Suites & Récurrence · Fiche N°13 / 110

Limite finie d'une suite : définition et intuition

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Une suite numérique $(u_n)$ est dite convergente si elle admet une limite finie $L$. Cela signifie que pour tout réel $\varepsilon > 0$ (aussi petit soit-il), il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n \geq N$, on a $|u_n - L| \leq \varepsilon$. On note alors $\lim_{n\to+\infty} u_n = L$. Intuitivement, les termes de la suite se rapprochent indéfiniment de $L$ à mesure que $n$ devient grand.

💡 Bon réflexe : Pour les limites de suites, toujours penser à factoriser par le terme de plus haut degré en cas de forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ ou à utiliser les théorèmes de comparaison ou de convergence monotone.
Luₙ → L (convergente)

Méthode — Limite finie d'une suite : définition et intuition

1

Comprendre la définition formelle

La définition formelle $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n - L| \leq \varepsilon$ exprime que l'écart entre $u_n$ et $L$ peut être rendu arbitrairement petit. Le nombre $N$ dépend généralement de $\varepsilon$ : plus $\varepsilon$ est petit, plus $N$ doit être grand pour que tous les termes $u_n$ à partir de $N$ soient dans l'intervalle $[L-\varepsilon, L+\varepsilon]$. Il est important de comprendre que $N$ n'est pas unique, n'importe quel entier $N' > N$ convient aussi.

2

Interprétation graphique

Graphiquement, si on trace les points $(n, u_n)$ dans un repère, la convergence vers $L$ signifie que les points se concentrent de plus en plus autour de la droite horizontale d'équation $y=L$. Pour tout "bande" horizontale de largeur $2\varepsilon$ centrée sur $y=L$, il n'y a qu'un nombre fini de points $(n, u_n)$ qui se trouvent en dehors de cette bande.

3

Utiliser les théorèmes de convergence

Dans la pratique, pour déterminer si une suite converge et quelle est sa limite, on utilise rarement la définition formelle directement. On s'appuie plutôt sur des théorèmes :

  • Théorèmes d'opérations sur les limites : Si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $L_1$ et $L_2$ respectivement, alors $(u_n+v_n)$ converge vers $L_1+L_2$, $(u_n \times v_n)$ converge vers $L_1 \times L_2$, etc.
  • Théorème des gendarmes : Si $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites telles que pour tout $n \geq N_0$, $v_n \leq u_n \leq w_n$, et si $\lim_{n\to+\infty} v_n = L$ et $\lim_{n\to+\infty} w_n = L$, alors $\lim_{n\to+\infty} u_n = L$.
  • Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

4

Calculer la limite (si elle existe)

Une fois la convergence établie (ou supposée), le calcul de la limite se fait souvent en remplaçant $n$ par $+\infty$ dans l'expression de $u_n$ et en utilisant les règles de calcul sur les limites (limites de fonctions usuelles, formes indéterminées, etc.). Par exemple, si $u_n = f(n)$, on peut souvent calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$.

Exemple résolu

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par $u_n = \frac{2n+1}{n+3}$. Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite.

1
Identifier la forme de la suite
La suite $(u_n)$ est une suite rationnelle, c'est-à-dire un quotient de deux polynômes en $n$. Pour $n \to +\infty$, on peut s'attendre à ce que le comportement soit dominé par les termes de plus haut degré.
2
Transformer l'expression pour lever une éventuelle indétermination
Lorsque $n \to +\infty$, le numérateur $2n+1$ tend vers $+\infty$ et le dénominateur $n+3$ tend vers $+\infty$. C'est une forme indéterminée du type $\frac{\infty}{\infty}$. Pour lever cette indétermination, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :$$u_n = \frac{n(2 + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{3}{n})} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}}$$Cette simplification est valide pour $n \neq 0$ et $n \neq -3$, ce qui est le cas pour $n \in \mathbb{N}^*$.
3
Calculer la limite des termes simplifiés
On utilise les propriétés des limites :
  • $\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} = 0$
  • $\lim_{n\to+\infty} \frac{3}{n} = 0$
Donc, par somme :
  • $\lim_{n\to+\infty} (2 + \frac{1}{n}) = 2 + 0 = 2$
  • $\lim_{n\to+\infty} (1 + \frac{3}{n}) = 1 + 0 = 1$
4
Conclure sur la limite de la suite
Par quotient des limites (le dénominateur ne tend pas vers 0) :$$\lim_{n\to+\infty} u_n = \frac{\lim_{n\to+\infty} (2 + \frac{1}{n})}{\lim_{n\to+\infty} (1 + \frac{3}{n})} = \frac{2}{1} = 2$$

La suite $(u_n)$ converge et sa limite est $L=2$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion avec les fonctions

  1. Ne pas confondre la limite d'une suite $(u_n)$ quand $n \to +\infty$ avec la limite d'une fonction $f(x)$ quand $x \to x_0$ ou $x \to \pm\infty$. Bien que les techniques de calcul soient souvent similaires, une suite est définie sur les entiers naturels, pas sur les réels.
  2. Oublier de préciser que $n \to +\infty$ lors de l'écriture de la limite. Une limite de suite est toujours pour $n \to +\infty$.
  3. Mal interpréter la définition formelle : le $N$ dépend de $\varepsilon$, et non l'inverse. Il ne s'agit pas de trouver un $N$ unique pour tous les $\varepsilon$, mais pour chaque $\varepsilon$, il existe un $N$ correspondant.

