Fonctions · Fiche N°41 / 104

Le coefficient directeur : calculer et interpréter

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

Le coefficient directeur (ou pente) d'une droite est un nombre qui indique son inclinaison. Pour une fonction affine $f(x) = ax + b$, le coefficient directeur est la valeur $a$.

Il représente la variation de $y$ lorsque $x$ augmente d'une unité. Si $a > 0$, la droite monte (fonction croissante). Si $a < 0$, la droite descend (fonction décroissante). Si $a = 0$, la droite est horizontale (fonction constante).

Coefficient directeur a = 2
💡 Bon réflexe : Toujours vérifier le signe du coefficient directeur pour connaître le sens de variation de la fonction.

Méthode — Le coefficient directeur : calculer et interpréter

1

Calculer le coefficient directeur à partir de deux points

Soient deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ appartenant à la droite. Le coefficient directeur $a$ est donné par la formule : $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$ Il est crucial que $x_B \neq x_A$ (la droite ne doit pas être verticale).

2

Calculer le coefficient directeur à partir de l'équation réduite

Si l'équation de la droite est sous la forme $y = ax + b$, le coefficient directeur est directement la valeur $a$.

3

Interpréter le coefficient directeur

  • Si $a > 0$ : la droite "monte", la fonction est croissante. Plus $a$ est grand, plus la pente est raide.
  • Si $a < 0$ : la droite "descend", la fonction est décroissante. Plus $a$ est petit (plus sa valeur absolue est grande), plus la pente est raide.
  • Si $a = 0$ : la droite est horizontale, la fonction est constante (elle a pour équation $y = b$).

Exemple résolu

Soit une droite $(D)$ passant par les points $A(1; 3)$ et $B(4; 9)$.

1
Calculer le coefficient directeur $a$.
On utilise la formule $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
Ici, $x_A = 1$, $y_A = 3$, $x_B = 4$, $y_B = 9$.
$a = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$.
Le coefficient directeur est $a = 2$.
2
Interpréter ce coefficient directeur.
Puisque $a = 2$ est positif ($a > 0$), la droite $(D)$ est montante. Pour chaque augmentation de $1$ unité en $x$, la valeur de $y$ augmente de $2$ unités.

Le coefficient directeur de la droite passant par $A(1;3)$ et $B(4;9)$ est $2$. Cela signifie que la droite est croissante et que pour chaque unité de déplacement horizontal vers la droite, la droite monte de deux unités verticalement.

⚠️ Erreur de signe ou d'ordre dans la formule

  1. Inverser l'ordre des points ou de faire des erreurs de signe lors du calcul du coefficient directeur.
  2. Assurez-vous de toujours soustraire les coordonnées du même point en premier au numérateur et au dénominateur.
  3. Par exemple, $(y_B - y_A)$ et $(x_B - x_A)$ est correct, mais $(y_B - y_A)$ et $(x_A - x_B)$ est incorrect.
  4. De même, attention aux signes des coordonnées, surtout si elles sont négatives.

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Exercice type Brevet

1. Calcule le coefficient directeur de la droite passant par les points $C(-2; 5)$ et $D(3; -5)$.
2. Interprète le résultat obtenu.
3. Une droite a pour équation $y = -3x + 7$. Quel est son coefficient directeur et que peux-tu en déduire sur son sens de variation ?
1. Pour les points $C(-2; 5)$ et $D(3; -5)$ :
$$a = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{-5 - 5}{3 - (-2)} = \frac{-10}{3 + 2} = \frac{-10}{5} = -2$$
Le coefficient directeur est $a = -2$.

2. Puisque $a = -2$ est négatif ($a < 0$), la droite est descendante (décroissante). Pour chaque augmentation de $1$ unité en $x$, la valeur de $y$ diminue de $2$ unités.

3. Pour l'équation $y = -3x + 7$, le coefficient directeur est $a = -3$.
Puisque $a = -3$ est négatif, la droite est descendante (décroissante).

Questions fréquentes

Le coefficient directeur peut-il être nul ?
Oui, si le coefficient directeur est $0$, la droite est horizontale. Son équation est de la forme $y = b$ (fonction constante).
Peut-on calculer le coefficient directeur d'une droite verticale ?
Non, une droite verticale a une équation de la forme $x = k$ (où $k$ est une constante). Pour une telle droite, $x_B - x_A = 0$, ce qui rend la division par zéro impossible dans la formule du coefficient directeur. On dit que le coefficient directeur d'une droite verticale est indéfini.
Quelle est la différence entre le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine ?
Le coefficient directeur ($a$) indique l'inclinaison de la droite. L'ordonnée à l'origine ($b$) est la valeur de $y$ lorsque $x = 0$, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Comment savoir si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires avec leurs coefficients directeurs ?
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur ($a_1 = a_2$).
Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est $-1$ ($a_1 × a_2 = -1$), à condition qu'aucune des droites ne soit verticale ou horizontale.

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