Dénombrement appliqué aux probabilités – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Quelle est la différence entre un arrangement et une combinaison ?

Un arrangement est un choix ordonné de $k$ éléments parmi $n$ (l'ordre compte). Par exemple, choisir un président et un vice-président parmi 10 personnes est un arrangement. Une combinaison est un choix non ordonné de $k$ éléments parmi $n$ (l'ordre ne compte pas). Par exemple, choisir 2 personnes pour former un comité parmi 10 est une combinaison. Les arrangements sont notés $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ et les combinaisons $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Définition

Le dénombrement est l'art de compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini. En probabilités, il est fondamental pour calculer la probabilité d'un événement dans un univers fini et équiprobable, où la probabilité d'un événement $A$ est donnée par $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$, avec $\Omega$ l'univers des possibles.

💡 Bon réflexe : Toujours bien lire l'énoncé pour identifier si l'ordre compte et si la répétition est possible avant de choisir la formule de dénombrement appropriée.

Méthode — Dénombrement appliqué aux probabilités

Identifier le type de tirage ou de sélection

Avant tout calcul, il est crucial de déterminer si l'ordre des éléments compte et si la répétition est autorisée. Cela orientera vers l'utilisation des arrangements, combinaisons, ou autres principes de dénombrement. Les situations courantes sont : tirage avec ou sans remise, tirage ordonné ou non ordonné.

Définir l'univers des possibles (card($\Omega$))

Calculer le nombre total de résultats possibles de l'expérience aléatoire. C'est le dénominateur de la probabilité. Par exemple, pour tirer $k$ éléments parmi $n$ sans ordre et sans remise, on utilise les combinaisons $\binom{n}{k}$.

Définir l'événement et compter les cas favorables (card($A$))

Identifier précisément les conditions de l'événement $A$ dont on veut calculer la probabilité. Ensuite, compter le nombre de façons de réaliser cet événement. Cela peut impliquer l'utilisation des mêmes principes de dénombrement que pour l'univers, mais appliqués aux sous-ensembles définis par l'événement.

Calculer la probabilité

Une fois card($A$) et card($\Omega$) déterminés, la probabilité de l'événement $A$ est $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$. Simplifier la fraction si possible.

Exemple résolu

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 6 boules rouges et 4 boules vertes. On tire simultanément 3 boules de l'urne.

Déterminer le type de tirage et les outils de dénombrement.

Le tirage est simultané, ce qui signifie que l'ordre des boules tirées n'a pas d'importance. Il s'agit donc de combinaisons. De plus, les boules ne sont pas remises (tirage sans remise).

Calculer le nombre total de tirages possibles (card($\Omega$)).

On tire 3 boules parmi les 10 boules de l'urne. Le nombre de façons de faire cela est : $$\text{card}(\Omega) = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 × 9 × 8}{3 × 2 × 1} = 10 × 3 × 4 = 120$$ Il y a 120 tirages possibles.

Calculer le nombre de cas favorables pour l'événement $A$ : 'Obtenir exactement 2 boules rouges'.

Pour obtenir exactement 2 boules rouges, il faut :

Choisir 2 boules parmi les 6 rouges : $\binom{6}{2} = \frac{6 × 5}{2 × 1} = 15$ façons.
Choisir 1 boule parmi les 4 vertes (car le total est 3 boules) : $\binom{4}{1} = 4$ façons.

Par le principe multiplicatif, le nombre de cas favorables pour l'événement $A$ est : $$\text{card}(A) = \binom{6}{2} × \binom{4}{1} = 15 × 4 = 60$$

Calculer la probabilité de l'événement $A$.

La probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges est : $$P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$$

La probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges est de $\frac{1}{2}$ ou $0,5$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion entre ordre et répétition

Confondre un tirage simultané (combinaison, ordre non important) avec un tirage successif sans remise (arrangement, ordre important).
Oublier de considérer la répétition (remise) ou l'absence de répétition (sans remise) dans le calcul du nombre de possibilités.
Ne pas distinguer les éléments (par exemple, toutes les boules rouges sont identiques) des positions (boule 1, boule 2, etc.) quand l'ordre compte.
Utiliser les arrangements au lieu des combinaisons (ou inversement) pour des problèmes où l'ordre est clairement spécifié ou non.

Exercice type BAC

Une association organise une tombola. Pour cela, elle a mis en vente 100 billets numérotés de 1 à 100. Trois prix sont à gagner : un voyage, un bon d'achat de 100 € et un livre. On tire au hasard et simultanément 3 billets parmi les 100.

Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Calculer la probabilité de l'événement $A$ : 'Les trois billets tirés portent des numéros pairs'.
Calculer la probabilité de l'événement $B$ : 'Parmi les trois billets tirés, il y a au moins un billet dont le numéro est un multiple de 10'.

