Définition
La fonction tangente, notée $\tan$, est définie pour tout réel $x$ tel que $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ où $k \in \mathbb{Z}$. Elle est définie par la relation $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Elle est périodique de période $\pi$ et impaire, c'est-à-dire $\tan(-x) = -\tan(x)$.
Méthode — La fonction $\tan$ sur $\mathbb{R}$ : domaine, dérivée et variations
1. Déterminer le domaine de définition
La fonction tangente est définie lorsque son dénominateur, $\cos(x)$, est non nul. Il faut donc exclure les valeurs de $x$ pour lesquelles $\cos(x) = 0$, c'est-à-dire $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Le domaine de définition est $D_{\tan} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$.
2. Calculer la dérivée de la fonction tangente
La fonction tangente est de la forme $\frac{u}{v}$ avec $u(x) = \sin(x)$ et $v(x) = \cos(x)$. Sa dérivée est donnée par la formule $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
On a $u'(x) = \cos(x)$ et $v'(x) = -\sin(x)$.
Donc, $\tan'(x) = \frac{\cos(x) \times \cos(x) - \sin(x) \times (-\sin(x))}{(\cos(x))^2} = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$.
En utilisant l'identité fondamentale $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, on obtient $\tan'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$.
Une autre forme utile est $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x)$.
3. Étudier les variations sur un intervalle de référence
Puisque la fonction tangente est périodique de période $\pi$, il suffit d'étudier ses variations sur un intervalle de longueur $\pi$, par exemple $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$.
Sur cet intervalle, $\cos(x) > 0$, donc $\cos^2(x) > 0$.
Par conséquent, $\tan'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} > 0$.
La fonction tangente est donc strictement croissante sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$.
4. Déterminer les limites aux bornes de l'intervalle
Pour étudier le comportement de la fonction tangente aux bornes de l'intervalle $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ :
Lorsque $x \to \frac{\pi}{2}^-$, $\sin(x) \to 1$ et $\cos(x) \to 0^+$. Donc $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = +\infty$.
Lorsque $x \to -\frac{\pi}{2}^+$, $\sin(x) \to -1$ et $\cos(x) \to 0^+$. Donc $\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} \tan(x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\infty$.
Exemple résolu
Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ par $f(x) = \tan(x)$. Étudier les variations de $f$ sur cet intervalle et dresser son tableau de variations.
On peut aussi écrire $f'(x) = 1 + \tan^2(x)$.
Donc, $f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} > 0$ pour tout $x \in I$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $I$.
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan(x) = +\infty$.
$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} \tan(x) = -\infty$.
$$\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & -\frac{\pi}{2} & & \frac{\pi}{2} \\
\hline
f'(x) & & + & \\
\hline
f(x) & -\infty & \nearrow & +\infty \\
\hline
\end{array}$$
La fonction $f(x) = \tan(x)$ est strictement croissante sur l'intervalle $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$, avec des limites infinies aux bornes de l'intervalle.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Domaine de définition
- Oublier d'exclure les valeurs $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ du domaine de définition de la fonction tangente.
- Confondre la période de $\tan(x)$ qui est $\pi$ avec celle de $\sin(x)$ ou $\cos(x)$ qui est $2\pi$.
- Faire une erreur de signe lors du calcul de la dérivée de $\tan(x)$, notamment en oubliant le signe moins de la dérivée de $\cos(x)$.
Exercice type BAC
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ par $f(x) = \tan(x) - x$.
- Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ sur $I$.
- Étudier le signe de $f'(x)$ sur $I$ et en déduire les variations de $f$.
- Calculer les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\frac{\pi}{2}^+$ et vers $\frac{\pi}{2}^-$.
- Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $I$.
Calcul de la dérivée $f'(x)$ :
La fonction $f(x) = \tan(x) - x$ est la somme de deux fonctions dérivables sur $I$.
La dérivée de $\tan(x)$ est $\tan'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$.
La dérivée de $x$ est $1$.
Donc, $f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1$.Étude du signe de $f'(x)$ et variations de $f$ :
On a $f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 = \frac{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)}$.
En utilisant l'identité fondamentale $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, on a $1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$.
Donc, $f'(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 = \tan^2(x)$.
Pour tout $x \in I = ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$, $\tan(x)$ est définie. De plus, $\tan^2(x) \geq 0$.
Le signe de $f'(x)$ est donc toujours positif ou nul.
$f'(x) = 0$ si et seulement si $\tan(x) = 0$, ce qui se produit pour $x = 0$ sur l'intervalle $I$.
Puisque $f'(x) \geq 0$ sur $I$ et ne s'annule qu'en un point isolé, la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.Calcul des limites de $f(x)$ aux bornes :
Lorsque $x \to \frac{\pi}{2}^-$ :
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan(x) = +\infty$.
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (-x) = -\frac{\pi}{2}$.
Donc, $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (\tan(x) - x) = +\infty - \frac{\pi}{2} = +\infty$.
Lorsque $x \to -\frac{\pi}{2}^+$ :
$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} \tan(x) = -\infty$.
$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} (-x) = \frac{\pi}{2}$.
Donc, $\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} (\tan(x) - x) = -\infty + \frac{\pi}{2} = -\infty$.Tableau de variations complet de $f$ sur $I$ :
$$\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -\frac{\pi}{2} & & 0 & & \frac{\pi}{2} \\
\hline
f'(x) & & + & 0 & + & \\
\hline
f(x) & -\infty & \nearrow & 0 & \nearrow & +\infty \\
\hline
\end{array}$$
Note : $f(0) = \tan(0) - 0 = 0 - 0 = 0$.
Questions fréquentes
Pourquoi la fonction tangente n'est-elle pas définie pour $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ?
Quelle est la période de la fonction tangente ?
Comment retrouver la dérivée de $\tan(x)$ si je l'oublie ?
La fonction tangente est-elle paire ou impaire ?
Pour aller plus loin
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