}$.

Étudier le signe de la dérivée $f'(x)$

Pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$ : $f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.
Le dénominateur $x$ est strictement positif sur $]0 ; +\infty[$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de son numérateur $x-1$.

Si $x-1 < 0$, c'est-à-dire $0 < x < 1$, alors $f'(x) < 0$.
Si $x-1 = 0$, c'est-à-dire $x = 1$, alors $f'(x) = 0$.
Si $x-1 > 0$, c'est-à-dire $x > 1$, alors $f'(x) > 0$.

En déduire les variations de $f$

Puisque $f'(x) < 0$ sur $]0 ; 1[$, $f$ est strictement décroissante sur $]0 ; 1[$.
Puisque $f'(x) > 0$ sur $]1 ; +\infty[$, $f$ est strictement croissante sur $]1 ; +\infty[$.
La fonction $f$ admet un minimum local en $x=1$. Le minimum est $f(1) = 1 - 1 - \ln(1) = 0 - 0 = 0$.

Calculer les limites aux bornes de l'intervalle de définition

$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} (x - 1 - \ln(x))$. Comme $\lim_{x\to 0^+} x = 0$ et $\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$, alors $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0 - 1 - (-\infty) = +\infty$.
$\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} (x - 1 - \ln(x)) = \lim_{x\to +\infty} x(1 - \frac{1}{x} - \frac{\ln(x)}{x})$.
On sait que $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ et par croissance comparée $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
Donc $\lim_{x\to +\infty} (1 - \frac{1}{x} - \frac{\ln(x)}{x}) = 1 - 0 - 0 = 1$.
Puisque $\lim_{x\to +\infty} x = +\infty$, on a $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty \times 1 = +\infty$.

Déduire le signe de $f(x)$

D'après l'étude des variations, la fonction $f$ atteint son minimum en $x=1$, et ce minimum est $f(1) = 0$.
Puisque le minimum de $f$ est $0$ et que $f(x)$ ne prend jamais de valeurs inférieures à $0$, on peut conclure que pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, $f(x) \geq 0$.

La fonction $f$ est décroissante sur $]0 ; 1]$ et croissante sur $[1 ; +\infty[$. Elle admet un minimum de $0$ en $x=1$. Par conséquent, pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, $f(x) = x - 1 - \ln(x) \geq 0$.

⚠️ Erreurs courantes avec le domaine de définition et les propriétés

Oublier de vérifier que l'argument du logarithme est strictement positif lors de la résolution d'équations ou d'inéquations. Par exemple, $\ln(x-2)$ n'est défini que pour $x > 2$.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (qui est $\ln(ab)$). Il n'y a pas de propriété simple pour $\ln(a+b)$.
Appliquer les propriétés de $\ln$ à des nombres négatifs ou nuls. Par exemple, $\ln((-2)^2) = \ln(4) = 2\ln(2)$, mais $2\ln(-2)$ n'est pas défini.
Oublier les croissances comparées lors du calcul de limites, notamment $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ et $\lim_{x\to 0^+} x\ln(x) = 0$.

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$.

Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
Montrer que pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, $f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$.
Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$.

Calcul des limites :
- En $0^+$ : $\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(x)}{x}$.
  On sait que $\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x\to 0^+} x = 0^+$.
  Donc, par quotient, $\lim_{x\to 0^+} f(x) = -\infty$.
- En $+ \infty$ : $\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$.
  C'est une limite de croissance comparée. On sait que $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
  Donc, $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$.
Calcul de la dérivée $f'(x)$ :
La fonction $f$ est de la forme $\frac{u}{v}$ avec $u(x) = \ln(x)$ et $v(x) = x$.
On a $u'(x) = \frac{1}{x}$ et $v'(x) = 1$.
La formule de dérivation d'un quotient est $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$.
$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} × x - \ln(x) × 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$.
Étude du signe de $f'(x)$ et tableau de variations :
Pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, $x^2 > 0$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $1 - \ln(x)$.
$1 - \ln(x) > 0 \iff 1 > \ln(x) \iff e^1 > x \iff x < e$.
$1 - \ln(x) = 0 \iff 1 = \ln(x) \iff x = e$.
$1 - \ln(x) < 0 \iff 1 < \ln(x) \iff x > e$.
Donc :
- Si $0 < x < e$, $f'(x) > 0$, $f$ est strictement croissante.
- Si $x = e$, $f'(x) = 0$, $f$ admet un extremum.
- Si $x > e$, $f'(x) < 0$, $f$ est strictement décroissante.
Le maximum de $f$ est atteint en $x=e$ et vaut $f(e) = \frac{\ln(e)}{e} = \frac{1}{e}$.
Tableau de variations :
$x$ $0$ $e$ $+\infty$
Signe de $f'(x)$ $+$ $0$ $-$
Variations de $f$ $-\infty$ $\nearrow$ $\frac{1}{e}$ $\searrow$ $0$
Équation de la tangente au point d'abscisse $1$ :
L'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $a$ est donnée par $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Ici $a=1$.
- $f(1) = \frac{\ln(1)}{1} = \frac{0}{1} = 0$.
- $f'(1) = \frac{1 - \ln(1)}{1^2} = \frac{1 - 0}{1} = 1$.
L'équation de la tangente est donc $y = 1(x-1) + 0$, soit $y = x-1$.

$x$	$0$		$e$		$+\infty$
Signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$
Variations de $f$	$-\infty$	$\nearrow$	$\frac{1}{e}$	$\searrow$	$0$

Questions fréquentes

Quelle est la relation entre $\ln(x)$ et $e^x$ ?

La fonction logarithme népérien $\ln$ et la fonction exponentielle $e^x$ sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. Cela signifie que pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$, et pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$. Graphiquement, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Pourquoi le domaine de définition de $\ln(x)$ est-il $]0 ; +\infty[$ ?

La fonction $\ln(x)$ est définie comme la primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$. La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas définie en $0$ et change de signe en $0$, ce qui empêche d'intégrer sur un intervalle contenant $0$. De plus, la fonction exponentielle $e^x$ est toujours strictement positive, et comme $\ln$ est sa réciproque, $\ln(x)$ ne peut être défini que pour des valeurs de $x$ strictement positives.

Comment résoudre une équation du type $\ln(x^2) = 4$ ?

D'abord, le domaine de définition : $x^2 > 0$, donc $x \neq 0$.
On peut utiliser la propriété $\ln(a^n) = n\ln(a)$ : $2\ln(|x|) = 4$, donc $\ln(|x|) = 2$.
Ensuite, on utilise la fonction exponentielle : $|x| = e^2$.
Les solutions sont $x = e^2$ ou $x = -e^2$. Ces deux valeurs sont non nulles, donc valides.

Y a-t-il d'autres fonctions logarithmes ?

Oui, le logarithme népérien est le logarithme de base $e$. Il existe des logarithmes de toute autre base $a > 0$ et $a \neq 1$, notés $\log_a(x)$. La relation entre eux est $\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$. Le plus courant après le logarithme népérien est le logarithme décimal (ou de base $10$), noté $\log(x)$ ou $\log_{10}(x)$, utilisé en chimie (pH) ou en acoustique (décibels).

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