Écrire un programme de calcul – Fiche Brevet Maths

Q: Que signifie 'développer et réduire' une expression ?

Développer signifie transformer un produit en une somme ou une différence (par exemple, $a(b+c) = ab+ac$). Réduire signifie simplifier l'expression en regroupant les termes de même nature (par exemple, $3x + 5x = 8x$ ou $2x + 3 - x + 1 = x + 4$). Le but est d'obtenir l'expression la plus simple possible.

Définition

Un programme de calcul est une suite d'instructions mathématiques à appliquer à un nombre de départ. Chaque instruction est une étape qui transforme le nombre obtenu à l'étape précédente. Le but est de comprendre comment traduire ces instructions en expressions mathématiques et vice-versa.

Organigramme : boucle repeter

💡 Bon réflexe : Toujours écrire les étapes intermédiaires, surtout avec les parenthèses, pour éviter les erreurs de calcul ou de traduction.

Méthode — Écrire un programme de calcul

Comprendre les instructions

Lis attentivement chaque instruction du programme de calcul. Identifie l'opération ($+$, $-$, $×$, $÷$, puissance, racine carrée, etc.) et le nombre concerné.

Traduire en expression mathématique

Si le nombre de départ est connu, effectue les opérations dans l'ordre. Si le nombre de départ est inconnu (souvent noté $x$), écris l'expression mathématique en respectant l'ordre des opérations (priorité des parenthèses, multiplications/divisions avant additions/soustractions).
Exemple : 'Ajouter $3$' devient $x+3$. 'Multiplier par $2$' devient $2 × (x+3)$ si l'étape précédente était $x+3$.

Vérifier la cohérence

Relis le programme de calcul et ton expression mathématique pour t'assurer qu'elles correspondent. Si tu as un résultat final donné, tu peux essayer de 'remonter' le programme pour retrouver le nombre de départ (résolution d'équation).

Exemple résolu

Soit le programme de calcul suivant :
1. Choisir un nombre
2. Lui ajouter $5$
3. Multiplier le résultat par $2$
4. Soustraire $10$ au nouveau résultat

Nombre de départ : $3$

1. Choisir $3$
2. $3 + 5 = 8$
3. $8 × 2 = 16$
4. $16 - 10 = 6$

Nombre de départ : $-2$

1. Choisir $-2$
2. $-2 + 5 = 3$
3. $3 × 2 = 6$
4. $6 - 10 = -4$

Expression littérale pour un nombre $x$

1. Choisir $x$
2. $x + 5$
3. $(x + 5) × 2$
4. $(x + 5) × 2 - 10$
En développant : $2x + 10 - 10 = 2x$

Dans cet exemple, on observe que le programme de calcul revient à multiplier le nombre de départ par $2$. C'est une simplification intéressante qui peut être découverte en utilisant une expression littérale.

⚠️ L'ordre des opérations et les parenthèses !

Le piège le plus courant est de ne pas respecter l'ordre des opérations, surtout lorsqu'on traduit le programme en une expression littérale.
Si une instruction s'applique au 'résultat précédent', cela implique souvent l'utilisation de parenthèses.
Par exemple, 'Ajouter $3$, puis multiplier le tout par $2$' se traduit par $(x+3) × 2$, et non $x+3 × 2$ (qui serait $x+6$).

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Exercice type Brevet

Voici un programme de calcul :
1. Choisir un nombre
2. Le multiplier par $3$
3. Ajouter $7$ au résultat
4. Multiplier le tout par $2$

Questions :
a) Quel est le résultat si on choisit le nombre $4$ au départ ?
b) Quel est le résultat si on choisit le nombre $-1$ au départ ?
c) Écrire une expression littérale qui traduit ce programme de calcul pour un nombre de départ $x$.
d) Développer et réduire l'expression obtenue en c).

Correction :
a) Si on choisit $4$ :
1. $4$
2. $4 × 3 = 12$
3. $12 + 7 = 19$
4. $19 × 2 = 38$
Le résultat est $38$.

b) Si on choisit $-1$ :
1. $-1$
2. $-1 × 3 = -3$
3. $-3 + 7 = 4$
4. $4 × 2 = 8$
Le résultat est $8$.

c) Pour un nombre $x$ :
1. $x$
2. $x × 3 = 3x$
3. $3x + 7$
4. $(3x + 7) × 2$
L'expression littérale est $(3x + 7) × 2$.

d) Développer et réduire l'expression :
$(3x + 7) × 2 = 3x × 2 + 7 × 2 = 6x + 14$.

Questions fréquentes

Comment savoir si je dois utiliser des parenthèses ?

Les parenthèses sont nécessaires lorsque l'instruction suivante s'applique à tout le résultat de l'étape précédente. Des expressions comme 'le tout', 'le résultat obtenu', 'le nouveau résultat' sont des indices pour utiliser des parenthèses.

Que signifie 'développer et réduire' une expression ?

Développer signifie transformer un produit en une somme ou une différence (par exemple, $a(b+c) = ab+ac$). Réduire signifie simplifier l'expression en regroupant les termes de même nature (par exemple, $3x + 5x = 8x$ ou $2x + 3 - x + 1 = x + 4$). Le but est d'obtenir l'expression la plus simple possible.

Peut-on trouver le nombre de départ si on connaît le résultat final ?

Oui, en général. Il faut 'remonter' le programme de calcul en effectuant les opérations inverses dans l'ordre inverse. Cela revient à résoudre une équation. Par exemple, si la dernière étape était 'Ajouter $5$', l'opération inverse est 'Soustraire $5$'.

Est-ce que l'ordre des instructions est important ?

Absolument ! L'ordre des instructions est crucial. Changer l'ordre des étapes change généralement le résultat final. Par exemple, 'Ajouter $3$ puis multiplier par $2$' n'est pas la même chose que 'Multiplier par $2$ puis ajouter $3$'.

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