Définition
Les critères de divisibilité sont des règles qui permettent de savoir rapidement si un nombre entier est divisible par un autre nombre entier sans effectuer la division. Un nombre $a$ est divisible par un nombre $b$ (non nul) si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est $0$. On dit alors que $b$ est un diviseur de $a$, ou que $a$ est un multiple de $b$.
Méthode — Les critères de divisibilité
Divisibilité par $2$
Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair ($0, 2, 4, 6, 8$).
Exemple : $124$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $4$ (pair).
Divisibilité par $3$
Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$.
Exemple : $345$ est divisible par $3$ car $3+4+5 = 12$, et $12$ est un multiple de $3$ ($12 = 3 × 4$).
Divisibilité par $4$
Un nombre est divisible par $4$ si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de $4$.
Exemple : $716$ est divisible par $4$ car $16$ est un multiple de $4$ ($16 = 4 × 4$). $130$ n'est pas divisible par $4$ car $30$ n'est pas un multiple de $4$.
Divisibilité par $5$
Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
Exemple : $230$ est divisible par $5$ car son chiffre des unités est $0$. $455$ est divisible par $5$ car son chiffre des unités est $5$.
Divisibilité par $9$
Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $9$.
Exemple : $189$ est divisible par $9$ car $1+8+9 = 18$, et $18$ est un multiple de $9$ ($18 = 9 × 2$). $234$ est divisible par $9$ car $2+3+4=9$, et $9$ est un multiple de $9$.
Divisibilité par $10$
Un nombre est divisible par $10$ si son chiffre des unités est $0$.
Exemple : $560$ est divisible par $10$ car son chiffre des unités est $0$.
Exemple résolu
Vérifions la divisibilité du nombre $1260$ par différents nombres en utilisant les critères de divisibilité.
Le nombre $1260$ est donc divisible par $2, 3, 4, 5, 9$ et $10$.
⚠️ Confondre les critères de $3$ et $9$
- Ne pas confondre les critères de divisibilité par $3$ et par $9$. Si un nombre est divisible par $9$, il est forcément divisible par $3$ (car $9$ est un multiple de $3$). Mais l'inverse n'est pas vrai ! Un nombre peut être divisible par $3$ sans être divisible par $9$.
- Exemple : $12$ est divisible par $3$ ($1+2=3$), mais n'est pas divisible par $9$ (car $3$ n'est pas un multiple de $9$).
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Exercice type Brevet
Déterminez si les nombres suivants sont divisibles par $2, 3, 4, 5, 9$ ou $10$. Justifiez votre réponse pour chaque cas.- $450$
- $732$
- $108$
- $235$
- $450$
- Divisible par $2$ : Oui, car le chiffre des unités est $0$ (pair).
- Divisible par $3$ : Oui, car $4+5+0 = 9$, et $9$ est un multiple de $3$.
- Divisible par $4$ : Non, car $50$ n'est pas un multiple de $4$ ($50 = 4 × 12 + 2$).
- Divisible par $5$ : Oui, car le chiffre des unités est $0$.
- Divisible par $9$ : Oui, car $4+5+0 = 9$, et $9$ est un multiple de $9$.
- Divisible par $10$ : Oui, car le chiffre des unités est $0$.
- $732$
- Divisible par $2$ : Oui, car le chiffre des unités est $2$ (pair).
- Divisible par $3$ : Oui, car $7+3+2 = 12$, et $12$ est un multiple de $3$.
- Divisible par $4$ : Oui, car $32$ est un multiple de $4$ ($32 = 4 × 8$).
- Divisible par $5$ : Non, car le chiffre des unités est $2$ (ni $0$ ni $5$).
- Divisible par $9$ : Non, car $7+3+2 = 12$, et $12$ n'est pas un multiple de $9$.
- Divisible par $10$ : Non, car le chiffre des unités est $2$ (pas $0$).
- $108$
- Divisible par $2$ : Oui, car le chiffre des unités est $8$ (pair).
- Divisible par $3$ : Oui, car $1+0+8 = 9$, et $9$ est un multiple de $3$.
- Divisible par $4$ : Oui, car $08$ (soit $8$) est un multiple de $4$ ($8 = 4 × 2$).
- Divisible par $5$ : Non, car le chiffre des unités est $8$.
- Divisible par $9$ : Oui, car $1+0+8 = 9$, et $9$ est un multiple de $9$.
- Divisible par $10$ : Non, car le chiffre des unités est $8$.
- $235$
- Divisible par $2$ : Non, car le chiffre des unités est $5$ (impair).
- Divisible par $3$ : Non, car $2+3+5 = 10$, et $10$ n'est pas un multiple de $3$.
- Divisible par $4$ : Non, car $35$ n'est pas un multiple de $4$ ($35 = 4 × 8 + 3$).
- Divisible par $5$ : Oui, car le chiffre des unités est $5$.
- Divisible par $9$ : Non, car $2+3+5 = 10$, et $10$ n'est pas un multiple de $9$.
- Divisible par $10$ : Non, car le chiffre des unités est $5$.
Questions fréquentes
Pourquoi les critères de divisibilité sont-ils utiles ?
Existe-t-il des critères de divisibilité pour d'autres nombres ?
Si un nombre est divisible par $2$ et par $3$, est-il divisible par $6$ ?
Le nombre $0$ est-il divisible par n'importe quel nombre ?
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