Factorielles : définition et propriétés – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Pour tout entier naturel $n \geq 0$, la factorielle de $n$, notée $n!$, est le produit de tous les entiers de $1$ à $n$. Par convention, $0! = 1$. Pour $n \geq 1$, on a $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$.

💡 Bon réflexe : Toujours développer la plus grande factorielle jusqu'à la plus petite pour simplifier les quotients, et n'oubliez jamais que $0! = 1$.

Méthode — Factorielles : définition et propriétés

Comprendre la définition de la factorielle

La factorielle $n!$ est le produit des entiers de $1$ à $n$. Il est crucial de se souvenir que $0! = 1$ et $1! = 1$. Pour $n \geq 2$, $n!$ croît très rapidement. Par exemple, $2! = 2 \times 1 = 2$, $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Utiliser la relation de récurrence $n! = n \times (n-1)!$

Cette propriété est fondamentale pour simplifier des expressions impliquant des factorielles. Par exemple, pour simplifier $\frac{n!}{(n-2)!}$, on peut écrire $n! = n \times (n-1) \times (n-2)!$, ce qui donne $\frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{(n-2)!} = n(n-1)$ pour $n \geq 2$.

Simplifier des expressions avec des factorielles

Lorsqu'on rencontre des quotients ou des produits de factorielles, l'objectif est souvent de développer la plus grande factorielle jusqu'à atteindre la plus petite pour pouvoir simplifier. Par exemple, pour simplifier $\frac{(n+1)!}{n!}$, on écrit $(n+1)! = (n+1) \times n!$, donc $\frac{(n+1) \times n!}{n!} = n+1$.

Appliquer les factorielles dans les problèmes de combinatoire

Les factorielles sont au cœur du dénombrement. Elles sont utilisées pour calculer le nombre de permutations d'un ensemble de $n$ éléments (qui est $n!$). Elles apparaissent également dans la formule des coefficients binomiaux $\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$, qui représente le nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ sans ordre et sans répétition.

Exemple résolu

Simplifier l'expression $A = \frac{(n+2)!}{n!}$ pour tout entier naturel $n \geq 0$. Puis, résoudre l'équation $B = \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 30$ pour $n \geq 1$.

Simplification de $A = \frac{(n+2)!}{n!}$

On utilise la propriété $k! = k \times (k-1)!$ de manière répétée. On développe le terme $(n+2)!$ jusqu'à faire apparaître $n!$ au numérateur :
$(n+2)! = (n+2) \times (n+1)!$
$(n+1)! = (n+1) \times n!$
Donc, $(n+2)! = (n+2) \times (n+1) \times n!$
On substitue cette expression dans $A$ :
$A = \frac{(n+2) \times (n+1) \times n!}{n!}$
On peut simplifier par $n!$ (puisque $n! \neq 0$ pour tout $n \geq 0$) :
$A = (n+2)(n+1)$

Résolution de l'équation $B = \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 30$

L'équation est définie pour $n \geq 1$. On commence par simplifier l'expression $B$. On développe $(n+1)!$ jusqu'à faire apparaître $(n-1)!$ :
$(n+1)! = (n+1) \times n!$
$n! = n \times (n-1)!$
Donc, $(n+1)! = (n+1) \times n \times (n-1)!$
On substitue cette expression dans $B$ :
$B = \frac{(n+1) \times n \times (n-1)!}{(n-1)!}$
On peut simplifier par $(n-1)!$ (puisque $(n-1)! \neq 0$ pour $n \geq 1$) :
$B = n(n+1)$
L'équation devient donc $n(n+1) = 30$.
On développe et on réarrange pour obtenir une équation du second degré :
$n^2 + n = 30$
$n^2 + n - 30 = 0$
On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-30) = 1 + 120 = 121$.
Les solutions sont $n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2 \times 1} = \frac{-1 \pm 11}{2}$.
Deux solutions possibles :
$n_1 = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$n_2 = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Puisque $n$ doit être un entier naturel et $n \geq 1$, la solution $n = -6$ est à rejeter. La seule solution valide est $n=5$.

La simplification de $A$ donne $A = (n+2)(n+1)$. La résolution de l'équation $B = 30$ donne $n=5$.

⚠️ Erreurs courantes avec les factorielles

Oublier que $0! = 1$. C'est une convention essentielle pour la cohérence des formules combinatoires.
Confondre $n!$ avec $(n!)!$ ou d'autres opérations. La factorielle s'applique à un entier unique.
Ne pas simplifier correctement les quotients de factorielles. Il faut toujours développer la plus grande jusqu'à la plus petite pour simplifier.
Oublier les conditions d'existence des factorielles (l'argument doit être un entier naturel) lors de la résolution d'équations.

Exercice type BAC

Un groupe de $n$ amis souhaite s'asseoir autour d'une table ronde. On s'intéresse au nombre de façons de les disposer.

