Résoudre une inéquation avec ln(x) – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Pourquoi doit-on toujours vérifier l'ensemble de définition en premier ?

La fonction $\ln(X)$ n'est définie que pour $X > 0$. Si on ne détermine pas l'ensemble de définition au début, on risque d'obtenir des solutions algébriques qui ne sont pas valides pour la fonction $\ln$, et donc fausses pour l'inéquation initiale. C'est une étape éliminatoire cruciale.

Q: Est-ce que $\ln(x^2)$ est égal à $2\ln(x)$ ?

Non, pas toujours. La propriété $\ln(a^n) = n\ln(a)$ est valable si $a > 0$. Si $x$ peut être négatif, $\ln(x^2)$ est défini pour $x \neq 0$, tandis que $2\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$. Il est plus rigoureux d'écrire $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$ pour $x \neq 0$. Cependant, dans le cadre des inéquations, l'ensemble de définition initial $x>0$ (ou $x \neq 0$ si c'est $\ln(x^2)$ seul) doit être respecté, ce qui souvent simplifie à $2\ln(x)$ si $x>0$ est déjà une condition.

Définition

Une inéquation avec la fonction logarithme népérien $\ln(x)$ est une inéquation où l'inconnue $x$ apparaît dans l'argument d'un ou plusieurs $\ln(x)$. Pour la résoudre, il est impératif de déterminer l'ensemble de définition des expressions contenant $\ln(x)$ et d'utiliser les propriétés de la fonction $\ln$ (strictement croissante, $\ln(a) = \ln(b) \iff a=b$, $\ln(a) < \ln(b) \iff a

💡 Bon réflexe : Toujours commencer par déterminer l'ensemble de définition de l'inéquation, puis simplifier avec les propriétés de $\ln$ avant d'appliquer la fonction exponentielle ou la stricte croissance.

Méthode — Résoudre une inéquation avec $\ln(x)$

Étape 1 : Déterminer l'ensemble de définition

Avant toute résolution, il est crucial de déterminer l'ensemble de définition de l'inéquation. La fonction $\ln(X)$ n'est définie que pour $X > 0$. Ainsi, pour chaque terme de la forme $\ln(f(x))$, il faut poser la condition $f(x) > 0$. L'ensemble de définition de l'inéquation sera l'intersection de tous ces ensembles.

Étape 2 : Isoler les termes $\ln(x)$ et simplifier

Utiliser les propriétés algébriques de la fonction $\ln$ pour regrouper les termes et simplifier l'inéquation. L'objectif est d'arriver à une forme du type $\ln(A(x)) < \ln(B(x))$ ou $\ln(A(x)) < C$ (où $C$ est une constante).

Étape 3 : Utiliser la stricte croissance de $\ln$ ou la fonction exponentielle

Si l'inéquation est de la forme $\ln(A(x)) < \ln(B(x))$, alors, puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$, cela équivaut à $A(x) < B(x)$. Si l'inéquation est de la forme $\ln(A(x)) < C$, on peut écrire $C = \ln(e^C)$, ce qui donne $\ln(A(x)) < \ln(e^C)$, et donc $A(x) < e^C$. Faire attention au sens de l'inégalité.

Étape 4 : Résoudre l'inéquation obtenue et conclure

Résoudre l'inéquation algébrique obtenue à l'étape 3. Enfin, l'ensemble des solutions de l'inéquation de départ est l'intersection de l'ensemble de définition (trouvé à l'étape 1) et de l'ensemble des solutions de l'inéquation algébrique.

Exemple résolu

Résoudre l'inéquation suivante : $2\ln(x) - \ln(2x+3) \leq \ln(2)$.

Déterminer l'ensemble de définition de l'inéquation.

Pour que $\ln(x)$ soit défini, il faut $x > 0$.
Pour que $\ln(2x+3)$ soit défini, il faut $2x+3 > 0$, soit $2x > -3$, donc $x > -3/2$.
L'intersection de ces deux conditions est $x > 0$. L'ensemble de définition est donc $D = ]0;+\infty[$.
Toute solution devra appartenir à cet intervalle.

Simplifier l'inéquation en utilisant les propriétés du logarithme.

L'inéquation est $2\ln(x) - \ln(2x+3) \leq \ln(2)$.
On utilise la propriété $n\ln(a) = \ln(a^n)$ : $\ln(x^2) - \ln(2x+3) \leq \ln(2)$.
On utilise la propriété $\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$ : $\ln\left(\frac{x^2}{2x+3}\right) \leq \ln(2)$.
On a maintenant une inéquation de la forme $\ln(A(x)) \leq \ln(B(x))$.