Nombre de tirages possibles :
On tire simultanément 3 billets parmi 100. L'ordre n'a pas d'importance et il n'y a pas de remise. Il s'agit donc de combinaisons.
Le nombre total de tirages possibles est :
$$\text{card}(\Omega) = \binom{100}{3} = \frac{100 × 99 × 98}{3 × 2 × 1} = 50 × 33 × 98 = 161700$$
Il y a 161 700 tirages possibles.
Probabilité de l'événement $A$ : 'Les trois billets tirés portent des numéros pairs'.
Parmi les 100 billets, il y a 50 billets pairs (2, 4, ..., 100) et 50 billets impairs (1, 3, ..., 99).
Pour que les trois billets tirés soient pairs, il faut choisir 3 billets parmi les 50 billets pairs.
Le nombre de cas favorables à $A$ est :
$$\text{card}(A) = \binom{50}{3} = \frac{50 × 49 × 48}{3 × 2 × 1} = 50 × 49 × 8 = 19600$$
La probabilité de $A$ est :
$$P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{19600}{161700} = \frac{196}{1617} \approx 0,121$$
Probabilité de l'événement $B$ : 'Parmi les trois billets tirés, il y a au moins un billet dont le numéro est un multiple de 10'.
Il est plus simple de calculer la probabilité de l'événement contraire $\overline{B}$ : 'Aucun des trois billets tirés n'est un multiple de 10'.
Les multiples de 10 parmi les 100 billets sont : 10, 20, ..., 100. Il y en a 10.
Le nombre de billets qui ne sont pas des multiples de 10 est $100 - 10 = 90$.
Pour l'événement $\overline{B}$, on doit choisir 3 billets parmi ces 90 billets qui ne sont pas des multiples de 10.
Le nombre de cas favorables à $\overline{B}$ est :
$$\text{card}(\overline{B}) = \binom{90}{3} = \frac{90 × 89 × 88}{3 × 2 × 1} = 30 × 89 × 44 = 117480$$
La probabilité de $\overline{B}$ est :
$$P(\overline{B}) = \frac{\text{card}(\overline{B})}{\text{card}(\Omega)} = \frac{117480}{161700} = \frac{11748}{16170} = \frac{5874}{8085} \approx 0,7265$$
La probabilité de l'événement $B$ est donc :
$$P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{117480}{161700} = 1 - \frac{5874}{8085} = \frac{8085 - 5874}{8085} = \frac{2211}{8085} \approx 0,2735$$

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un arrangement et une combinaison ?

Un arrangement est un choix ordonné de $k$ éléments parmi $n$ (l'ordre compte). Par exemple, choisir un président et un vice-président parmi 10 personnes est un arrangement. Une combinaison est un choix non ordonné de $k$ éléments parmi $n$ (l'ordre ne compte pas). Par exemple, choisir 2 personnes pour former un comité parmi 10 est une combinaison. Les arrangements sont notés $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ et les combinaisons $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Quand utilise-t-on le principe multiplicatif ?

Le principe multiplicatif est utilisé lorsque l'on doit faire une succession de choix indépendants. Si une première étape peut être réalisée de $n_1$ façons, une deuxième de $n_2$ façons, ..., et une $k$-ième de $n_k$ façons, alors le nombre total de façons de réaliser toutes les étapes est le produit $n_1 × n_2 × ... × n_k$. Par exemple, choisir une entrée (3 choix) et un plat (4 choix) donne $3 × 4 = 12$ menus possibles.

Comment savoir si un tirage est avec ou sans remise ?

Le texte de l'énoncé est crucial. 'Tirer simultanément' ou 'choisir un sous-ensemble' implique un tirage sans remise et sans ordre (combinaisons). 'Tirer successivement sans remise' implique un tirage ordonné sans répétition (arrangements). 'Tirer successivement avec remise' implique un tirage ordonné avec répétition (listes ou $n^k$). Si rien n'est précisé, le contexte (par exemple, des personnes pour des postes différents) peut aider à déduire si la remise ou l'ordre est pertinent.

Qu'est-ce qu'un événement contraire et quand est-il utile ?

L'événement contraire $\overline{A}$ d'un événement $A$ est l'événement qui se réalise si et seulement si $A$ ne se réalise pas. La probabilité de $\overline{A}$ est $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. Il est utile de calculer $P(\overline{A})$ lorsque l'événement $A$ est complexe à dénombrer directement, souvent quand il contient l'expression 'au moins un' ou 'au plus un'. Par exemple, 'au moins un billet pair' est l'événement contraire de 'aucun billet pair'.

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