Nombres et Calculs · Fiche N°18 / 104

La double distributivité : développer

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

La double distributivité est une propriété mathématique qui permet de développer une expression de la forme $(a+b)(c+d)$. Elle consiste à multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde parenthèse.

La formule générale est la suivante : $$(a+b)(c+d) = a × c + a × d + b × c + b × d$$
C'est une extension de la simple distributivité $k(a+b) = k × a + k × b$.

💡 Bon réflexe : Vérifie toujours les signes et regroupe les termes semblables à la fin pour simplifier l'expression.

Méthode — La double distributivité : développer

1

Identifier les termes

Dans l'expression $(a+b)(c+d)$, identifiez clairement les quatre termes : $a$, $b$, $c$ et $d$. Ces termes peuvent être des nombres, des variables ou des expressions plus complexes (ex: $2x$, $-3$, $y^2$). Faites attention aux signes moins.

2

Appliquer la formule de double distributivité

Multipliez le premier terme de la première parenthèse ($a$) par chaque terme de la seconde parenthèse ($c$ et $d$). Cela donne $a × c + a × d$.
Ensuite, multipliez le second terme de la première parenthèse ($b$) par chaque terme de la seconde parenthèse ($c$ et $d$). Cela donne $b × c + b × d$.
Additionnez tous ces produits : $a × c + a × d + b × c + b × d$.

3

Simplifier l'expression

Après avoir appliqué la double distributivité, vous obtiendrez une somme de termes. Regroupez les termes semblables (ceux qui ont la même partie littérale et le même exposant) et effectuez les additions ou soustractions pour simplifier l'expression au maximum. Par exemple, $2x + 3x = 5x$.

Exemple résolu

Développons l'expression $(2x+3)(x-5)$ en utilisant la double distributivité.

1
Identifier $a, b, c, d$
$a = 2x$, $b = 3$, $c = x$, $d = -5$. Il est crucial de bien prendre le signe avec le terme.
2
Appliquer la formule
$$(2x+3)(x-5) = (2x) × x + (2x) × (-5) + 3 × x + 3 × (-5)$$
$$= 2x^2 - 10x + 3x - 15$$
3
Simplifier l'expression
Regroupons les termes en $x$: $-10x + 3x = -7x$.
L'expression simplifiée est donc : $$2x^2 - 7x - 15$$

Le développement de $(2x+3)(x-5)$ est $2x^2 - 7x - 15$.

⚠️ Attention aux signes et aux carrés !

  1. Le piège le plus courant est d'oublier un signe moins ou de mal le distribuer. Par exemple, dans $(x-3)(x+2)$, le terme $b$ est $-3$. Donc, les produits seront $x × x + x × 2 + (-3) × x + (-3) × 2 = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$.
  2. Un autre piège est de confondre $(a+b)^2$ avec $a^2+b^2$. Rappelez-vous que $(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$, ce qui est un cas particulier de double distributivité et non $a^2+b^2$.

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Exercice type Brevet

Développez et réduisez les expressions suivantes :
  1. $(x+4)(x+7)$
  2. $(2y-1)(y+3)$
  3. $(-3a+2)(a-5)$
  4. $(x-6)^2$
  1. $(x+4)(x+7) = x × x + x × 7 + 4 × x + 4 × 7 = x^2 + 7x + 4x + 28 = x^2 + 11x + 28$
  2. $(2y-1)(y+3) = 2y × y + 2y × 3 + (-1) × y + (-1) × 3 = 2y^2 + 6y - y - 3 = 2y^2 + 5y - 3$
  3. $(-3a+2)(a-5) = (-3a) × a + (-3a) × (-5) + 2 × a + 2 × (-5) = -3a^2 + 15a + 2a - 10 = -3a^2 + 17a - 10$
  4. $(x-6)^2 = (x-6)(x-6) = x × x + x × (-6) + (-6) × x + (-6) × (-6) = x^2 - 6x - 6x + 36 = x^2 - 12x + 36$

Questions fréquentes

Quand utilise-t-on la double distributivité ?
On l'utilise pour développer une expression qui est le produit de deux sommes ou différences, c'est-à-dire de la forme $(A+B)(C+D)$. C'est le contraire de la factorisation.
Est-ce que $(a+b)^2$ est un cas de double distributivité ?
Oui, tout à fait ! $(a+b)^2$ signifie $(a+b)(a+b)$. En appliquant la double distributivité, on obtient $a × a + a × b + b × a + b × b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. C'est une identité remarquable.
Comment gérer les expressions avec plus de deux termes dans une parenthèse, comme $(a+b)(c+d+e)$ ?
Le principe reste le même : chaque terme de la première parenthèse doit être multiplié par chaque terme de la seconde parenthèse. Pour $(a+b)(c+d+e)$, cela donnerait $a × c + a × d + a × e + b × c + b × d + b × e$.
Y a-t-il un ordre pour les multiplications ?
L'ordre des multiplications n'a pas d'importance pour le résultat final, grâce à la commutativité de l'addition et de la multiplication. Cependant, suivre la méthode 'chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde' de manière systématique (par exemple, d'abord $a$ avec $c$ puis $d$, puis $b$ avec $c$ puis $d$) aide à ne rien oublier.

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