Définition
La standardisation est une transformation linéaire qui permet de convertir une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ en une variable aléatoire $Z$ suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$. Cette transformation est donnée par la formule $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.
Méthode — Standardisation : passer de $\mathcal{N}(\mu,\sigma)$ à $\mathcal{N}(0,1)$
Identifier la loi normale de départ
Déterminez les paramètres $\mu$ (moyenne) et $\sigma$ (écart-type) de la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$. Ces informations sont généralement fournies dans l'énoncé du problème.
Identifier la probabilité à calculer
Définissez clairement la probabilité que vous souhaitez calculer, par exemple $P(X \leq a)$, $P(X \geq b)$, ou $P(a \leq X \leq b)$. Le nombre $a$ ou $b$ est une valeur spécifique de la variable $X$.
Appliquer la formule de standardisation
Transformez la variable $X$ en la variable centrée réduite $Z$ en utilisant la formule $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$. Appliquez cette transformation aux bornes de l'intervalle de probabilité. Par exemple, si vous cherchez $P(X \leq a)$, cela devient $P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{a - \mu}{\sigma}\right)$, soit $P\left(Z \leq \frac{a - \mu}{\sigma}\right)$. Notez que l'inégalité ne change pas de sens car $\sigma > 0$.
Calculer la probabilité avec la loi normale centrée réduite
Utilisez une calculatrice ou une table de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$ pour déterminer la probabilité $P(Z \leq z_0)$, où $z_0 = \frac{a - \mu}{\sigma}$. Pour les probabilités de type $P(Z \geq z_0)$, utilisez la propriété $P(Z \geq z_0) = 1 - P(Z \leq z_0)$. Pour $P(z_1 \leq Z \leq z_2)$, utilisez $P(z_1 \leq Z \leq z_2) = P(Z \leq z_2) - P(Z \leq z_1)$.
Exemple résolu
Le temps d'attente (en minutes) à un guichet de banque est modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 7$ minutes et d'écart-type $\sigma = 2$ minutes. On souhaite calculer la probabilité qu'un client attende moins de 10 minutes.
Ainsi, $P(X < 10) = P(Z < 1,5)$.
NormalFRep ou normalcdf) ou d'une table de la loi normale centrée réduite, on trouve $P(Z < 1,5) \approx 0,9332$.Sur calculatrice, on utilise généralement
normalcdf(-1E99, 1.5, 0, 1).La probabilité qu'un client attende moins de 10 minutes est $P(X < 10) \approx 0,9332$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion entre $\sigma$ et $\sigma^2$
- Ne pas confondre l'écart-type $\sigma$ et la variance $\sigma^2$. La loi normale est notée $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, mais la formule de standardisation utilise l'écart-type $\sigma$ au dénominateur : $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.
- Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la standardisation si on multiplie ou divise par un nombre négatif (ce qui n'arrive pas ici car $\sigma > 0$).
- Mal interpréter les probabilités $P(Z \geq z_0)$ ou $P(z_1 \leq Z \leq z_2)$ et ne pas utiliser les propriétés $P(Z \geq z_0) = 1 - P(Z \leq z_0)$ ou $P(z_1 \leq Z \leq z_2) = P(Z \leq z_2) - P(Z \leq z_1)$.
Exercice type BAC
Une machine fabrique des pièces dont la longueur (en mm) est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 150$ mm et d'écart-type $\sigma = 2$ mm.
- Calculer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard ait une longueur inférieure à 153 mm.
- Calculer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard ait une longueur supérieure à 148 mm.
- Calculer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard ait une longueur comprise entre 149 mm et 152 mm.
Calculer $P(X < 153)$ :
On a $\mu = 150$ et $\sigma = 2$. On cherche $P(X < 153)$.
On standardise la variable : $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.
Pour $X = 153$, on a $z_0 = \frac{153 - 150}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Donc $P(X < 153) = P(Z < 1,5)$.
À l'aide de la calculatrice (par exemple,
normalcdf(-1E99, 1.5, 0, 1)), on trouve $P(Z < 1,5) \approx 0,9332$.La probabilité qu'une pièce ait une longueur inférieure à 153 mm est d'environ 0,9332.
Calculer $P(X > 148)$ :
On a $\mu = 150$ et $\sigma = 2$. On cherche $P(X > 148)$.
On standardise la variable : $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.
Pour $X = 148$, on a $z_0 = \frac{148 - 150}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Donc $P(X > 148) = P(Z > -1)$.
On utilise la propriété $P(Z > -1) = 1 - P(Z \leq -1)$.
À l'aide de la calculatrice (par exemple,
normalcdf(-1E99, -1, 0, 1)pour $P(Z \leq -1)$), on trouve $P(Z \leq -1) \approx 0,1587$.Donc $P(X > 148) = 1 - 0,1587 = 0,8413$.
La probabilité qu'une pièce ait une longueur supérieure à 148 mm est d'environ 0,8413.
Calculer $P(149 \leq X \leq 152)$ :
On a $\mu = 150$ et $\sigma = 2$. On cherche $P(149 \leq X \leq 152)$.
On standardise les bornes :
- Pour $X = 149$, $z_1 = \frac{149 - 150}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5$.
- Pour $X = 152$, $z_2 = \frac{152 - 150}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Donc $P(149 \leq X \leq 152) = P(-0,5 \leq Z \leq 1)$.
On utilise la propriété $P(-0,5 \leq Z \leq 1) = P(Z \leq 1) - P(Z \leq -0,5)$.
À l'aide de la calculatrice :
- $P(Z \leq 1) \approx 0,8413$ (avec
normalcdf(-1E99, 1, 0, 1)) - $P(Z \leq -0,5) \approx 0,3085$ (avec
normalcdf(-1E99, -0.5, 0, 1))
Donc $P(149 \leq X \leq 152) = 0,8413 - 0,3085 = 0,5328$.
La probabilité qu'une pièce ait une longueur comprise entre 149 mm et 152 mm est d'environ 0,5328.
Questions fréquentes
Pourquoi standardiser une variable aléatoire ?
La standardisation change-t-elle la forme de la distribution ?
Comment utiliser la calculatrice pour les probabilités de la loi normale centrée réduite ?
NormalFRep ou normalcdf. Elle prend en arguments les bornes inférieure et supérieure de l'intervalle, la moyenne (0 pour la loi centrée réduite) et l'écart-type (1 pour la loi centrée réduite). Par exemple, pour $P(Z \leq z_0)$, on utilise normalcdf(-1E99, z_0, 0, 1).Est-ce que $P(X < a)$ est différent de $P(X \leq a)$ pour une loi normale ?
Pour aller plus loin
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