Définition
Le raisonnement par contraposée est une méthode de démonstration qui repose sur le principe logique selon lequel une implication $P \implies Q$ est équivalente à sa contraposée $\neg Q \implies \neg P$. Pour démontrer que $P \implies Q$ est vraie, on démontre que si $Q$ est fausse (c'est-à-dire $\neg Q$ est vraie), alors $P$ est fausse (c'est-à-dire $\neg P$ est vraie).
Méthode — Le raisonnement par contraposée
Identifier l'implication à démontrer
La première étape consiste à bien identifier la proposition $P$ (l'hypothèse) et la proposition $Q$ (la conclusion) de l'implication $P \implies Q$ que l'on souhaite prouver. Par exemple, si l'on veut montrer 'Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair', $P$ est '$n^2$ est pair' et $Q$ est '$n$ est pair'.
Formuler la contraposée
Écrire la contraposée de l'implication $P \implies Q$, qui est $\neg Q \implies \neg P$. Cela signifie qu'il faut exprimer la négation de $Q$ ($\neg Q$) et la négation de $P$ ($\neg P$). Dans l'exemple précédent, $\neg Q$ est '$n$ est impair' et $\neg P$ est '$n^2$ est impair'. La contraposée est donc 'Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair'.
Démontrer la contraposée
Procéder à la démonstration directe de l'implication $\neg Q \implies \neg P$. On suppose que $\neg Q$ est vraie, et on utilise des arguments logiques et des propriétés mathématiques pour en déduire que $\neg P$ est vraie. C'est la partie principale de la démonstration.
Conclure
Puisque la contraposée $\neg Q \implies \neg P$ a été démontrée, et qu'elle est logiquement équivalente à l'implication originale $P \implies Q$, on peut conclure que l'implication $P \implies Q$ est également vraie.
Exemple résolu
Démontrer par contraposée que pour tout entier naturel $n$, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
- $P$ : '$n^2$ est pair'
- $Q$ : '$n$ est pair'
- $\neg Q$ : '$n$ est impair'
- $\neg P$ : '$n^2$ est impair'
Calculons $n^2$ :$$n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 × (2k) × 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$Posons $k' = 2k^2 + 2k$. Puisque $k$ est un entier, $k'$ est aussi un entier. Ainsi, $n^2 = 2k' + 1$.
Par définition, $n^2$ est un nombre impair.
Nous avons démontré par contraposée que pour tout entier naturel $n$, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
⚠️ Confusion entre contraposée et réciproque
- Ne pas confondre la contraposée ($\neg Q \implies \neg P$) avec la réciproque ($Q \implies P$). La réciproque n'est pas logiquement équivalente à l'implication originale.
- Oublier de nier correctement les propositions $P$ et $Q$. Une erreur dans la négation invalide toute la démonstration.
- Tenter de démontrer la contraposée par l'absurde. Bien que le raisonnement par l'absurde soit une autre méthode, la contraposée est une démonstration directe de $\neg Q \implies \neg P$.
Exercice type BAC
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$.
- Calculer $f(1)$ et $f(-2)$.
- Montrer par contraposée que si $x \neq 1$ et $x \neq -2$, alors $f(x) \neq 0$.
- En déduire les racines du polynôme $P(x) = x^3 - 3x + 2$.
- Calcul de $f(1)$ et $f(-2)$ :
- $f(1) = 1^3 - 3 × 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
- $f(-2) = (-2)^3 - 3 × (-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$.
- Démonstration par contraposée :
L'implication à démontrer est $P \implies Q$, où :- $P$ : '$x \neq 1$ et $x \neq -2$'
- $Q$ : '$f(x) \neq 0$'
- $\neg Q$ : '$f(x) = 0$'
- $\neg P$ : '$x = 1$ ou $x = -2$'
Nous savons que $f(1) = 0$ et $f(-2) = 0$. Cela signifie que $1$ et $-2$ sont des racines de $f(x)$.
Puisque $f(x)$ est un polynôme de degré 3, il peut avoir au maximum 3 racines réelles.
On peut factoriser $f(x)$ en utilisant le fait que $1$ et $-2$ sont des racines. Donc $(x-1)$ et $(x-(-2)) = (x+2)$ sont des facteurs de $f(x)$.
Ainsi, $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = (x-1)(x+2)(ax+b)$.
En développant $(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$.
Donc $f(x) = (x^2 + x - 2)(ax+b) = ax^3 + bx^2 + ax^2 + bx - 2ax - 2b = ax^3 + (b+a)x^2 + (b-2a)x - 2b$.
Par identification avec $f(x) = x^3 - 3x + 2$ :- Coefficient de $x^3$ : $a = 1$
- Terme constant : $-2b = 2 \implies b = -1$
- Coefficient de $x^2$ : $b+a = -1+1 = 0$ (correspond à $0x^2$ dans $f(x)$)
- Coefficient de $x$ : $b-2a = -1 - 2(1) = -3$ (correspond à $-3x$ dans $f(x)$)
Si $f(x) = 0$, alors $(x-1)^2(x+2) = 0$. Cela implique $x-1 = 0$ ou $x+2 = 0$.
Donc $x = 1$ ou $x = -2$.
Nous avons démontré que si $f(x) = 0$, alors $x = 1$ ou $x = -2$. La contraposée est vraie.
Par conséquent, l'implication originale 'Si $x \neq 1$ et $x \neq -2$, alors $f(x) \neq 0$' est vraie. - Déduction des racines :
Les racines du polynôme $P(x) = x^3 - 3x + 2$ sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $P(x) = 0$.
D'après la question précédente, nous avons montré que $P(x) = 0$ si et seulement si $x = 1$ ou $x = -2$.
Les racines du polynôme $P(x)$ sont donc $1$ (racine double) et $-2$.
Questions fréquentes
Quand est-il préférable d'utiliser le raisonnement par contraposée ?
Quelle est la différence entre la contraposée et le raisonnement par l'absurde ?
Le raisonnement par l'absurde, pour démontrer $P \implies Q$, consiste à supposer que $P$ est vraie ET que $Q$ est fausse (c'est-à-dire $\neg Q$ est vraie), puis à montrer que cette double hypothèse conduit à une contradiction logique. Les deux méthodes sont distinctes mais peuvent parfois être utilisées pour des problèmes similaires.
Peut-on toujours utiliser la contraposée ?
Comment bien formuler la négation d'une proposition complexe ?
- $\neg(A \text{ et } B)$ est équivalent à $\neg A \text{ ou } \neg B$ (lois de De Morgan).
- $\neg(A \text{ ou } B)$ est équivalent à $\neg A \text{ et } \neg B$ (lois de De Morgan).
- $\neg(\forall x, P(x))$ est équivalent à $\exists x, \neg P(x)$.
- $\neg(\exists x, P(x))$ est équivalent à $\forall x, \neg P(x)$.
- $\neg(a < b)$ est équivalent à $a \geq b$.
Pour aller plus loin
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