Calcul d'aire entre deux courbes (méthode complète) – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a;b]$ telles que pour tout $x \in [a;b]$, $f(x) \geq g(x)$. L'aire $\mathcal{A}$ de la surface délimitée par les courbes représentatives de $f$ et $g$, et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$, est donnée par l'intégrale : $$\mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$$ L'unité d'aire (u.a.) est celle du repère. Si $f(x) \leq g(x)$ sur $[a;b]$, alors l'aire est $\int_a^b (g(x) - f(x))\,dx = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$.

💡 Bon réflexe : Toujours commencer par visualiser la situation (même mentalement ou avec un rapide croquis) pour identifier les bornes et la position relative des courbes, puis vérifier le signe de l'intégrande avant de calculer l'intégrale.

Méthode — Calcul d'aire entre deux courbes (méthode complète)

Étape 1 : Identifier les fonctions et l'intervalle d'intégration

Déterminez les expressions des deux fonctions $f(x)$ et $g(x)$. Si l'intervalle $[a;b]$ n'est pas donné explicitement, il faut le trouver en cherchant les points d'intersection des deux courbes, c'est-à-dire en résolvant l'équation $f(x) = g(x)$. Les solutions de cette équation seront les bornes $a$ et $b$ de l'intégrale.

Étape 2 : Déterminer la position relative des courbes

Sur l'intervalle $[a;b]$, il est crucial de savoir quelle fonction est 'au-dessus' de l'autre. Pour cela, étudiez le signe de la différence $f(x) - g(x)$ sur cet intervalle. Si $f(x) - g(x) \geq 0$, alors $f(x) \geq g(x)$. Si $f(x) - g(x) \leq 0$, alors $g(x) \geq f(x)$. Cette étape est essentielle pour définir correctement l'intégrande positive.

Étape 3 : Écrire l'intégrale de l'aire

Une fois la position relative déterminée, formulez l'intégrale. Si $f(x) \geq g(x)$ sur $[a;b]$, l'aire est $\mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$. Si $g(x) \geq f(x)$ sur $[a;b]$, l'aire est $\mathcal{A} = \int_a^b (g(x) - f(x))\,dx$. Dans le cas où la position relative change sur l'intervalle, il faut découper l'intégrale en plusieurs parties.

Étape 4 : Calculer une primitive de l'intégrande

Trouvez une primitive $H(x)$ de la fonction $(f(x) - g(x))$ (ou $(g(x) - f(x))$). Rappelez-vous les règles de calcul des primitives des fonctions usuelles et des opérations sur les primitives.

Étape 5 : Appliquer le Théorème Fondamental de l'Analyse

Utilisez le Théorème Fondamental de l'Analyse (ou Théorème de Newton-Leibniz) pour calculer la valeur de l'intégrale : $\int_a^b h(x)\,dx = H(b) - H(a)$. Le résultat obtenu est l'aire en unités d'aire (u.a.).

Exemple résolu

Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2 + 4x$ et $g(x) = x$. Calculer l'aire de la région du plan délimitée par les courbes représentatives de $f$ et $g$.

Étape 1 : Identifier les fonctions et l'intervalle d'intégration

Les fonctions sont $f(x) = -x^2 + 4x$ et $g(x) = x$. Pour trouver l'intervalle d'intégration, nous cherchons les points d'intersection des deux courbes en résolvant $f(x) = g(x)$. $$-x^2 + 4x = x$$ $$-x^2 + 3x = 0$$ $$x(-x + 3) = 0$$ Les solutions sont $x=0$ et $x=3$. L'intervalle d'intégration est donc $[0;3]$. Ainsi, $a=0$ et $b=3$.

Étape 2 : Déterminer la position relative des courbes

Nous étudions le signe de la différence $d(x) = f(x) - g(x)$ sur l'intervalle $[0;3]$. $$d(x) = (-x^2 + 4x) - x = -x^2 + 3x$$ Nous avons déjà factorisé $d(x) = x(-x + 3)$. Sur l'intervalle $[0;3]$ : - $x \geq 0$ - $-x + 3 \geq 0 \iff 3 \geq x \iff x \leq 3$ Donc, pour tout $x \in [0;3]$, $x \geq 0$ et $-x+3 \geq 0$. Par conséquent, leur produit $d(x) = x(-x+3) \geq 0$. Cela signifie que $f(x) - g(x) \geq 0$, donc $f(x) \geq g(x)$ sur l'intervalle $[0;3]$. La courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$.

