Statistiques et Probabilités · Fiche N°89 / 104

Calculer le premier quartile Q1

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

Le premier quartile, noté $Q_1$, est une valeur qui partage une série statistique ordonnée en deux parties : au moins $25 \%$ des données sont inférieures ou égales à $Q_1$, et au moins $75 \%$ des données sont supérieures ou égales à $Q_1$.
Il représente la valeur pour laquelle un quart des observations sont plus petites ou égales.

Q1 = 1er quartile (25% des donnees)
💡 Bon réflexe : Toujours commencer par ordonner la série ! C'est la clé de la réussite pour le calcul des quartiles.

Méthode — Calculer le premier quartile Q1

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Étape 1 : Ordonner la série statistique

Il est impératif de ranger toutes les valeurs de la série statistique par ordre croissant. C'est la première étape et la plus importante pour éviter toute erreur.

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Étape 2 : Calculer la position de $Q_1$

Soit $N$ le nombre total de valeurs dans la série. La position du premier quartile est donnée par le calcul $P = \frac{N}{4}$.

  • Si $P$ est un nombre entier, alors $Q_1$ est la moyenne de la valeur à la position $P$ et de la valeur à la position $P+1$.
  • Si $P$ n'est pas un nombre entier, on arrondit $P$ à l'entier supérieur. $Q_1$ est alors la valeur de la série située à cette position.

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Étape 3 : Identifier $Q_1$

Une fois la position déterminée à l'étape 2, il suffit de lire la valeur correspondante dans la série ordonnée.

Exemple résolu

Soit la série de notes obtenues par des élèves : $12, 8, 15, 10, 13, 7, 11, 14, 9, 16$.

1
Série ordonnée
La série ordonnée est : $7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16$.
2
Nombre de valeurs ($N$)
$N = 10$.
3
Calcul de la position de $Q_1$
Position $P = \frac{N}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$.
P n'est pas un entier, donc on arrondit à l'entier supérieur : $3$.
$Q_1$ est la $3^{\text{ème}}$ valeur de la série ordonnée.
4
Valeur de $Q_1$
La $3^{\text{ème}}$ valeur de la série ordonnée ($7, 8, \underline{9}, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16$) est $9$. Donc $Q_1 = 9$.

Le premier quartile de cette série de notes est $9$. Cela signifie qu'au moins $25 \%$ des élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à $9$.

⚠️ Oublier d'ordonner la série

  1. La plus grande erreur est de calculer la position et d'identifier la valeur de $Q_1$ sans avoir préalablement ordonné la série statistique.
  2. Le résultat serait alors complètement faux.
  3. Toujours commencer par ranger les données par ordre croissant.

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Exercice type Brevet

Voici les salaires mensuels (en euros) d'une petite entreprise : $1800, 2500, 1600, 2000, 1900, 1700, 2200, 1850$.
Calculez le premier quartile ($Q_1$) de cette série de salaires.
1. Ordonner la série :
La série ordonnée est : $1600, 1700, 1800, 1850, 1900, 2000, 2200, 2500$.

2. Nombre de valeurs ($N$) :
$N = 8$.

3. Calcul de la position de $Q_1$ :
Position $P = \frac{N}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
P est un entier, donc $Q_1$ est la moyenne de la $2^{\text{ème}}$ et de la $3^{\text{ème}}$ valeur.

4. Identification de $Q_1$ :
La $2^{\text{ème}}$ valeur est $1700$.
La $3^{\text{ème}}$ valeur est $1800$.
$Q_1 = \frac{1700 + 1800}{2} = \frac{3500}{2} = 1750$.

Le premier quartile des salaires est $1750$ euros.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il ordonner la série ?
Les quartiles sont des valeurs de position. Pour qu'elles aient un sens (séparer les données en quarts), il est indispensable que les données soient classées par ordre croissant. Sans cela, le calcul n'a aucune signification statistique.
Que signifie concrètement $Q_1 = 9$ ?
Cela signifie qu'au moins $25 \%$ des observations sont inférieures ou égales à $9$. Dans le contexte des notes, au moins $25 \%$ des élèves ont eu une note inférieure ou égale à $9$.
Y a-t-il d'autres méthodes pour calculer $Q_1$ ?
Oui, il existe plusieurs conventions pour le calcul des quartiles, notamment celle utilisée par certains logiciels statistiques. Cependant, la méthode présentée ici est la plus courante et la plus attendue au niveau Brevet en France. L'important est de suivre la convention enseignée.
Est-ce que $Q_1$ est toujours une valeur de la série ?
Non, pas toujours. Comme vu dans l'exemple de l'exercice corrigé, si la position $P = \frac{N}{4}$ est un entier, $Q_1$ est la moyenne de deux valeurs de la série, et peut donc ne pas être une valeur présente dans la série initiale.

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