Probabilités & Statistiques · Fiche N°83 / 110

Loi des grands nombres : fréquences et interprétation

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

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Définition

La loi des grands nombres est un théorème fondamental des probabilités qui établit que, pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, la moyenne des observations tend vers l'espérance mathématique de ces variables lorsque le nombre d'observations augmente. En d'autres termes, la fréquence d'apparition d'un événement dans une série de répétitions d'une expérience aléatoire tend à se stabiliser autour de sa probabilité théorique lorsque le nombre de répétitions devient très grand.

💡 Bon réflexe : Retiens que la loi des grands nombres relie la fréquence observée à la probabilité théorique sur le long terme, mais ne prédit rien sur les résultats à court terme.
pFréquence → pquand n → ∞

Méthode — Loi des grands nombres : fréquences et interprétation

1

Comprendre le contexte de l'expérience aléatoire

Identifiez l'expérience aléatoire répétée (par exemple, lancer un dé, tirer une carte, observer un phénomène). Déterminez l'événement dont on étudie la fréquence et sa probabilité théorique $p$ (si elle est connue). Si l'expérience est répétée $n$ fois, on s'intéresse à la proportion de fois où l'événement se réalise.

2

Définir la fréquence observée

Soit $A$ un événement. Si l'expérience est répétée $n$ fois et que l'événement $A$ se réalise $k$ fois, la fréquence observée de l'événement $A$ est $f_n(A) = \frac{k}{n}$. C'est une variable aléatoire car $k$ (le nombre de succès) est aléatoire.

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Appliquer la loi des grands nombres

La loi des grands nombres stipule que si l'expérience est répétée un grand nombre de fois ($n$ grand), alors la fréquence observée $f_n(A)$ est une bonne approximation de la probabilité théorique $P(A)$ de l'événement. Formellement, pour tout $\epsilon > 0$, $\lim_{n \to +\infty} P(|f_n(A) - P(A)| < \epsilon) = 1$. Cela signifie que la probabilité que la fréquence observée s'écarte de la probabilité théorique d'une valeur supérieure à $\epsilon$ tend vers 0.

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Interpréter les résultats

Lorsque $n$ est suffisamment grand, on peut considérer que $f_n(A) \approx P(A)$. Cela permet d'estimer une probabilité inconnue par une fréquence observée sur un grand nombre d'essais, ou de vérifier si une probabilité théorique est plausible au vu des observations. Il est crucial de comprendre que la loi des grands nombres ne garantit pas une égalité parfaite, mais une convergence en probabilité.

Exemple résolu

Un fabricant de dés affirme que ses dés sont équilibrés. Pour vérifier cette affirmation, un joueur lance un dé 1000 fois et observe le nombre de fois où la face '6' apparaît. Il obtient 150 fois la face '6'. Que peut-on en conclure sur l'équilibre du dé ?

1
Identifier l'expérience aléatoire et l'événement
L'expérience aléatoire est le lancer d'un dé. L'événement étudié est 'obtenir la face 6'. Le nombre de répétitions est $n = 1000$.
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Déterminer la probabilité théorique (si le dé est équilibré)
Si le dé est équilibré, la probabilité d'obtenir la face '6' est $P('6') = \frac{1}{6} \approx 0,1667$.
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Calculer la fréquence observée
Le nombre de fois où la face '6' est apparue est $k = 150$. La fréquence observée est $f_{1000}('6') = \frac{150}{1000} = 0,15$.
4
Appliquer et interpréter la loi des grands nombres
Selon la loi des grands nombres, si le dé était équilibré, la fréquence observée devrait être proche de $P('6') = \frac{1}{6}$. Ici, $f_{1000}('6') = 0,15$ est relativement proche de $0,1667$. L'écart est de $|0,15 - 0,1667| \approx 0,0167$. Sur 1000 lancers, un tel écart n'est pas suffisant pour rejeter l'hypothèse que le dé est équilibré. Des tests statistiques plus poussés (intervalles de fluctuation) permettraient de quantifier plus précisément cette conclusion, mais la loi des grands nombres nous indique que cette observation est compatible avec un dé équilibré.

La fréquence observée de 0,15 pour la face '6' sur 1000 lancers est proche de la probabilité théorique de $\frac{1}{6} \approx 0,1667$. Cette observation ne permet pas de conclure que le dé n'est pas équilibré. Il est plausible que le dé soit équilibré.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion avec la loi du juste milieu

  1. La loi des grands nombres ne signifie pas que les écarts se compensent à court terme. Par exemple, si une pièce tombe 5 fois de suite sur 'pile', la probabilité que le prochain lancer soit 'face' reste 0,5 (si la pièce est équilibrée).
  2. Ne pas confondre la convergence en probabilité avec une convergence certaine ou une égalité. La fréquence ne sera jamais 'exactement' égale à la probabilité, mais 'très proche' pour $n$ grand.
  3. La loi des grands nombres ne s'applique que pour des expériences indépendantes et identiquement distribuées. Si les conditions changent, la loi ne s'applique plus.

