Algèbre & Combinatoire · Fiche N°9 / 110

La loi hypergéométrique

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

La loi hypergéométrique modélise le nombre de succès obtenus lors d'un tirage sans remise de $n$ objets parmi $N$ objets, dont $K$ sont des succès. Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi hypergéométrique, notée $\mathcal{H}(N, K, n)$, alors pour tout entier $k$ tel que $\max(0, n - (N-K)) \leq k \leq \min(n, K)$, la probabilité d'obtenir $k$ succès est donnée par la formule : $$P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$ où $\binom{a}{b}$ représente le coefficient binomial "$a$ parmi $b$".

💡 Bon réflexe : Avant de calculer, vérifie toujours si le tirage est avec ou sans remise pour choisir entre loi binomiale et loi hypergéométrique.
0 1 2 3 4 5X ∼ H(N, K, n)Tirage sans remiseN total, K succès, n tirages

Méthode — La loi hypergéométrique

1

Identifier le contexte du tirage sans remise

La loi hypergéométrique s'applique lorsque l'on effectue un tirage sans remise d'un échantillon de taille $n$ à partir d'une population finie de taille $N$. Il est crucial que le tirage soit sans remise, car c'est ce qui distingue cette loi de la loi binomiale.

2

Déterminer les paramètres $N$, $K$ et $n$

  • $N$ : la taille totale de la population (le nombre total d'objets disponibles).
  • $K$ : le nombre d'objets 'succès' dans la population totale.
  • $n$ : la taille de l'échantillon tiré (le nombre d'objets que l'on tire).
Ces trois paramètres sont essentiels pour définir la loi hypergéométrique.

3

Définir la variable aléatoire $X$

La variable aléatoire $X$ représente le nombre de succès obtenus dans l'échantillon tiré. Il faut clairement énoncer ce que $X$ compte.

4

Appliquer la formule de probabilité

Pour calculer la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès ($P(X=k)$), utilisez la formule : $$P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$ N'oubliez pas de vérifier les bornes de $k$ : $\max(0, n - (N-K)) \leq k \leq \min(n, K)$. Ces bornes garantissent que le nombre de succès $k$ et le nombre d'échecs $n-k$ sont cohérents avec les nombres disponibles dans la population.

Exemple résolu

Une urne contient 10 boules rouges et 5 boules bleues. On tire simultanément et sans remise 4 boules de l'urne. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.

1
Identifier les paramètres $N$, $K$ et $n$.
La population totale est constituée de 10 boules rouges et 5 boules bleues, donc $N = 10 + 5 = 15$.
Les 'succès' sont les boules rouges, il y en a $K = 10$.
On tire 4 boules, donc la taille de l'échantillon est $n = 4$.
2
Définir la variable aléatoire $X$ et sa loi.
La variable aléatoire $X$ compte le nombre de boules rouges tirées. Puisqu'il s'agit d'un tirage sans remise dans une population finie, $X$ suit une loi hypergéométrique $\mathcal{H}(N, K, n) = \mathcal{H}(15, 10, 4)$.
3
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges.
On cherche $P(X=2)$. En utilisant la formule avec $k=2$: $$P(X=2) = \frac{\binom{10}{2} \binom{15-10}{4-2}}{\binom{15}{4}} = \frac{\binom{10}{2} \binom{5}{2}}{\binom{15}{4}}$$ Calculons les coefficients binomiaux :
$\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$
$\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
$\binom{15}{4} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15 \times 7 \times 13 = 1365$
Donc, $P(X=2) = \frac{45 \times 10}{1365} = \frac{450}{1365}$.
Simplifions la fraction : $P(X=2) = \frac{90}{273} = \frac{30}{91}$ (en divisant par 5 puis par 3).
4
Calculer la probabilité d'obtenir au moins 3 boules rouges.
On cherche $P(X \geq 3)$. Les valeurs possibles de $X$ sont $\max(0, 4-(15-10)) = \max(0, -1) = 0$ à $\min(4, 10) = 4$. Donc $X \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4)$.
Pour $P(X=3)$ : $$P(X=3) = \frac{\binom{10}{3} \binom{5}{1}}{\binom{15}{4}}$$ $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$
$\binom{5}{1} = 5$
$P(X=3) = \frac{120 \times 5}{1365} = \frac{600}{1365} = \frac{120}{273} = \frac{40}{91}$.
Pour $P(X=4)$ : $$P(X=4) = \frac{\binom{10}{4} \binom{5}{0}}{\binom{15}{4}}$$ $\binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$
$\binom{5}{0} = 1$
$P(X=4) = \frac{210 \times 1}{1365} = \frac{210}{1365} = \frac{42}{273} = \frac{14}{91}$.
Donc, $P(X \geq 3) = \frac{40}{91} + \frac{14}{91} = \frac{54}{91}$.

La probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges est $\frac{30}{91}$. La probabilité d'obtenir au moins 3 boules rouges est $\frac{54}{91}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion avec la loi binomiale

  1. Confondre tirage avec remise (loi binomiale) et tirage sans remise (loi hypergéométrique). La loi hypergéométrique s'applique uniquement aux tirages sans remise.
  2. Oublier de vérifier les bornes de $k$ ($\max(0, n - (N-K)) \leq k \leq \min(n, K)$), ce qui peut conduire à des calculs de coefficients binomiaux impossibles (ex: $\binom{5}{6}$) ou à des probabilités non nulles pour des événements impossibles.
  3. Faire des erreurs de calcul avec les coefficients binomiaux, surtout pour de grandes valeurs. Utiliser une calculatrice si autorisée, ou simplifier les fractions avant de multiplier.

