Nombres et Calculs · Fiche N°29 / 104

Reconnaître une situation de proportionnalité

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

Une situation est dite de proportionnalité si deux grandeurs sont liées de telle sorte que l'on passe de l'une à l'autre en multipliant (ou en divisant) toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.

Si $y$ est proportionnel à $x$, alors il existe un nombre $k$ (le coefficient de proportionnalité) tel que $y = k × x$.
Graphiquement, une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l'origine du repère.

Proportionnalite = droite passant par l'origine
💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si le point $(0,0)$ fait partie de la relation pour confirmer la proportionnalité.

Méthode — Reconnaître une situation de proportionnalité

1

Vérifier la présence d'un coefficient multiplicateur constant

Pour chaque paire de valeurs $(x, y)$ des deux grandeurs, calculez le rapport $\frac{y}{x}$ (si $x \neq 0$). Si ce rapport est constant pour toutes les paires, alors il s'agit d'une situation de proportionnalité. Ce rapport est le coefficient de proportionnalité.

2

Vérifier la relation $y = k × x$

Si vous identifiez un coefficient $k$, testez si pour toutes les valeurs $x$, la relation $y = k × x$ est vérifiée avec la valeur $y$ correspondante. Si c'est le cas, la situation est proportionnelle.

3

Analyse graphique

Si les données sont représentées graphiquement dans un repère, vérifiez si les points sont alignés et si cette droite passe par l'origine $(0,0)$. Si ces deux conditions sont remplies, la situation est de proportionnalité.

Exemple résolu

Considérons les situations suivantes et déterminons si elles relèvent de la proportionnalité.

1
Le prix d'un article en fonction de sa quantité, sachant qu'un article coûte $2€$, deux articles $4€$, et trois articles $6€$.
Le rapport $\frac{\text{Prix}}{\text{Quantité}}$ est constant : $\frac{2}{1} = 2$, $\frac{4}{2} = 2$, $\frac{6}{3} = 2$. Le coefficient de proportionnalité est $2$.
2
L'âge d'une personne et sa taille. À $5$ ans, elle mesure $110$ cm. À $10$ ans, elle mesure $140$ cm.
✗ NonLe rapport $\frac{\text{Taille}}{\text{Âge}}$ n'est pas constant : $\frac{110}{5} = 22$, mais $\frac{140}{10} = 14$. De plus, à $0$ an, la taille n'est pas $0$.
3
Le périmètre d'un carré en fonction de la longueur de son côté. Côté $2$ cm, périmètre $8$ cm. Côté $5$ cm, périmètre $20$ cm.
Le périmètre $P$ d'un carré de côté $c$ est donné par la formule $P = 4 × c$. Le coefficient de proportionnalité est $4$. $\frac{8}{2} = 4$, $\frac{20}{5} = 4$.
4
Le nombre de pages lues et le temps de lecture. $10$ pages en $15$ minutes, $20$ pages en $30$ minutes, $30$ pages en $40$ minutes.
✗ NonLe rapport $\frac{\text{Temps}}{\text{Pages}}$ n'est pas constant : $\frac{15}{10} = 1,5$, $\frac{30}{20} = 1,5$, mais $\frac{40}{30} \approx 1,33$. La dernière valeur ne respecte pas le coefficient.

Il est crucial de vérifier la constance du rapport ou la validité de la formule $y = k × x$ pour toutes les données fournies. Une seule exception suffit à invalider la proportionnalité.

⚠️ Confusion avec une relation affine

  1. Une relation affine est de la forme $y = ax + b$.
  2. Si $b \neq 0$, alors la situation n'est PAS de proportionnalité, même si les points sont alignés.
  3. Pour qu'il y ait proportionnalité, la droite doit impérativement passer par l'origine $(0,0)$.
  4. Par exemple, le prix d'un taxi avec une prise en charge fixe ($b$) et un coût par kilomètre ($a$) n'est pas proportionnel au nombre de kilomètres parcourus.

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Exercice type Brevet

Déterminez si les situations suivantes sont des situations de proportionnalité. Justifiez votre réponse.

1. Un boulanger vend des baguettes : $1$ baguette pour $1,10€$, $2$ baguettes pour $2,20€$, $5$ baguettes pour $5,50€$.
2. La taille d'un enfant en fonction de son âge : à $3$ ans, $90$ cm ; à $6$ ans, $115$ cm.
3. Le prix d'un abonnement téléphonique : $10€$ de forfait fixe plus $0,05€$ par minute consommée.
4. Le nombre de tours de roue d'un vélo et la distance parcourue, sachant qu'un tour correspond à $2$ mètres.
1. Oui. Le rapport $\frac{\text{Prix}}{\text{Nombre de baguettes}}$ est constant : $\frac{1,10}{1} = 1,10$, $\frac{2,20}{2} = 1,10$, $\frac{5,50}{5} = 1,10$. Le coefficient de proportionnalité est $1,10$.
2. Non. Le rapport $\frac{\text{Taille}}{\text{Âge}}$ n'est pas constant : $\frac{90}{3} = 30$, mais $\frac{115}{6} \approx 19,17$. De plus, à $0$ an, la taille n'est pas $0$.
3. Non. La relation est de la forme $P = 0,05 × M + 10$ (où $P$ est le prix et $M$ le nombre de minutes). C'est une relation affine, mais pas de proportionnalité car il y a un terme constant ($10€$) qui fait que la droite ne passe pas par l'origine.
4. Oui. La distance parcourue $D$ est égale au nombre de tours $T$ multiplié par $2$ mètres : $D = 2 × T$. Le coefficient de proportionnalité est $2$. Si $T=0$, $D=0$.

Questions fréquentes

Comment savoir si un tableau de valeurs représente une situation de proportionnalité ?
Calculez le rapport de la deuxième grandeur par la première pour chaque colonne ($\frac{y}{x}$). Si tous ces rapports sont égaux, alors c'est une situation de proportionnalité. Ce rapport est le coefficient de proportionnalité.
Une situation de proportionnalité peut-elle avoir un coefficient négatif ?
Oui, le coefficient de proportionnalité peut être négatif. Par exemple, si la température diminue de $2$ degrés par heure, la variation de température est proportionnelle au temps avec un coefficient de $-2$.
Est-ce que toutes les relations linéaires sont des situations de proportionnalité ?
Non. Une relation linéaire est de la forme $y = ax + b$. Pour qu'elle soit une situation de proportionnalité, il faut que $b = 0$, c'est-à-dire que la droite passe par l'origine du repère.
Qu'est-ce qu'un produit en croix et quel est son lien avec la proportionnalité ?
Le produit en croix est une méthode utilisée pour trouver une valeur manquante dans une situation de proportionnalité. Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, alors $a × d = b × c$. C'est une conséquence directe de la définition de la proportionnalité.

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