Combien y a-t-il de façons de disposer $n$ personnes sur $n$ chaises alignées ? Exprimer le résultat en fonction de $n$.
On considère maintenant une table ronde. Deux dispositions sont considérées identiques si l'on peut passer de l'une à l'autre par une rotation. Montrer que le nombre de façons de disposer $n$ personnes autour d'une table ronde est $(n-1)!$ pour $n \geq 1$.
Pour un groupe de $n$ amis, le nombre de façons de les disposer autour d'une table ronde est $120$. Déterminer le nombre d'amis $n$.

Pour disposer $n$ personnes sur $n$ chaises alignées, il s'agit de choisir une personne pour la première chaise (il y a $n$ choix), puis une personne parmi les $n-1$ restantes pour la deuxième chaise (il y a $n-1$ choix), et ainsi de suite jusqu'à la dernière chaise où il ne reste qu'un choix. Le nombre total de façons est donc le produit $n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$.
Ce nombre est par définition $n!$.
Pour $n$ personnes autour d'une table ronde, si l'on considère les chaises numérotées, il y a $n!$ façons de les placer, comme pour une disposition alignée.
Cependant, pour une table ronde, des dispositions sont considérées identiques si elles peuvent être obtenues par rotation. Si on fixe une personne à une place, les $n-1$ autres personnes peuvent être disposées de $(n-1)!$ façons différentes par rapport à cette personne fixe.
Alternativement, pour chaque disposition linéaire de $n$ personnes, il y a $n$ rotations possibles qui sont considérées comme la même disposition autour d'une table ronde. Par exemple, si les personnes sont A, B, C, D, les dispositions ABCD, BCDA, CDAB, DABC sont toutes équivalentes autour d'une table ronde.
Donc, le nombre de dispositions distinctes autour d'une table ronde est $\frac{n!}{n} = (n-1)!$ pour $n \geq 1$.
D'après la question précédente, le nombre de façons de disposer $n$ amis autour d'une table ronde est $(n-1)!$.
On nous dit que ce nombre est $120$. On doit donc résoudre l'équation $(n-1)! = 120$.
Calculons les premières valeurs de factorielles :
- $0! = 1$
- $1! = 1$
- $2! = 2$
- $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
- $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
- $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
On constate que $(n-1)! = 120$ implique $n-1 = 5$.
Donc, $n = 5 + 1 = 6$.
Il y a $6$ amis dans le groupe.

Questions fréquentes

Pourquoi $0! = 1$ ?

La convention $0! = 1$ est essentielle pour que de nombreuses formules combinatoires restent valides. Par exemple, la formule des coefficients binomiaux $\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ fonctionnerait mal si $0!$ n'était pas $1$. Si $p=n$, $\binom{n}{n} = \frac{n!}{n!0!} = \frac{1}{0!}$. Comme il n'y a qu'une seule façon de choisir $n$ éléments parmi $n$, $\binom{n}{n}=1$, ce qui impose $0!=1$. De plus, la relation de récurrence $n! = n \times (n-1)!$ implique que $1! = 1 \times 0!$, donc $1 = 1 \times 0!$, ce qui donne $0! = 1$.

Les factorielles sont-elles définies pour les nombres négatifs ou non entiers ?

Non, la définition classique de la factorielle $n!$ est uniquement pour les entiers naturels $n \geq 0$. Il existe des extensions de la factorielle pour les nombres complexes, comme la fonction Gamma $\Gamma(z)$, où $\Gamma(n+1) = n!$ pour les entiers naturels, mais ce n'est pas au programme du lycée.

Comment simplifier des expressions comme $\frac{(2n)!}{n!}$ ?

Il n'y a pas de simplification directe simple pour $\frac{(2n)!}{n!}$ comme il y en a pour $\frac{n!}{(n-k)!}$. On ne peut pas 'distribuer' la factorielle. $(2n)!$ est le produit de $1$ à $2n$, tandis que $n!$ est le produit de $1$ à $n$. On peut écrire $(2n)! = (2n) \times (2n-1) \times \dots \times (n+1) \times n!$, donc $\frac{(2n)!}{n!} = (2n) \times (2n-1) \times \dots \times (n+1)$. C'est le produit de $n$ termes.

Quelle est la croissance de la fonction factorielle ?

La fonction factorielle croît extrêmement rapidement. Elle croît plus vite que toute fonction polynomiale et même que toute fonction exponentielle de la forme $a^n$ pour $a > 1$. Par exemple, $10! = 3\,628\,800$, $15! \approx 1.3 \times 10^{12}$, et $20! \approx 2.4 \times 10^{18}$. Cette croissance rapide est importante en combinatoire car elle montre que le nombre de façons d'ordonner des éléments devient très grand très vite.

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