Exercice type BAC

Une entreprise fabrique des composants électroniques. Un lot de 200 composants contient 10 composants défectueux. Pour un contrôle qualité, on prélève au hasard et sans remise un échantillon de 15 composants.

  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de composants défectueux dans l'échantillon ? Justifier votre réponse et donner ses paramètres.
  2. Calculer la probabilité que l'échantillon contienne exactement 1 composant défectueux. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
  3. Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au moins 2 composants défectueux. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

  1. La situation décrit un tirage sans remise d'un échantillon de taille $n=15$ à partir d'une population finie de taille $N=200$. Dans cette population, il y a $K=10$ composants défectueux (les 'succès').

    La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès (composants défectueux) dans l'échantillon. Par conséquent, $X$ suit une loi hypergéométrique de paramètres $N=200$, $K=10$ et $n=15$. On note $X \sim \mathcal{H}(200, 10, 15)$.

  2. On cherche $P(X=1)$. En utilisant la formule de la loi hypergéométrique avec $k=1$ :

    $$P(X=1) = \frac{\binom{10}{1} \binom{200-10}{15-1}}{\binom{200}{15}} = \frac{\binom{10}{1} \binom{190}{14}}{\binom{200}{15}}$$

    Calculons les coefficients binomiaux :

    • $\binom{10}{1} = 10$
    • $\binom{190}{14} = \frac{190!}{14!176!}$
    • $\binom{200}{15} = \frac{200!}{15!185!}$

    Ces calculs sont complexes à la main. À l'aide d'une calculatrice, on obtient :

    • $\binom{190}{14} \approx 1.295 \times 10^{20}$
    • $\binom{200}{15} \approx 2.428 \times 10^{23}$

    Donc, $P(X=1) = \frac{10 \times 1.295 \times 10^{20}}{2.428 \times 10^{23}} = \frac{1.295 \times 10^{21}}{2.428 \times 10^{23}} \approx 0.005333 \approx 0.005$.

    La probabilité que l'échantillon contienne exactement 1 composant défectueux est d'environ $0.005$.

  3. On cherche $P(X \geq 2)$. Il est plus simple de calculer $P(X < 2)$ et d'utiliser l'événement contraire : $P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2)$.

    Les valeurs possibles pour $X$ sont de $\max(0, 15-(200-10)) = \max(0, 15-190) = 0$ à $\min(15, 10) = 10$. Donc $X \in \{0, 1, ..., 10\}$.

    $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$.

    On a déjà calculé $P(X=1) \approx 0.005333$.

    Calculons $P(X=0)$ :

    $$P(X=0) = \frac{\binom{10}{0} \binom{190}{15}}{\binom{200}{15}}$$
    • $\binom{10}{0} = 1$
    • $\binom{190}{15} \approx 1.637 \times 10^{21}$

    Donc, $P(X=0) = \frac{1 \times 1.637 \times 10^{21}}{2.428 \times 10^{23}} \approx 0.006749$.

    $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1) \approx 0.006749 + 0.005333 = 0.012082$.

    Enfin, $P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) \approx 1 - 0.012082 = 0.987918 \approx 0.988$.

    La probabilité que l'échantillon contienne au moins 2 composants défectueux est d'environ $0.988$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la loi hypergéométrique et la loi binomiale ?
La principale différence réside dans le mode de tirage : la loi hypergéométrique s'applique aux tirages sans remise (la population diminue après chaque tirage), tandis que la loi binomiale s'applique aux tirages avec remise (la population reste inchangée, les tirages sont indépendants).
Comment calculer l'espérance et la variance d'une loi hypergéométrique ?
L'espérance d'une variable aléatoire $X \sim \mathcal{H}(N, K, n)$ est $E(X) = n \frac{K}{N}$. La variance est $V(X) = n \frac{K}{N} (1 - \frac{K}{N}) \frac{N-n}{N-1}$. Le terme $\frac{N-n}{N-1}$ est appelé le facteur de correction pour population finie.
Quand peut-on approximer une loi hypergéométrique par une loi binomiale ?
Lorsque la taille de la population $N$ est très grande par rapport à la taille de l'échantillon $n$ (généralement si $n/N < 0.1$), le tirage sans remise se rapproche d'un tirage avec remise. Dans ce cas, la loi hypergéométrique peut être approximée par une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $p = \frac{K}{N}$. Cette approximation simplifie les calculs.
Les coefficients binomiaux sont-ils toujours définis pour la loi hypergéométrique ?
Oui, les coefficients binomiaux $\binom{a}{b}$ sont définis pour $a \geq b \geq 0$. Les bornes de $k$ dans la formule de la loi hypergéométrique ($\max(0, n - (N-K)) \leq k \leq \min(n, K)$) garantissent que les termes $\binom{K}{k}$ et $\binom{N-K}{n-k}$ sont toujours valides, c'est-à-dire que $k \leq K$ et $n-k \leq N-K$ (et $k \geq 0$, $n-k \geq 0$). Si $k$ est en dehors de ces bornes, la probabilité est 0.

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