Utiliser la stricte croissance de la fonction $\ln$.

Puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante, $\ln\left(\frac{x^2}{2x+3}\right) \leq \ln(2)$ équivaut à $\frac{x^2}{2x+3} \leq 2$.
Il faut résoudre cette inéquation algébrique.

Résoudre l'inéquation algébrique obtenue.

On a $\frac{x^2}{2x+3} \leq 2$.
On ramène tout d'un côté pour comparer à 0 : $\frac{x^2}{2x+3} - 2 \leq 0$.
On met au même dénominateur : $\frac{x^2 - 2(2x+3)}{2x+3} \leq 0$.
$\frac{x^2 - 4x - 6}{2x+3} \leq 0$.
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur.
Pour le numérateur $N(x) = x^2 - 4x - 6$: on calcule le discriminant $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-6) = 16 + 24 = 40$.
Les racines sont $x_1 = \frac{4 - \sqrt{40}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{10}}{2} = 2 - \sqrt{10}$ et $x_2 = \frac{4 + \sqrt{40}}{2} = 2 + \sqrt{10}$.
$2 - \sqrt{10} \approx 2 - 3.16 = -1.16$.
$2 + \sqrt{10} \approx 2 + 3.16 = 5.16$.
Le numérateur est un polynôme du second degré, il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.
Pour le dénominateur $D(x) = 2x+3$: il s'annule pour $x = -3/2 = -1.5$. Il est positif pour $x > -3/2$ et négatif pour $x < -3/2$.
On construit un tableau de signes sur l'ensemble de définition $D = ]0;+\infty[$.
Sur $]0;+\infty[$, le dénominateur $2x+3$ est toujours positif.
Donc le signe de $\frac{x^2 - 4x - 6}{2x+3}$ est le même que le signe de $x^2 - 4x - 6$ sur $]0;+\infty[$.
Les racines du numérateur sont $2-\sqrt{10} \approx -1.16$ et $2+\sqrt{10} \approx 5.16$.
Sur $]0;+\infty[$, on a $x^2 - 4x - 6 \leq 0$ pour $x \in ]0; 2+\sqrt{10}]$.
(Puisque $2-\sqrt{10}$ est négatif, il n'est pas dans l'intervalle $]0;+\infty[$.)

Conclure en tenant compte de l'ensemble de définition.

L'ensemble des solutions de l'inéquation algébrique est $S_{alg} = ]-\infty; 2-\sqrt{10}] \cup ]-3/2; 2+\sqrt{10}]$.
Cependant, nous devons intersecter cet ensemble avec l'ensemble de définition $D = ]0;+\infty[$.
$S = S_{alg} \cap D = (]-\infty; 2-\sqrt{10}] \cup ]-3/2; 2+\sqrt{10}]) \cap ]0;+\infty[$.
Puisque $2-\sqrt{10} < 0$, l'intervalle $]-\infty; 2-\sqrt{10}]$ n'intersecte pas $]0;+\infty[$.
Puisque $-3/2 < 0$, l'intervalle $]-3/2; 2+\sqrt{10}]$ intersecte $]0;+\infty[$ sur $]0; 2+\sqrt{10}]$.
Donc, l'ensemble des solutions est $]0; 2+\sqrt{10}]$.
(Attention, $x=2+\sqrt{10}$ est une solution car l'inégalité est large $\leq$ et $2+\sqrt{10} > 0$ et $2(2+\sqrt{10})+3 > 0$).
L'intervalle est ouvert en $0$ car $x$ doit être strictement positif.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $2\ln(x) - \ln(2x+3) \leq \ln(2)$ est $\mathcal{S} = ]0; 2+\sqrt{10}]$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli de l'ensemble de définition

Ne pas déterminer l'ensemble de définition (conditions $X>0$ pour $\ln(X)$) en début d'exercice. Cela peut conduire à des solutions fausses ou à des intervalles de solutions incorrects.
Oublier que la fonction $\ln$ est définie uniquement sur $]0;+\infty[$. Une solution $x$ négative ou nulle est toujours à rejeter.
Faire des erreurs dans la manipulation des inégalités lors de l'application de la fonction exponentielle ou de la stricte croissance de $\ln$. Par exemple, si $\ln(A(x)) > C$, alors $A(x) > e^C$, mais si $\ln(A(x)) < C$, alors $A(x) < e^C$. Le sens de l'inégalité est conservé.
Erreurs de calcul ou de signe lors de la résolution de l'inéquation algébrique finale (souvent un polynôme ou un quotient).

