Définition
Une suite $(u_n)$ est dite arithmético-géométrique si elle est définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = a u_n + b$, où $a$ et $b$ sont des réels fixés, avec $a \neq 1$ et $b \neq 0$. Ces suites combinent les caractéristiques des suites arithmétiques (ajout d'une constante) et géométriques (multiplication par une constante).
Méthode — Suites arithmético-géométriques
1. Chercher le point fixe $L$
Le point fixe $L$ est la valeur telle que $L = aL + b$. On résout cette équation pour trouver $L$. Si $a \neq 1$, alors $L = \frac{b}{1-a}$.
2. Définir une suite auxiliaire géométrique
On introduit une suite auxiliaire $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - L$. L'objectif est de montrer que cette suite $(v_n)$ est géométrique.
3. Montrer que $(v_n)$ est géométrique
On exprime $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. On a $v_{n+1} = u_{n+1} - L$. En remplaçant $u_{n+1}$ par $a u_n + b$ et $L$ par $aL + b$, on doit obtenir $v_{n+1} = a v_n$. Le premier terme $v_0 = u_0 - L$ est également calculé.
4. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$
Puisque $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ et de premier terme $v_0$, on a $v_n = v_0 × a^n$. Ensuite, on utilise la relation $u_n = v_n + L$ pour exprimer $u_n$ en fonction de $n$: $u_n = v_0 × a^n + L$.
5. Étudier la limite de $(u_n)$ (si demandé)
La limite de $(u_n)$ dépend de la raison $a$. Si $|a| < 1$, alors $\lim_{n\to+\infty} a^n = 0$, et donc $\lim_{n\to+\infty} u_n = L$. Si $|a| > 1$, la suite diverge. Si $a = -1$, la suite est alternée.
Exemple résolu
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,5 u_n + 3$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et étudier sa limite.
$L - 0,5 L = 3$
$0,5 L = 3$
$L = \frac{3}{0,5} = 6$.
$v_{n+1} = u_{n+1} - 6$
$v_{n+1} = (0,5 u_n + 3) - 6$
$v_{n+1} = 0,5 u_n - 3$
On sait que $u_n = v_n + 6$, donc:
$v_{n+1} = 0,5 (v_n + 6) - 3$
$v_{n+1} = 0,5 v_n + 3 - 3$
$v_{n+1} = 0,5 v_n$
La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $a = 0,5$.
Calculons son premier terme $v_0$:
$v_0 = u_0 - 6 = 1 - 6 = -5$.
Comme $u_n = v_n + 6$, on en déduit:
$u_n = -5 × (0,5)^n + 6$.
Donc, $\lim_{n\to+\infty} (0,5)^n = 0$.
Par conséquent, $\lim_{n\to+\infty} u_n = -5 × 0 + 6 = 6$.
L'expression de $u_n$ en fonction de $n$ est $u_n = -5 × (0,5)^n + 6$. La suite $(u_n)$ converge vers $6$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Erreur sur le point fixe ou la raison
- Ne pas vérifier que $a \neq 1$. Si $a=1$, la suite est arithmétique, la méthode du point fixe ne s'applique pas.
- Erreur de calcul lors de la résolution de $L = aL + b$. Une erreur ici fausse toute la suite de l'exercice.
- Oublier de calculer le premier terme $v_0$ de la suite auxiliaire, ou le calculer incorrectement.
- Confondre la raison de la suite géométrique auxiliaire avec $b$ au lieu de $a$.
Exercice type BAC
Une entreprise fabrique des composants électroniques. Le nombre de composants défectueux produits chaque jour est modélisé par une suite $(u_n)$, où $n$ représente le nombre de jours écoulés depuis le début de l'étude (jour $n=0$).
On sait que $u_0 = 100$ (100 composants défectueux le premier jour) et que pour tout entier naturel $n$, la relation de récurrence est donnée par $u_{n+1} = 0,8 u_n + 12$.
- Calculer $u_1$ et $u_2$.
- On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 60$.
a. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. - Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
- Calcul de $u_1$ et $u_2$:
$u_1 = 0,8 u_0 + 12 = 0,8 × 100 + 12 = 80 + 12 = 92$.
$u_2 = 0,8 u_1 + 12 = 0,8 × 92 + 12 = 73,6 + 12 = 85,6$. - a. Montrons que $(v_n)$ est une suite géométrique:
On a $v_n = u_n - 60$, donc $u_n = v_n + 60$.
$v_{n+1} = u_{n+1} - 60$
$v_{n+1} = (0,8 u_n + 12) - 60$
$v_{n+1} = 0,8 u_n - 48$
En remplaçant $u_n$ par $v_n + 60$:
$v_{n+1} = 0,8 (v_n + 60) - 48$
$v_{n+1} = 0,8 v_n + 0,8 × 60 - 48$
$v_{n+1} = 0,8 v_n + 48 - 48$
$v_{n+1} = 0,8 v_n$
La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 0,8$.
Calculons son premier terme $v_0$:
$v_0 = u_0 - 60 = 100 - 60 = 40$.
b. Expression de $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$:
Puisque $(v_n)$ est géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $40$, on a $v_n = v_0 × q^n = 40 × (0,8)^n$.
Comme $u_n = v_n + 60$, on en déduit:
$u_n = 40 × (0,8)^n + 60$. - Détermination de la limite de $(u_n)$ et interprétation:
La raison de la suite géométrique $(v_n)$ est $0,8$. Comme $|0,8| < 1$, on sait que $\lim_{n\to+\infty} (0,8)^n = 0$.
Par conséquent, $\lim_{n\to+\infty} u_n = 40 × 0 + 60 = 60$.
Interprétation: À long terme, le nombre de composants défectueux produits chaque jour tendra à se stabiliser autour de 60. L'entreprise peut s'attendre à ce que la production de composants défectueux diminue progressivement pour atteindre ce seuil.
Questions fréquentes
Quand utilise-t-on la méthode du point fixe pour les suites arithmético-géométriques ?
Que se passe-t-il si $a=1$ dans la relation $u_{n+1} = a u_n + b$ ?
Comment savoir si une suite arithmético-géométrique converge ?
Est-il toujours nécessaire de calculer $u_1$ et $u_2$ ?
Pour aller plus loin
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