Définition
Le raisonnement par l'absurde est une méthode de démonstration qui consiste à prouver qu'une proposition $P$ est vraie en montrant que sa négation $\neg P$ conduit à une contradiction logique. Si $\neg P$ est fausse, alors $P$ est nécessairement vraie.
Méthode — Le raisonnement par l'absurde
Étape 1 : Énoncer la proposition à démontrer
Identifiez clairement la proposition $P$ que vous souhaitez prouver. Par exemple, $P$ pourrait être "$\sqrt{2}$ est irrationnel" ou "il existe une infinité de nombres premiers".
Étape 2 : Supposer la négation de la proposition
Formulez la négation de $P$, notée $\neg P$, et supposez qu'elle est vraie. C'est le point de départ de votre raisonnement par l'absurde. Par exemple, si $P$ est "$\sqrt{2}$ est irrationnel", alors $\neg P$ est "$\sqrt{2}$ est rationnel".
Étape 3 : Développer un raisonnement logique à partir de cette supposition
À partir de la supposition $\neg P$, utilisez des définitions, des théorèmes et des propriétés mathématiques pour construire une chaîne de déductions logiques. L'objectif est d'arriver à une conclusion qui est manifestement fausse ou contradictoire.
Étape 4 : Conclure à la contradiction et à la validité de la proposition initiale
Lorsque vous atteignez une contradiction (par exemple, $1 = 0$, ou une propriété qui contredit une hypothèse initiale), cela signifie que votre supposition $\neg P$ était fausse. Par conséquent, la proposition originale $P$ est vraie.
Exemple résolu
Démontrons par l'absurde que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.
Par définition, un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\frac{p}{q}$, où $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}^*$, et $p$ et $q$ sont premiers entre eux (c'est-à-dire que leur plus grand commun diviseur est $1$, $\text{pgcd}(p,q)=1$).
Donc, on suppose qu'il existe $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$ tels que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ et $\text{pgcd}(p,q)=1$.
$$(\sqrt{2})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2$$
$$2 = \frac{p^2}{q^2}$$
$$2q^2 = p^2$$
Cette dernière égalité implique que $p^2$ est un nombre pair. Si $p^2$ est pair, alors $p$ doit être pair (car si $p$ était impair, $p^2$ serait impair).
Donc, on peut écrire $p = 2k$ pour un certain entier $k \in \mathbb{Z}$.
Substituons $p = 2k$ dans l'équation $2q^2 = p^2$ :
$$2q^2 = (2k)^2$$
$$2q^2 = 4k^2$$
En divisant par $2$, on obtient :
$$q^2 = 2k^2$$
Cette égalité implique que $q^2$ est un nombre pair. Si $q^2$ est pair, alors $q$ doit être pair.
Ceci contredit notre hypothèse initiale selon laquelle $p$ et $q$ sont premiers entre eux ($\text{pgcd}(p,q)=1$).
Nous sommes arrivés à une contradiction.
La supposition que $\sqrt{2}$ est rationnel conduit à une contradiction. Par conséquent, cette supposition est fausse, et la proposition originale est vraie : $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Négation incorrecte
- Ne pas formuler correctement la négation de la proposition. Par exemple, la négation de "tous les nombres sont pairs" n'est pas "tous les nombres sont impairs", mais "il existe au moins un nombre impair".
- Confondre le raisonnement par l'absurde avec la contraposée. La contraposée démontre $P \implies Q$ en prouvant $\neg Q \implies \neg P$. Le raisonnement par l'absurde démontre $P$ en prouvant que $\neg P$ mène à une contradiction.
- Ne pas identifier clairement la contradiction finale. La contradiction doit être une affirmation manifestement fausse ou en opposition directe avec une hypothèse de départ.
Exercice type BAC
On considère la proposition $P$ : "Pour tout entier naturel $n$, si $n^2$ est un multiple de $3$, alors $n$ est un multiple de $3$".
- Écrire la négation de la proposition $P$.
- Démontrer la proposition $P$ par l'absurde.
La proposition $P$ est de la forme $\forall n \in \mathbb{N}, (A \implies B)$, où $A$ est "$n^2$ est un multiple de $3$" et $B$ est "$n$ est un multiple de $3$".
La négation d'une implication $A \implies B$ est $A \text{ et } \neg B$.
Donc, la négation de $P$, notée $\neg P$, est : "Il existe un entier naturel $n$ tel que $n^2$ est un multiple de $3$ et $n$ n'est pas un multiple de $3$".
Démontrons la proposition $P$ par l'absurde.
Étape 1 : Énoncer la proposition à démontrer.
La proposition $P$ est : "Pour tout entier naturel $n$, si $n^2$ est un multiple de $3$, alors $n$ est un multiple de $3$".Étape 2 : Supposer la négation de la proposition.
Supposons par l'absurde que $\neg P$ est vraie. C'est-à-dire, supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $n^2$ est un multiple de $3$ et $n$ n'est pas un multiple de $3$.Si $n$ n'est pas un multiple de $3$, alors $n$ peut s'écrire sous l'une des deux formes suivantes :
- $n = 3k + 1$ pour un certain entier $k \in \mathbb{N}$.
- $n = 3k + 2$ pour un certain entier $k \in \mathbb{N}$.Étape 3 : Développer un raisonnement logique à partir de cette supposition.
Cas 1 : $n = 3k + 1$
Calculons $n^2$ :
$$n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2(3k)(1) + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$$
Dans ce cas, $n^2$ est de la forme $3m + 1$, ce qui signifie que $n^2$ n'est pas un multiple de $3$.Cas 2 : $n = 3k + 2$
Calculons $n^2$ :
$$n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2(3k)(2) + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$$
Dans ce cas également, $n^2$ est de la forme $3m + 1$, ce qui signifie que $n^2$ n'est pas un multiple de $3$.Dans les deux cas où $n$ n'est pas un multiple de $3$, nous avons montré que $n^2$ n'est pas un multiple de $3$.
Étape 4 : Conclure à la contradiction et à la validité de la proposition initiale.
Notre supposition initiale était qu'il existe un entier $n$ tel que $n^2$ est un multiple de $3$ et $n$ n'est pas un multiple de $3$.
Or, nous venons de montrer que si $n$ n'est pas un multiple de $3$, alors $n^2$ n'est pas un multiple de $3$.
Ceci contredit directement la première partie de notre supposition ("$n^2$ est un multiple de $3$").
Nous sommes arrivés à une contradiction. Par conséquent, la supposition $\neg P$ est fausse, et la proposition $P$ est vraie.Conclusion : Pour tout entier naturel $n$, si $n^2$ est un multiple de $3$, alors $n$ est un multiple de $3$.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le raisonnement par l'absurde et la contraposée ?
Quand est-il préférable d'utiliser le raisonnement par l'absurde ?
Est-ce que toutes les démonstrations peuvent être faites par l'absurde ?
Comment s'assurer que la contradiction est valide ?
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