Suites adjacentes : définition et théorème de convergence – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Pourquoi la condition $u_n \leq v_n$ est-elle importante ?

La condition $u_n \leq v_n$ assure que la suite croissante $(u_n)$ est majorée par $v_0$ (car $u_n \leq v_n \leq v_0$) et que la suite décroissante $(v_n)$ est minorée par $u_0$ (car $v_n \geq u_n \geq u_0$). Une suite croissante majorée converge, et une suite décroissante minorée converge. Cette condition garantit l'existence de limites pour chaque suite, avant même de montrer qu'elles sont égales.

Q: Est-ce que toutes les suites qui convergent vers la même limite sont adjacentes ?

Non, absolument pas. Par exemple, les suites $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$ et $v_n = \frac{1}{n}$ convergent toutes deux vers $0$. Cependant, $(u_n)$ n'est ni croissante ni décroissante, et la condition $u_n \leq v_n$ n'est pas toujours vérifiée (pour $n$ impair, $u_n 0$, mais pour $n$ pair, $u_n > 0$ et $v_n > 0$, donc $u_n$ n'est pas toujours inférieure à $v_n$ dans le sens où $u_n$ n'est pas toujours inférieure à $v_n$ pour tout $n$). Les suites adjacentes sont un cas particulier de suites convergentes vers la même limite, avec des propriétés de monotonie et d'ordre spécifiques.

Définition

Deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si elles vérifient les trois conditions suivantes :

L'une est croissante et l'autre est décroissante (par exemple, $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante).
La différence $(v_n - u_n)$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, c'est-à-dire $\lim_{n\to+\infty} (v_n - u_n) = 0$.
Pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq v_n$.

Le théorème des suites adjacentes stipule que si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent toutes les deux vers la même limite $L$.

💡 Bon réflexe : Pour prouver que deux suites sont adjacentes, vérifie systématiquement les trois conditions : monotonie opposée, ordre ($u_n \leq v_n$), et limite de la différence égale à $0$.

Méthode — Suites adjacentes : définition et théorème de convergence

Étape 1 : Vérifier la monotonie des deux suites

Pour montrer qu'une suite $(u_n)$ est croissante, on étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$. Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$, alors $(u_n)$ est croissante. Pour montrer qu'elle est décroissante, on vérifie si $u_{n+1} - u_n \leq 0$. Il faut que l'une soit croissante et l'autre décroissante.

Étape 2 : Vérifier l'ordre des suites

Il faut s'assurer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq v_n$. Cette condition est souvent implicite si l'une est croissante et l'autre décroissante et que $u_0 \leq v_0$, mais il est important de la vérifier, par récurrence si nécessaire.

Étape 3 : Calculer la limite de la différence

Calculer la limite de la suite $(v_n - u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Si cette limite est égale à $0$, alors la troisième condition est remplie. C'est souvent l'étape la plus technique.

Étape 4 : Conclure sur la convergence

Si les trois conditions précédentes sont vérifiées, alors d'après le théorème des suites adjacentes, les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite $L$. On peut parfois encadrer cette limite en utilisant $u_n \leq L \leq v_n$ pour tout $n$.

Exemple résolu

Soient les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n}$. Montrer que ces deux suites sont adjacentes et en déduire leur convergence.

Vérifier la monotonie de $(u_n)$ et $(v_n)$.

Pour $(u_n)$ : $u_{n+1} - u_n = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^2} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{(n+1)^2}$. Comme $(n+1)^2 > 0$, alors $\frac{1}{(n+1)^2} > 0$. Donc $u_{n+1} - u_n > 0$, ce qui signifie que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
Pour $(v_n)$ : $v_{n+1} - v_n = \left(u_{n+1} + \frac{1}{n+1}\right) - \left(u_n + \frac{1}{n}\right) = (u_{n+1} - u_n) + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}$.
On a $v_{n+1} - v_n = \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n + n(n+1) - (n+1)^2}{n(n+1)^2} = \frac{n + n^2 + n - (n^2 + 2n + 1)}{n(n+1)^2} = \frac{n^2 + 2n - n^2 - 2n - 1}{n(n+1)^2} = \frac{-1}{n(n+1)^2}$.
Comme $n \in \mathbb{N}^*$, $n(n+1)^2 > 0$, donc $\frac{-1}{n(n+1)^2} < 0$. Ainsi, $v_{n+1} - v_n < 0$, ce qui signifie que la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.

