Géométrie dans l'espace · Fiche N°100 / 110

Déterminer l'équation d'un plan (3 points ou point + vecteur normal)

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Dans un repère orthonormé de l'espace, un plan est l'ensemble des points $M(x; y; z)$ tels que leurs coordonnées vérifient une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels, avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$. Le vecteur $\vec{n}(a; b; c)$ est un vecteur normal au plan, c'est-à-dire qu'il est orthogonal à tout vecteur directeur de ce plan.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier la non-colinéarité des vecteurs (ou non-alignement des points) avant de chercher l'équation d'un plan, et bien vérifier les calculs de produits scalaires et de substitution.
xzyOABCAB⃗ ∧ AC⃗ = n⃗puis ax+by+cz=d

Méthode — Déterminer l'équation d'un plan (3 points ou point + vecteur normal)

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Méthode 1 : À partir d'un point et d'un vecteur normal

Si un plan $\mathcal{P}$ passe par un point $A(x_A; y_A; z_A)$ et admet un vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$, alors pour tout point $M(x; y; z)$ appartenant à $\mathcal{P}$, le vecteur $\vec{AM}$ est orthogonal à $\vec{n}$. Leur produit scalaire est donc nul : $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$.
Cela se traduit par l'équation : $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$. En développant, on obtient l'équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ où $d = -ax_A - by_A - cz_A$.

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Méthode 2 : À partir de trois points non alignés

Soient trois points $A$, $B$, $C$ non alignés définissant un plan $\mathcal{P}$.
1. Calculer les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. Déterminer un vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ au plan $\mathcal{P}$. Ce vecteur doit être orthogonal aux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. On peut le trouver en résolvant le système d'équations $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$.
3. Utiliser le vecteur normal $\vec{n}$ et l'un des points (par exemple $A$) pour écrire l'équation du plan comme dans la Méthode 1 : $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$.

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Méthode 3 : À partir d'un point et de deux vecteurs directeurs

Si un plan $\mathcal{P}$ passe par un point $A(x_A; y_A; z_A)$ et est dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}(u_1; u_2; u_3)$ et $\vec{v}(v_1; v_2; v_3)$, alors pour tout point $M(x; y; z)$ de $\mathcal{P}$, le vecteur $\vec{AM}$ est coplanaire avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
1. Déterminer un vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ au plan $\mathcal{P}$ en résolvant le système $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$.
2. Utiliser le vecteur normal $\vec{n}$ et le point $A$ pour écrire l'équation du plan : $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé de l'espace $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1; -2; 3)$, $B(2; 0; 1)$ et $C(-1; 1; 2)$. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

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Calculer les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 0-(-2) \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$$ $$\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1-1 \\ 1-(-2) \\ 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$$
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Déterminer un vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ au plan $(ABC)$
Le vecteur $\vec{n}$ doit être orthogonal à $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. On a donc :
$\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \implies a(1) + b(2) + c(-2) = 0 \implies a + 2b - 2c = 0$ (1)
$\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0 \implies a(-2) + b(3) + c(-1) = 0 \implies -2a + 3b - c = 0$ (2)
De (2), on peut exprimer $c = -2a + 3b$.
Substituons $c$ dans (1) : $a + 2b - 2(-2a + 3b) = 0 \implies a + 2b + 4a - 6b = 0 \implies 5a - 4b = 0$.
On peut choisir $a=4$. Alors $5(4) - 4b = 0 \implies 20 - 4b = 0 \implies 4b = 20 \implies b=5$.
Ensuite, $c = -2(4) + 3(5) = -8 + 15 = 7$.
Donc, un vecteur normal est $\vec{n}(4; 5; 7)$.
Vérification : $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 4(1) + 5(2) + 7(-2) = 4 + 10 - 14 = 0$.
$\vec{n} \cdot \vec{AC} = 4(-2) + 5(3) + 7(-1) = -8 + 15 - 7 = 0$. Les calculs sont corrects.
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Écrire l'équation cartésienne du plan $(ABC)$
Le plan $(ABC)$ a pour vecteur normal $\vec{n}(4; 5; 7)$ et passe par le point $A(1; -2; 3)$.
Son équation est de la forme $4x + 5y + 7z + d = 0$.
Puisque $A$ appartient au plan, ses coordonnées vérifient l'équation :
$4(1) + 5(-2) + 7(3) + d = 0$
$4 - 10 + 21 + d = 0$
$15 + d = 0 \implies d = -15$.
L'équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $4x + 5y + 7z - 15 = 0$.

Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $4x + 5y + 7z - 15 = 0$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Vérification des conditions

  1. Oublier de vérifier que les trois points sont non alignés avant de chercher l'équation d'un plan. S'ils sont alignés, ils ne définissent pas un plan unique.
  2. Faire des erreurs de calcul lors du produit scalaire pour trouver le vecteur normal, ou lors de la substitution des coordonnées du point pour trouver $d$.
  3. Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan. Un vecteur normal est orthogonal au plan, tandis qu'un vecteur directeur est parallèle au plan (ou contenu dans le plan).

Exercice type BAC

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère les points $A(1; 0; -1)$, $B(2; 1; 1)$ et $C(0; 2; 0)$.

  1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
  2. Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec{n}$ normal au plan $(ABC)$.
  3. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
  4. Le point $D(3; -1; 2)$ appartient-il au plan $(ABC)$ ? Justifier votre réponse.

  1. Pour montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, il suffit de montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires.

    Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

    $$ \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 1-0 \\ 1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$ $$ \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0-1 \\ 2-0 \\ 0-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

    Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Par exemple, $\frac{1}{-1} = -1$ mais $\frac{1}{2} \neq -1$.
    Donc, les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés et définissent bien un plan.

  2. Soit $\vec{n}(a; b; c)$ un vecteur normal au plan $(ABC)$. Il doit être orthogonal aux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

    On a donc :

    • $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \implies a(1) + b(1) + c(2) = 0 \implies a + b + 2c = 0$ (1)
    • $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0 \implies a(-1) + b(2) + c(1) = 0 \implies -a + 2b + c = 0$ (2)

    De l'équation (1), on peut exprimer $a = -b - 2c$.

    Substituons cette expression de $a$ dans l'équation (2) :

    $-(-b - 2c) + 2b + c = 0$

    $b + 2c + 2b + c = 0$

    $3b + 3c = 0 \implies b = -c$.

    Choisissons $c=1$. Alors $b = -1$.

    Ensuite, $a = -(-1) - 2(1) = 1 - 2 = -1$.

    Donc, un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}(-1; -1; 1)$.

    Vérification :

    • $\vec{n} \cdot \vec{AB} = (-1)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = -1 - 1 + 2 = 0$
    • $\vec{n} \cdot \vec{AC} = (-1)(-1) + (-1)(2) + (1)(1) = 1 - 2 + 1 = 0$

    Les calculs sont corrects.

  3. Le plan $(ABC)$ a pour vecteur normal $\vec{n}(-1; -1; 1)$ et passe par le point $A(1; 0; -1)$.

    Son équation cartésienne est de la forme $-1x - 1y + 1z + d = 0$, soit $-x - y + z + d = 0$.

    Puisque $A(1; 0; -1)$ appartient au plan, ses coordonnées vérifient l'équation :

    $-(1) - (0) + (-1) + d = 0$

    $-1 - 0 - 1 + d = 0$

    $-2 + d = 0 \implies d = 2$.

    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $-x - y + z + 2 = 0$.

    On peut aussi multiplier par $-1$ pour avoir $x + y - z - 2 = 0$.

  4. Pour savoir si le point $D(3; -1; 2)$ appartient au plan $(ABC)$, il faut vérifier si ses coordonnées satisfont l'équation du plan.

    Utilisons l'équation $x + y - z - 2 = 0$ :

    $3 + (-1) - (2) - 2 = 3 - 1 - 2 - 2 = -2$.

    Puisque $-2 \neq 0$, les coordonnées du point $D$ ne vérifient pas l'équation du plan $(ABC)$.

    Donc, le point $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.

Questions fréquentes

Peut-on utiliser le produit vectoriel pour trouver un vecteur normal ?
Oui, le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan, par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, donne directement un vecteur normal au plan. Si $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$, alors $\vec{n}$ est orthogonal à $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Cependant, le produit vectoriel n'est pas explicitement au programme de Terminale Spécialité, il est donc préférable d'utiliser la méthode des produits scalaires nuls.
Un plan a-t-il une seule équation cartésienne ?
Non, un plan a une infinité d'équations cartésiennes. Si $ax + by + cz + d = 0$ est une équation d'un plan, alors pour tout réel $k \neq 0$, $k(ax + by + cz + d) = 0$ est aussi une équation du même plan. Par exemple, $2x + 2y - 2z - 4 = 0$ est une autre équation du plan $x + y - z - 2 = 0$ de l'exercice.
Comment vérifier si trois points sont alignés ?
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Cela signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{AC} = k \vec{AB}$. On peut vérifier cela en comparant les rapports des coordonnées : si $\frac{x_C - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y_C - y_A}{y_B - y_A} = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ (en faisant attention aux dénominateurs nuls), alors les points sont alignés.
Que signifie un vecteur normal à un plan ?
Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul qui est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de ce plan. Géométriquement, il est 'perpendiculaire' au plan. Si un plan a pour équation $ax + by + cz + d = 0$, alors le vecteur $\vec{n}(a; b; c)$ est un vecteur normal à ce plan.

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