Exercice type BAC

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par $u_n = \frac{3n^2 - 5n + 2}{n^2 + 1}$.

  1. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Justifier votre réponse.
  2. On souhaite montrer, en utilisant la définition formelle, que la limite de $(u_n)$ est $L=3$.
    a. Montrer que pour tout $n \geq 1$, $u_n - 3 = \frac{-5n-1}{n^2+1}$.
    b. En déduire que pour tout $n \geq 1$, $|u_n - 3| \leq \frac{5n+1}{n^2+1}$.
    c. Déterminer un entier $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - 3| \leq 0,1$.
  1. Pour déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous avons une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :$$u_n = \frac{n^2(3 - \frac{5}{n} + \frac{2}{n^2})}{n^2(1 + \frac{1}{n^2})} = \frac{3 - \frac{5}{n} + \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}}$$Lorsque $n \to +\infty$, on a :
    • $\lim_{n\to+\infty} \frac{5}{n} = 0$
    • $\lim_{n\to+\infty} \frac{2}{n^2} = 0$
    • $\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n^2} = 0$
    Donc, par somme et quotient des limites :$$\lim_{n\to+\infty} u_n = \frac{3 - 0 + 0}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3$$La suite $(u_n)$ converge vers $3$.
    1. Calculons $u_n - 3$ :$$u_n - 3 = \frac{3n^2 - 5n + 2}{n^2 + 1} - 3 = \frac{3n^2 - 5n + 2 - 3(n^2 + 1)}{n^2 + 1} = \frac{3n^2 - 5n + 2 - 3n^2 - 3}{n^2 + 1} = \frac{-5n - 1}{n^2 + 1}$$
    2. Pour tout $n \geq 1$, $n^2+1 > 0$. Le numérateur $-5n-1$ est négatif pour $n \geq 1$.
      Donc, $|u_n - 3| = \left|\frac{-5n - 1}{n^2 + 1}\right| = \frac{|-5n - 1|}{|n^2 + 1|} = \frac{5n + 1}{n^2 + 1}$ car $5n+1 > 0$ pour $n \geq 1$.
    3. Nous voulons trouver $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - 3| \leq 0,1$.
      Cela revient à résoudre l'inéquation $\frac{5n + 1}{n^2 + 1} \leq 0,1$.
      Puisque $n^2+1 > 0$, on peut multiplier par $n^2+1$ sans changer le sens de l'inégalité :$$5n + 1 \leq 0,1(n^2 + 1)$$ $$5n + 1 \leq 0,1n^2 + 0,1$$ $$0 \leq 0,1n^2 - 5n - 0,9$$On cherche les racines du trinôme $0,1x^2 - 5x - 0,9 = 0$. Le discriminant est $\Delta = (-5)^2 - 4(0,1)(-0,9) = 25 + 0,36 = 25,36$.
      Les racines sont $x_1 = \frac{5 - \sqrt{25,36}}{0,2} \approx \frac{5 - 5,036}{0,2} \approx -0,18$ et $x_2 = \frac{5 + \sqrt{25,36}}{0,2} \approx \frac{5 + 5,036}{0,2} \approx 50,18$.
      Le trinôme $0,1n^2 - 5n - 0,9$ est positif à l'extérieur des racines. Puisque $n \geq 1$, on doit avoir $n \geq x_2$.
      Donc, pour que l'inégalité soit vérifiée, il faut que $n \geq 50,18$.
      On peut choisir $N = 51$. Ainsi, pour tout $n \geq 51$, $|u_n - 3| \leq 0,1$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une suite convergente et une suite divergente ?
Une suite est convergente si elle admet une limite finie $L$ lorsque $n \to +\infty$. Si une suite n'est pas convergente, elle est dite divergente. Une suite divergente peut tendre vers $+\infty$, vers $-\infty$, ou ne pas avoir de limite (par exemple, la suite $(-1)^n$ qui oscille entre $-1$ et $1$).
Est-ce que toutes les suites bornées convergent ?
Non, pas nécessairement. Une suite bornée est une suite dont tous les termes sont compris entre deux réels $m$ et $M$. Par exemple, la suite $u_n = (-1)^n$ est bornée (entre $-1$ et $1$), mais elle ne converge pas. Cependant, le théorème de Bolzano-Weierstrass (hors programme en Terminale) affirme que toute suite bornée admet au moins une sous-suite convergente.
Comment prouver qu'une suite est majorée ou minorée ?
Pour prouver qu'une suite $(u_n)$ est majorée par un réel $M$, il faut montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq M$. Pour prouver qu'elle est minorée par un réel $m$, il faut montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq m$. Ces preuves se font souvent par récurrence ou par l'étude de fonction associée $f(x)$ si $u_n = f(n)$.
Quand utilise-t-on le théorème des gendarmes ?
Le théorème des gendarmes est particulièrement utile lorsque l'expression de la suite $(u_n)$ est complexe ou difficile à manipuler directement pour calculer sa limite. Si on peut "encadrer" $u_n$ entre deux autres suites $(v_n)$ et $(w_n)$ qui convergent vers la même limite $L$, alors $(u_n)$ converge aussi vers $L$. C'est souvent le cas avec des suites impliquant des fonctions trigonométriques ou des sommes.

Pour aller plus loin

Vous bloquez sur ce chapitre ?

Adil accompagne les lycéens en Terminale Spécialité, en ligne ou à domicile dans le Val d'Oise. Résultats en 1 séance.

📞 Appeler Cours Terminale →