Vérifier l'ordre des suites.

On a $v_n - u_n = \left(u_n + \frac{1}{n}\right) - u_n = \frac{1}{n}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\frac{1}{n} > 0$, donc $v_n - u_n > 0$, ce qui implique $u_n < v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. La condition $u_n \leq v_n$ est donc vérifiée.

Calculer la limite de la différence $(v_n - u_n)$.

On a $v_n - u_n = \frac{1}{n}$.
$\lim_{n\to+\infty} (v_n - u_n) = \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} = 0$.
La différence tend bien vers $0$.

Conclure sur la convergence.

Les trois conditions étant remplies : $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ est décroissante, $u_n \leq v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $\lim_{n\to+\infty} (v_n - u_n) = 0$.
D'après le théorème des suites adjacentes, les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite $L$.

Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes et convergent donc vers une même limite $L$. On sait que $u_n \leq L \leq v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli d'une condition

Oublier de vérifier que l'une des suites est croissante et l'autre décroissante. Deux suites qui tendent vers la même limite ne sont pas forcément adjacentes (ex: $u_n = 1/n$ et $v_n = -1/n$).
Négliger la condition $u_n \leq v_n$. Même si la différence tend vers 0, il faut que l'ordre soit maintenu pour tout $n$.
Confondre la convergence de la différence vers 0 avec la convergence des suites elles-mêmes. La convergence de la différence est une condition nécessaire, mais pas suffisante seule.

Exercice type BAC

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

$u_0 = 0$ et $v_0 = 1$
$u_{n+1} = \frac{2u_n + v_n}{3}$
$v_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3}$

Calculer $u_1$ et $v_1$.
Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n - u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$.
En déduire la limite de la suite $(v_n - u_n)$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante et que la suite $(v_n)$ est décroissante.
Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?

Calcul de $u_1$ et $v_1$ :
- $u_1 = \frac{2u_0 + v_0}{3} = \frac{2(0) + 1}{3} = \frac{1}{3}$.
- $v_1 = \frac{u_0 + 2v_0}{3} = \frac{0 + 2(1)}{3} = \frac{2}{3}$.
Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n - u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$.
- Initialisation : Pour $n=0$, $v_0 - u_0 = 1 - 0 = 1$. Et $\left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$. La propriété est vraie pour $n=0$.
- Hérédité : Supposons que pour un certain $k \in \mathbb{N}$, $v_k - u_k = \left(\frac{1}{3}\right)^k$.
  Calculons $v_{k+1} - u_{k+1}$ :
  $v_{k+1} - u_{k+1} = \frac{u_k + 2v_k}{3} - \frac{2u_k + v_k}{3} = \frac{u_k + 2v_k - 2u_k - v_k}{3} = \frac{v_k - u_k}{3}$.
  En utilisant l'hypothèse de récurrence, $v_{k+1} - u_{k+1} = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^k}{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{k+1}$.
  La propriété est donc héréditaire.
- Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n - u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$.
Déduction de la limite de la suite $(v_n - u_n)$ :
On a $v_n - u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$. Puisque $-1 < \frac{1}{3} < 1$, la suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$ converge vers $0$.
Donc $\lim_{n\to+\infty} (v_n - u_n) = 0$.
Montrons la monotonie des suites :
- Pour $(u_n)$ :
  $u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n + v_n}{3} - u_n = \frac{2u_n + v_n - 3u_n}{3} = \frac{v_n - u_n}{3}$.
  D'après la question 2, $v_n - u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$. Donc $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}$.
  Comme $\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
- Pour $(v_n)$ :
  $v_{n+1} - v_n = \frac{u_n + 2v_n}{3} - v_n = \frac{u_n + 2v_n - 3v_n}{3} = \frac{u_n - v_n}{3}$.
  On sait que $v_n - u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$, donc $u_n - v_n = -\left(\frac{1}{3}\right)^n$.
  Ainsi, $v_{n+1} - v_n = \frac{- \left(\frac{1}{3}\right)^n}{3} = -\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}$.
  Comme $-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} < 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.
Démontrons que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes :
Nous avons vérifié les trois conditions :
- $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante (question 4).
- La différence $v_n - u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$ est toujours positive, donc $u_n \leq v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- $\lim_{n\to+\infty} (v_n - u_n) = 0$ (question 3).
Les trois conditions étant remplies, les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
D'après le théorème des suites adjacentes, on en déduit que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent toutes les deux vers une même limite $L$.
Pour aller plus loin (non demandé par l'exercice mais utile pour la compréhension) :
On peut aussi étudier la suite $(u_n + v_n)$.
$(u_{n+1} + v_{n+1}) = \frac{2u_n + v_n}{3} + \frac{u_n + 2v_n}{3} = \frac{3u_n + 3v_n}{3} = u_n + v_n$.
La suite $(u_n + v_n)$ est constante. Sa valeur est $u_0 + v_0 = 0 + 1 = 1$.
Donc $u_n + v_n = 1$ pour tout $n$.
Comme $\lim_{n\to+\infty} u_n = L$ et $\lim_{n\to+\infty} v_n = L$, on a $\lim_{n\to+\infty} (u_n + v_n) = L + L = 2L$.
Donc $2L = 1$, ce qui donne $L = \frac{1}{2}$.
Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent toutes deux vers $\frac{1}{2}$.