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur un ensemble $D_f$ par $f(x) = \ln(x+1) + \ln(3-x)$.

Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.
Résoudre l'inéquation $f(x) \geq \ln(x+5)$.
Donner les solutions sous forme d'intervalle.

Pour que $f(x)$ soit définie, il faut que les arguments des fonctions logarithmes soient strictement positifs :
- $x+1 > 0 \iff x > -1$
- $3-x > 0 \iff 3 > x \iff x < 3$
L'ensemble de définition $D_f$ est l'intersection de ces deux conditions : $D_f = ]-1; 3[$.
On doit résoudre l'inéquation $f(x) \geq \ln(x+5)$ sur $D_f$.
D'abord, on doit s'assurer que $\ln(x+5)$ est défini. Pour cela, il faut $x+5 > 0 \iff x > -5$.
L'ensemble de validité de l'inéquation est donc $D_f \cap ]-5;+\infty[ = ]-1; 3[ \cap ]-5;+\infty[ = ]-1; 3[$.
L'inéquation est $\ln(x+1) + \ln(3-x) \geq \ln(x+5)$.
En utilisant la propriété $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$, on obtient :
$\ln((x+1)(3-x)) \geq \ln(x+5)$
Puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$, on peut retirer les $\ln$ en conservant le sens de l'inégalité :
$(x+1)(3-x) \geq x+5$
Développons le membre de gauche :
$3x - x^2 + 3 - x \geq x+5$
$-x^2 + 2x + 3 \geq x+5$
On ramène tous les termes d'un côté pour obtenir une inéquation du second degré :
$-x^2 + 2x - x + 3 - 5 \geq 0$
$-x^2 + x - 2 \geq 0$
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe du trinôme $P(x) = -x^2 + x - 2$.
Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-1)(-2) = 1 - 8 = -7$.
Puisque $\Delta < 0$ et que le coefficient de $x^2$ est $a = -1 < 0$, le trinôme $P(x)$ est toujours négatif.
Ainsi, $-x^2 + x - 2 \geq 0$ n'a aucune solution.
L'inéquation $-x^2 + x - 2 \geq 0$ n'a pas de solution. Par conséquent, l'inéquation de départ $f(x) \geq \ln(x+5)$ n'a pas de solution sur l'ensemble de validité $]-1; 3[$.
L'ensemble des solutions est l'ensemble vide : $\mathcal{S} = \emptyset$.

Questions fréquentes

Pourquoi doit-on toujours vérifier l'ensemble de définition en premier ?

La fonction $\ln(X)$ n'est définie que pour $X > 0$. Si on ne détermine pas l'ensemble de définition au début, on risque d'obtenir des solutions algébriques qui ne sont pas valides pour la fonction $\ln$, et donc fausses pour l'inéquation initiale. C'est une étape éliminatoire cruciale.

Comment gérer les constantes dans une inéquation avec $\ln$ ?

Si vous avez une constante $C$ dans une inéquation comme $\ln(A(x)) < C$, vous pouvez la transformer en $\ln(e^C)$. Ainsi, l'inéquation devient $\ln(A(x)) < \ln(e^C)$, ce qui permet d'utiliser la stricte croissance de $\ln$ pour obtenir $A(x) < e^C$. Par exemple, $\ln(x) < 2 \iff \ln(x) < \ln(e^2) \iff x < e^2$ (sur $]0;+\infty[$).

Est-ce que $\ln(x^2)$ est égal à $2\ln(x)$ ?

Non, pas toujours. La propriété $\ln(a^n) = n\ln(a)$ est valable si $a > 0$. Si $x$ peut être négatif, $\ln(x^2)$ est défini pour $x \neq 0$, tandis que $2\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$. Il est plus rigoureux d'écrire $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$ pour $x \neq 0$. Cependant, dans le cadre des inéquations, l'ensemble de définition initial $x>0$ (ou $x \neq 0$ si c'est $\ln(x^2)$ seul) doit être respecté, ce qui souvent simplifie à $2\ln(x)$ si $x>0$ est déjà une condition.

Que faire si l'inéquation finale est un quotient de polynômes ?

Si l'inéquation finale est de la forme $\frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0$ (ou $\geq 0$, $<0$, $>0$), il faut étudier le signe de $P(x)$ et de $Q(x)$ séparément. Ensuite, construire un tableau de signes pour déterminer les intervalles où le quotient a le signe souhaité. Ne pas oublier que le dénominateur $Q(x)$ ne doit jamais être nul.

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