Étape 3 : Écrire l'intégrale de l'aire

Puisque $f(x) \geq g(x)$ sur $[0;3]$, l'aire $\mathcal{A}$ est donnée par : $$\mathcal{A} = \int_0^3 (f(x) - g(x))\,dx = \int_0^3 (-x^2 + 3x)\,dx$$

Étape 4 : Calculer une primitive de l'intégrande

Soit $h(x) = -x^2 + 3x$. Une primitive $H(x)$ de $h(x)$ est : $$H(x) = -\frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\frac{x^{1+1}}{1+1} = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}$$

Étape 5 : Appliquer le Théorème Fondamental de l'Analyse

Nous calculons $H(3) - H(0)$ : $$H(3) = -\frac{3^3}{3} + \frac{3 × 3^2}{2} = -\frac{27}{3} + \frac{3 × 9}{2} = -9 + \frac{27}{2} = -\frac{18}{2} + \frac{27}{2} = \frac{9}{2}$$ $$H(0) = -\frac{0^3}{3} + \frac{3 × 0^2}{2} = 0$$ Donc, l'aire $\mathcal{A}$ est : $$\mathcal{A} = H(3) - H(0) = \frac{9}{2} - 0 = \frac{9}{2}$$

L'aire de la région délimitée par les courbes des fonctions $f$ et $g$ est $\frac{9}{2}$ unités d'aire.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli de la valeur absolue

Ne pas étudier la position relative des courbes : il est impératif de déterminer quelle fonction est supérieure à l'autre sur l'intervalle d'intégration. L'intégrale doit toujours être celle d'une fonction positive pour représenter une aire.
Oublier que l'aire est toujours positive : si le calcul de l'intégrale donne un résultat négatif, c'est qu'une erreur a été commise dans la détermination de la fonction 'supérieure' ou dans le calcul de la primitive.
Confondre l'intégrale d'une fonction avec l'aire sous sa courbe : l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ représente l'aire algébrique. Pour l'aire géométrique, il faut s'assurer que l'intégrande est positive, d'où l'importance de $\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$ ou de découper l'intervalle.

Exercice type BAC

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x$ et $g(x) = e^{-x}$.

Déterminer les coordonnées du point d'intersection des courbes représentatives de $f$ et $g$.
Étudier la position relative des courbes de $f$ et $g$ sur l'intervalle $[0; \ln(2)]$.
Calculer l'aire, en unités d'aire, de la région du plan délimitée par les courbes de $f$ et $g$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln(2)$.

