Résoudre une équation ax+b=0 – Fiche Brevet Maths

Définition

Résoudre une équation du premier degré à une inconnue, de la forme $ax+b=0$ (où $a$ et $b$ sont des nombres connus et $x$ est l'inconnue), c'est trouver la valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie.
Le nombre $a$ est appelé le coefficient de $x$, et $b$ est le terme constant.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier votre solution en la réinjectant dans l'équation de départ.

Méthode — Résoudre une équation ax+b=0

Isoler le terme en $x$

Pour isoler le terme $ax$, on va "déplacer" le terme constant $b$ de l'autre côté du signe égal. Pour cela, on effectue l'opération inverse de celle qui lie $b$ au terme $ax$. Si $b$ est additionné, on le soustrait des deux côtés de l'équation. Si $b$ est soustrait, on l'additionne.
L'objectif est d'obtenir une équation de la forme $ax = -b$.

Isoler $x$

Une fois que l'on a $ax = -b$, pour trouver la valeur de $x$, on doit "déplacer" le coefficient $a$. Comme $a$ multiplie $x$, l'opération inverse est la division. On divise donc les deux côtés de l'équation par $a$.
On obtient alors $x = \frac{-b}{a}$.

Vérifier la solution (facultatif mais recommandé)

Pour s'assurer que la solution trouvée est correcte, on peut remplacer $x$ par la valeur obtenue dans l'équation de départ. Si l'égalité est vérifiée, la solution est juste.

Exemple résolu

Résolvons l'équation $3x + 6 = 0$.

$3x + 6 = 0$

Étape 1 : Isoler le terme en $x$ — On soustrait $6$ des deux côtés de l'équation :
$3x + 6 - 6 = 0 - 6$
$3x = -6$

$3x = -6$

Étape 2 : Isoler $x$ — On divise par $3$ des deux côtés de l'équation :
$\frac{3x}{3} = \frac{-6}{3}$
$x = -2$

Vérification

Étape 3 : Vérifier la solution — On remplace $x$ par $-2$ dans l'équation de départ :
$3 × (-2) + 6 = -6 + 6 = 0$
L'égalité est vérifiée, donc la solution $x=-2$ est correcte.

La solution de l'équation $3x+6=0$ est $x=-2$.

⚠️ Attention au cas où $a=0$

Si le coefficient $a$ est égal à $0$, l'équation devient $0x + b = 0$, soit $b = 0$.
Si $b=0$, l'équation est $0=0$. Dans ce cas, toutes les valeurs de $x$ sont des solutions. L'équation a une infinité de solutions.
Si $b \neq 0$, l'équation est $b=0$ (avec $b$ non nul). C'est une égalité fausse. Dans ce cas, l'équation n'a aucune solution.
Il est impossible de diviser par $0$, donc la formule $x = \frac{-b}{a}$ n'est valable que si $a \neq 0$.

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Exercice type Brevet

Résolvez les équations suivantes :
1. $5x - 15 = 0$
2. $-2x + 7 = 0$
3. $4x = 0$
4. $x - 3 = 0$

1. $5x - 15 = 0$
$5x = 15$
$x = \frac{15}{5}$
$x = 3$

2. $-2x + 7 = 0$
$-2x = -7$
$x = \frac{-7}{-2}$
$x = \frac{7}{2}$ ou $x = 3,5$

3. $4x = 0$
$x = \frac{0}{4}$
$x = 0$

4. $x - 3 = 0$
$x = 3$

Questions fréquentes

Que signifie "résoudre une équation" ?

Résoudre une équation signifie trouver toutes les valeurs de l'inconnue (souvent notée $x$) qui rendent l'égalité vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l'équation.

Pourquoi doit-on faire la même opération des deux côtés de l'équation ?

Pour maintenir l'équilibre de l'égalité. Si on ajoute ou soustrait un nombre d'un côté, on doit faire la même chose de l'autre côté pour que l'égalité reste vraie. C'est comme une balance : si on ajoute un poids d'un côté, il faut ajouter le même poids de l'autre pour qu'elle reste en équilibre.

Comment savoir si ma solution est correcte ?

Il suffit de remplacer l'inconnue par la valeur trouvée dans l'équation de départ. Si l'égalité est vérifiée (par exemple, $0=0$), alors la solution est correcte.

Peut-on avoir une fraction comme solution ?

Oui, tout à fait. Les solutions d'équations peuvent être des nombres entiers, des nombres décimaux, des fractions, ou même des nombres irrationnels (bien que moins courants pour les équations de ce type au Brevet).

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