Questions fréquentes

Pourquoi la condition $u_n \leq v_n$ est-elle importante ?

La condition $u_n \leq v_n$ assure que la suite croissante $(u_n)$ est majorée par $v_0$ (car $u_n \leq v_n \leq v_0$) et que la suite décroissante $(v_n)$ est minorée par $u_0$ (car $v_n \geq u_n \geq u_0$). Une suite croissante majorée converge, et une suite décroissante minorée converge. Cette condition garantit l'existence de limites pour chaque suite, avant même de montrer qu'elles sont égales.

Est-ce que toutes les suites qui convergent vers la même limite sont adjacentes ?

Non, absolument pas. Par exemple, les suites $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$ et $v_n = \frac{1}{n}$ convergent toutes deux vers $0$. Cependant, $(u_n)$ n'est ni croissante ni décroissante, et la condition $u_n \leq v_n$ n'est pas toujours vérifiée (pour $n$ impair, $u_n < 0$ et $v_n > 0$, mais pour $n$ pair, $u_n > 0$ et $v_n > 0$, donc $u_n$ n'est pas toujours inférieure à $v_n$ dans le sens où $u_n$ n'est pas toujours inférieure à $v_n$ pour tout $n$). Les suites adjacentes sont un cas particulier de suites convergentes vers la même limite, avec des propriétés de monotonie et d'ordre spécifiques.

Comment savoir si je dois utiliser les suites adjacentes pour un exercice ?

Le concept de suites adjacentes est généralement utilisé lorsque l'on vous donne deux suites qui semblent 's'approcher' l'une de l'autre, ou lorsque l'on vous demande de montrer la convergence de deux suites dont l'une est croissante et l'autre décroissante. Les énoncés peuvent aussi vous guider en vous demandant d'étudier la monotonie de chaque suite et la limite de leur différence. C'est un outil puissant pour prouver la convergence sans connaître la limite exacte a priori.

Peut-on utiliser les suites adjacentes pour trouver la valeur de la limite ?

Le théorème des suites adjacentes garantit l'existence d'une limite commune $L$, mais ne donne pas sa valeur. Pour trouver $L$, il faut souvent utiliser d'autres propriétés des suites, comme une relation de récurrence qui permet de passer à la limite, ou une suite auxiliaire (comme dans l'exemple de l'exercice avec $u_n+v_n$). On sait cependant que pour tout $n$, $u_n \leq L \leq v_n$, ce qui permet d'encadrer la limite.

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