Définition
Un arrangement de $p$ éléments parmi $n$ éléments distincts est une sélection ordonnée de $p$ éléments pris dans un ensemble de $n$ éléments. L'ordre des éléments est important et un élément ne peut être choisi qu'une seule fois. Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est noté $A_n^p$ ou $P(n,p)$ ou $ ext{Arr}(n,p)$ et est défini par la formule $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ pour $0 \leq p \leq n$.
Méthode — Les arrangements : définition et formule A(n,p)
Identifier $n$ et $p$
Déterminez le nombre total d'éléments disponibles, qui correspond à $n$. Ensuite, identifiez le nombre d'éléments à choisir et à ordonner, qui correspond à $p$. Assurez-vous que $0 \leq p \leq n$.
Vérifier si l'ordre est important et s'il y a répétition
Les arrangements sont utilisés lorsque l'ordre des éléments choisis est crucial et que chaque élément ne peut être utilisé qu'une seule fois (pas de répétition). Si l'ordre n'est pas important, il s'agit de combinaisons. S'il y a répétition, il s'agit d'autres types de dénombrements.
Appliquer la formule des arrangements
Une fois $n$ et $p$ identifiés et la pertinence des arrangements confirmée, utilisez la formule $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$. Rappelez-vous que $n! = n × (n-1) × \dots × 2 × 1$ et $0! = 1$.
Calculer la valeur numérique
Effectuez les calculs factoriels et la division pour obtenir le nombre total d'arrangements. Il est souvent utile de simplifier la fraction avant de calculer les grands nombres, par exemple $A_n^p = n × (n-1) × \dots × (n-p+1)$.
Exemple résolu
Un club de tennis compte 10 membres. On souhaite élire un président, un vice-président et un trésorier. Combien de bureaux différents peut-on former ?
On peut simplifier en $A_{10}^3 = 10 × 9 × 8 = 720$.
Il y a 720 bureaux différents possibles.
Il est possible de former 720 bureaux différents avec les 10 membres du club.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion avec les combinaisons
- Ne pas distinguer si l'ordre des éléments choisis est important ou non. Si l'ordre est important, c'est un arrangement. Si l'ordre n'est pas important, c'est une combinaison.
- Oublier que les arrangements impliquent des éléments distincts et sans répétition. Si des répétitions sont possibles, la formule $n^p$ est souvent utilisée.
- Erreur de calcul des factorielles, surtout avec des nombres élevés. Simplifiez toujours la fraction $\frac{n!}{(n-p)!}$ avant de calculer.
Exercice type BAC
Une entreprise souhaite attribuer trois prix distincts (Prix de l'Innovation, Prix de la Qualité, Prix du Meilleur Service Client) à trois de ses huit employés les plus méritants. Chaque employé ne peut recevoir qu'un seul prix.
- Combien de façons différentes y a-t-il d'attribuer ces trois prix ?
- Si l'employé Monsieur Dupont doit absolument recevoir le Prix de l'Innovation, combien de façons différentes y a-t-il d'attribuer les prix restants ?
- Supposons maintenant que l'entreprise décide d'attribuer les trois prix à trois employés choisis parmi les huit, mais que les prix sont identiques (par exemple, trois 'Prix d'Excellence'). Expliquer pourquoi la formule des arrangements ne serait pas adaptée dans ce cas.
Nombre de façons d'attribuer les trois prix :
Nous avons 8 employés ($n=8$) et nous devons choisir 3 d'entre eux pour attribuer 3 prix distincts ($p=3$). L'ordre est important car le Prix de l'Innovation est différent du Prix de la Qualité, et chaque employé ne peut recevoir qu'un seul prix (pas de répétition).
Il s'agit donc d'un arrangement de 3 éléments parmi 8. On utilise la formule $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 × 7 × 6 = 336$.
Il y a 336 façons différentes d'attribuer ces trois prix.
Nombre de façons si Monsieur Dupont reçoit le Prix de l'Innovation :
Si Monsieur Dupont reçoit le Prix de l'Innovation, il reste 2 prix à attribuer (Prix de la Qualité et Prix du Meilleur Service Client) et 7 employés restants (les 8 employés moins Monsieur Dupont).
Nous devons donc choisir 2 employés parmi les 7 restants pour les 2 prix restants. L'ordre est toujours important (Prix de la Qualité est différent du Prix du Meilleur Service Client).
Il s'agit d'un arrangement de 2 éléments parmi 7. On utilise la formule $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
$A_7^2 = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7 × 6 = 42$.
Il y a 42 façons différentes d'attribuer les prix restants si Monsieur Dupont reçoit le Prix de l'Innovation.
Cas où les prix sont identiques :
Si les trois prix sont identiques (par exemple, trois 'Prix d'Excellence'), l'ordre dans lequel les employés reçoivent les prix n'a plus d'importance. Choisir l'employé A, puis B, puis C pour les trois prix d'excellence est la même chose que choisir B, puis A, puis C.
La formule des arrangements $A_n^p$ est utilisée lorsque l'ordre est important. Dans ce cas, où l'ordre n'est pas important, il faudrait utiliser la formule des combinaisons $C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.
Par conséquent, la formule des arrangements ne serait pas adaptée car elle compterait chaque groupe de trois employés plusieurs fois (une fois pour chaque ordre possible), alors que ces ordres ne sont pas distincts si les prix sont identiques.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un arrangement et une permutation ?
Quand utiliser les arrangements et quand utiliser les combinaisons ?
Peut-on avoir des répétitions dans un arrangement ?
Comment calculer $A_n^p$ sans utiliser la formule factorielle complète ?
Pour aller plus loin
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