Déterminer les coordonnées du point d'intersection :
Pour trouver les points d'intersection, on résout l'équation $f(x) = g(x)$ :
$$e^x = e^{-x}$$
En multipliant par $e^x$ (qui est non nul) :
$$e^x × e^x = e^{-x} × e^x$$$$e^{2x} = e^0$$$$e^{2x} = 1$$
Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante, on a :
$$2x = 0$$$$x = 0$$
L'ordonnée du point d'intersection est $f(0) = e^0 = 1$ (ou $g(0) = e^{-0} = 1$).
Le seul point d'intersection est $(0;1)$.
Étudier la position relative des courbes sur l'intervalle $[0; \ln(2)]$ :
On étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) - g(x)$ sur $[0; \ln(2)]$ :
$$d(x) = e^x - e^{-x}$$
Pour $x \in [0; \ln(2)]$ :
- $e^x$ est une fonction croissante. Pour $x \geq 0$, $e^x \geq e^0 = 1$.
- $e^{-x}$ est une fonction décroissante. Pour $x \geq 0$, $e^{-x} \leq e^0 = 1$.
Donc, pour $x \in [0; \ln(2)]$, $e^x \geq 1$ et $e^{-x} \leq 1$. Il s'ensuit que $e^x \geq e^{-x}$ pour $x \geq 0$.
Plus rigoureusement, on peut étudier la dérivée de $d(x)$ ou simplement remarquer que $e^x$ est croissante et $e^{-x}$ est décroissante. Pour $x > 0$, $e^x > 1$ et $e^{-x} < 1$, donc $e^x - e^{-x} > 0$.
Ainsi, pour tout $x \in [0; \ln(2)]$, $f(x) \geq g(x)$. La courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ sur cet intervalle.
Calculer l'aire de la région :
L'intervalle d'intégration est $[0; \ln(2)]$ (de l'axe des ordonnées $x=0$ à la droite $x=\ln(2)$). Puisque $f(x) \geq g(x)$ sur cet intervalle, l'aire $\mathcal{A}$ est donnée par :
$$\mathcal{A} = \int_0^{\ln(2)} (f(x) - g(x))\,dx = \int_0^{\ln(2)} (e^x - e^{-x})\,dx$$
On cherche une primitive de $h(x) = e^x - e^{-x}$. Une primitive $H(x)$ est :
$$H(x) = e^x - (-e^{-x}) = e^x + e^{-x}$$
Maintenant, on applique le Théorème Fondamental de l'Analyse :
$$\mathcal{A} = H(\ln(2)) - H(0)$$$$\mathcal{A} = (e^{\ln(2)} + e^{-\ln(2)}) - (e^0 + e^{-0})$$$$\mathcal{A} = (2 + e^{\ln(2^{-1})}) - (1 + 1)$$$$\mathcal{A} = (2 + 2^{-1}) - 2$$$$\mathcal{A} = (2 + \frac{1}{2}) - 2$$$$\mathcal{A} = \frac{5}{2} - 2$$$$\mathcal{A} = \frac{5}{2} - \frac{4}{2}$$$$\mathcal{A} = \frac{1}{2}$$
L'aire de la région est $\frac{1}{2}$ unité d'aire.

Questions fréquentes

Que faire si les courbes se croisent plusieurs fois sur l'intervalle donné ?

Si les courbes se croisent plusieurs fois sur l'intervalle $[a;b]$, il faut découper l'intégrale en plusieurs sous-intervalles. Sur chaque sous-intervalle, vous déterminez quelle fonction est supérieure à l'autre et vous calculez l'intégrale de la différence positive. L'aire totale sera la somme de ces aires positives. Par exemple, si $f(x) \geq g(x)$ sur $[a;c]$ et $g(x) \geq f(x)$ sur $[c;b]$, alors l'aire est $\int_a^c (f(x) - g(x))\,dx + \int_c^b (g(x) - f(x))\,dx$.

L'unité d'aire est-elle toujours $1$ ?

Non, l'unité d'aire (u.a.) dépend des unités choisies pour les axes du repère. Si le repère est orthonormé et que l'unité graphique est de $1$ cm sur chaque axe, alors $1$ u.a. $= 1 \text{ cm}^2$. Si l'unité sur l'axe des abscisses est $u_x$ et sur l'axe des ordonnées est $u_y$, alors $1$ u.a. $= u_x × u_y$. Il est important de préciser 'unités d'aire' dans le résultat final, sauf si les unités sont explicitement données et demandées.

Comment calculer une primitive d'une fonction complexe ?

Pour des fonctions plus complexes, il faut maîtriser les techniques de calcul de primitives : les primitives des fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, logarithmes, trigonométriques), les règles de linéarité ($\int (u+v) = \int u + \int v$, $\int ku = k\int u$), et parfois la reconnaissance de la forme $u'u^n$ ou $u'e^u$. La méthode d'intégration par parties est au programme de Terminale Spécialité et peut être nécessaire pour certaines fonctions produits.

Peut-on utiliser une calculatrice pour vérifier le résultat ?

Oui, la plupart des calculatrices graphiques permettent de calculer des intégrales définies. C'est un excellent moyen de vérifier votre résultat final. Cependant, le détail du calcul de la primitive et l'application du théorème fondamental de l'analyse sont généralement attendus dans la rédaction de la solution au BAC.

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