Opérations sur les limites de fonctions – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Les opérations sur les limites de fonctions permettent de déterminer la limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient ou d'une composée de fonctions à partir des limites de ces fonctions élémentaires. Ces règles sont cruciales pour le calcul de limites complexes, mais peuvent parfois conduire à des formes indéterminées ($$0/0$$, $$\infty/\infty$$, $$0 × \infty$$, $$\infty - \infty$$) nécessitant des techniques supplémentaires.

💡 Bon réflexe : Avant de calculer une limite, évaluez les limites des composantes pour anticiper une forme indéterminée et choisir la bonne méthode de levée.

Méthode — Opérations sur les limites de fonctions

Identifier le type d'opération

Déterminer si la fonction dont on cherche la limite est une somme, une différence, un produit, un quotient ou une composée de fonctions. Chaque type d'opération a ses propres règles de calcul de limites.

Calculer les limites des fonctions élémentaires

Calculer la limite de chaque fonction composante (par exemple, $f(x)$ et $g(x)$ pour $f(x) + g(x)$) au point considéré (un réel $a$, $+\infty$ ou $-\infty$). Utiliser les limites usuelles des fonctions de référence (polynômes, exponentielles, logarithmes, trigonométriques).

Appliquer les règles d'opérations sur les limites

Utiliser les tableaux de limites pour la somme, le produit et le quotient. Par exemple, si $\lim_{x \to a} f(x) = L_1$ et $\lim_{x \to a} g(x) = L_2$, alors $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = L_1 + L_2$. Attention aux formes indéterminées.

Gérer les formes indéterminées

Si une forme indéterminée ($$0/0$$, $$\infty/\infty$$, $$0 × \infty$$, $$\infty - \infty$$) apparaît, il est nécessaire de transformer l'expression de la fonction. Les techniques courantes incluent la factorisation par le terme de plus haut degré, la multiplication par l'expression conjuguée, la mise au même dénominateur, ou l'utilisation de croissances comparées.

Exemple résolu

Calculer la limite de la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}$ lorsque $x$ tend vers $2$.

Identifier les limites des fonctions numérateur et dénominateur

On cherche $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 2)$ et $\lim_{x \to 2} (x - 2)$.
Pour le numérateur : $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 2) = 2^2 - 3 × 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$.
Pour le dénominateur : $\lim_{x \to 2} (x - 2) = 2 - 2 = 0$.
On obtient une forme indéterminée de type $$0/0$$.

Lever l'indétermination par factorisation

Puisque $x=2$ est une racine du numérateur $x^2 - 3x + 2$, on sait que $(x-2)$ est un facteur de ce polynôme. On peut factoriser le numérateur :
$x^2 - 3x + 2 = (x-2)(x-1)$.
La fonction $f(x)$ peut alors s'écrire, pour $x \neq 2$ :
$$f(x) = \frac{(x-2)(x-1)}{x-2}$$

Simplifier l'expression de la fonction

Pour $x \neq 2$, on peut simplifier par $(x-2)$ :
$$f(x) = x-1$$

Calculer la limite de l'expression simplifiée

Maintenant, on calcule la limite de l'expression simplifiée lorsque $x$ tend vers $2$ :
$$\lim_{x \to 2} (x-1) = 2 - 1 = 1$$

La limite de la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}$ lorsque $x$ tend vers $2$ est $1$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli des formes indéterminées

Ne pas reconnaître une forme indéterminée et appliquer directement les règles d'opérations, ce qui conduit à un résultat faux.
Oublier de simplifier l'expression après avoir factorisé, ou faire des erreurs de calcul lors de la factorisation.
Confondre les règles d'opérations sur les limites (par exemple, penser que $\lim (f × g) = \lim f × \lim g$ est toujours vrai même si une limite est nulle et l'autre infinie, ce qui est une forme indéterminée $0 × \infty$).
Ne pas justifier les étapes de levée d'indétermination (par exemple, expliquer pourquoi on factorise ou utilise les croissances comparées).

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{x}$.

Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ :
On calcule les limites du numérateur et du dénominateur :
- $\lim_{x \to 0} (e^{2x} - 1) = e^{2 × 0} - 1 = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
- $\lim_{x \to 0} x = 0$.
On obtient une forme indéterminée de type $$0/0$$.
Pour lever cette indétermination, on peut utiliser la limite remarquable $\lim_{X \to 0} \frac{e^X - 1}{X} = 1$.
On pose $X = 2x$. Lorsque $x \to 0$, $X \to 0$.
Alors $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{x} = 2 × \frac{e^{2x} - 1}{2x}$.
Donc $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{X \to 0} 2 × \frac{e^X - 1}{X} = 2 × 1 = 2$.
Ainsi, $\lim_{x \to 0} f(x) = 2$.
Limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ :
On calcule les limites du numérateur et du dénominateur :
- $\lim_{x \to +\infty} (e^{2x} - 1)$. Puisque $\lim_{x \to +\infty} 2x = +\infty$, on a $\lim_{x \to +\infty} e^{2x} = +\infty$. Donc $\lim_{x \to +\infty} (e^{2x} - 1) = +\infty$.
- $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$.
On obtient une forme indéterminée de type $$\infty/\infty$$.
Pour lever cette indétermination, on peut factoriser le numérateur par $e^{2x}$ :
$$f(x) = \frac{e^{2x}(1 - e^{-2x})}{x}$$
On peut réécrire l'expression pour utiliser les croissances comparées :
$$f(x) = \frac{e^{2x}}{x} - \frac{1}{x}$$
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^X}{X} = +\infty$ (croissance comparée). En posant $X=2x$, on a $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{2x} = +\infty$.
Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} 2 × \frac{e^{2x}}{2x} = +\infty$.
De plus, $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$.
Par conséquent, par somme des limites :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{e^{2x}}{x} - \frac{1}{x}\right) = +\infty - 0 = +\infty$$
Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une forme indéterminée ?

Une forme indéterminée est un cas où les règles d'opérations sur les limites ne permettent pas de conclure directement sur la valeur de la limite. Les quatre formes indéterminées principales sont : $$0/0$$, $$\infty/\infty$$, $$0 × \infty$$ et $$\infty - \infty$$. Elles nécessitent des transformations de l'expression de la fonction.

Comment lever une indétermination de type $$\infty/\infty$$ pour des fonctions polynomiales ou rationnelles ?

Pour les fonctions polynomiales, la limite en $\pm\infty$ est celle de son terme de plus haut degré. Pour les fonctions rationnelles (quotient de polynômes), la limite en $\pm\infty$ est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Quand utilise-t-on les croissances comparées ?

Les croissances comparées sont utilisées pour lever des formes indéterminées impliquant des fonctions exponentielles, logarithmiques et puissances en $\pm\infty$. Elles établissent l'ordre de 'vitesse' de croissance de ces fonctions. Par exemple, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$.

Les règles d'opérations sur les limites s'appliquent-elles aussi aux limites à gauche et à droite ?

Oui, les règles d'opérations sur les limites s'appliquent de la même manière aux limites à gauche et à droite. Il faut juste être attentif aux signes des infinis, notamment pour les quotients où le dénominateur tend vers $0^+$ ou $0^-$, ce qui peut donner $+\infty$ ou $-\infty$.

Pour aller plus loin

Vous bloquez sur ce chapitre ?

Adil accompagne les lycéens en Terminale Spécialité, en ligne ou à domicile dans le Val d'Oise. Résultats en 1 séance.

📞 Appeler Cours Terminale →