Exercice type BAC

Une usine fabrique des composants électroniques. On estime que la probabilité qu'un composant soit défectueux est de $p = 0,02$. Pour contrôler la qualité, on prélève un échantillon aléatoire de $n$ composants.

  1. On prélève un échantillon de $n = 100$ composants. On observe 3 composants défectueux. Calculer la fréquence observée de composants défectueux dans cet échantillon.
  2. En utilisant la loi des grands nombres, expliquer ce que l'on devrait observer si l'on prélevait un très grand nombre de composants.
  3. Un ingénieur prélève un très grand échantillon de $n = 10000$ composants et observe 350 composants défectueux. Que peut-on en déduire concernant l'estimation initiale de la probabilité $p = 0,02$ ? Justifier votre réponse en vous appuyant sur la loi des grands nombres.

  1. Le nombre de composants défectueux observés est $k = 3$. Le nombre total de composants dans l'échantillon est $n = 100$.

    La fréquence observée de composants défectueux est $f_{100} = \frac{k}{n} = \frac{3}{100} = 0,03$.

  2. La loi des grands nombres stipule que lorsque le nombre de répétitions (ici, le nombre de composants prélevés) devient très grand, la fréquence observée d'un événement tend à se rapprocher de sa probabilité théorique.

    Ainsi, si l'on prélevait un très grand nombre de composants, la fréquence de composants défectueux observée devrait se rapprocher de la probabilité théorique $p = 0,02$.

  3. L'ingénieur a prélevé $n = 10000$ composants et a observé $k = 350$ défectueux.

    La fréquence observée est $f_{10000} = \frac{350}{10000} = 0,035$.

    La probabilité théorique estimée est $p = 0,02$.

    L'écart entre la fréquence observée et la probabilité théorique est $|0,035 - 0,02| = 0,015$.

    Puisque $n = 10000$ est un très grand nombre, la loi des grands nombres nous indique que la fréquence observée devrait être très proche de la probabilité théorique si celle-ci était correcte. Or, l'écart de $0,015$ est relativement important pour un si grand échantillon. En effet, $0,035$ est significativement supérieur à $0,02$.

    On peut donc en déduire que l'estimation initiale de la probabilité $p = 0,02$ est probablement sous-estimée. Les observations suggèrent que la probabilité réelle qu'un composant soit défectueux est plus proche de $0,035$.

Questions fréquentes

La loi des grands nombres garantit-elle que la fréquence sera égale à la probabilité pour un grand nombre d'essais ?
Non, la loi des grands nombres ne garantit pas une égalité parfaite, mais une convergence en probabilité. Cela signifie que la probabilité que la fréquence observée s'écarte de la probabilité théorique d'une valeur supérieure à un petit $\epsilon$ tend vers 0 lorsque le nombre d'essais $n$ tend vers l'infini. La fréquence sera 'très proche' de la probabilité, mais rarement 'exactement' égale.
Quelle est la différence entre la loi des grands nombres et la loi du juste milieu (ou l'erreur du joueur) ?
La loi des grands nombres est un théorème mathématique qui décrit le comportement à long terme des fréquences. La loi du juste milieu (ou l'erreur du joueur) est une croyance erronée selon laquelle les événements passés influencent les probabilités futures dans une série d'événements indépendants. Par exemple, si une pièce tombe plusieurs fois sur 'pile', la loi du juste milieu suggère qu'elle est 'due' à tomber sur 'face', ce qui est faux car chaque lancer est indépendant.
Quand peut-on considérer que le nombre d'essais $n$ est 'grand' pour appliquer la loi des grands nombres ?
Il n'y a pas de seuil universellement défini pour $n$. La notion de 'grand' dépend du contexte et de la précision souhaitée. Cependant, pour les applications au lycée, des valeurs comme $n=100$, $n=1000$ ou plus sont généralement considérées comme suffisamment grandes pour observer la stabilisation des fréquences. Plus $n$ est grand, plus l'approximation est fiable.
La loi des grands nombres s'applique-t-elle à toutes les expériences aléatoires ?
La loi des grands nombres s'applique aux expériences aléatoires qui peuvent être répétées de manière indépendante et identiquement distribuée. Cela signifie que les conditions de l'expérience ne changent pas d'un essai à l'autre et que le résultat d'un essai n'influence pas les résultats des essais suivants. Elle ne s'applique pas aux événements uniques ou aux situations où les probabilités changent au cours du temps.

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