Définition
L'intégration par parties est une technique de calcul d'intégrales qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en une autre intégrale, souvent plus simple à calculer. Elle est basée sur la formule de dérivation d'un produit de fonctions. Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a, b]$ et si leurs dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur cet intervalle, alors la formule d'intégration par parties est : $$\int_a^b u'(t)v(t)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u(t)v'(t)\,dt$$ ou de manière équivalente : $$\int_a^b u(t)v'(t)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\,dt$$
Méthode — Intégration par parties : méthode et exemples
Identifier les fonctions $u(t)$ et $v'(t)$
Le choix des fonctions $u(t)$ et $v'(t)$ est crucial. L'objectif est que $\int u'(t)v(t)\,dt$ soit plus simple à calculer que $\int u(t)v'(t)\,dt$. En général, on choisit $u(t)$ comme la fonction qui se simplifie par dérivation (par exemple, un polynôme, $\ln(t)$) et $v'(t)$ comme la fonction dont on sait facilement trouver une primitive (par exemple, $e^t$, $\cos(t)$, $\sin(t)$).
Calculer $u'(t)$ et $v(t)$
Une fois $u(t)$ et $v'(t)$ identifiées, il faut calculer la dérivée de $u(t)$, notée $u'(t)$, et une primitive de $v'(t)$, notée $v(t)$. Il est important de ne pas oublier la constante d'intégration pour $v(t)$ si l'on travaille avec des intégrales indéfinies, mais pour les intégrales définies, on peut choisir n'importe quelle primitive (souvent celle dont la constante est nulle).
Appliquer la formule d'intégration par parties
Substituer $u(t)$, $v(t)$, $u'(t)$ et $v'(t)$ dans la formule : $$\int_a^b u(t)v'(t)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\,dt$$ Le terme $[u(t)v(t)]_a^b$ se calcule comme $u(b)v(b) - u(a)v(a)$.
Calculer la nouvelle intégrale
La dernière étape consiste à calculer la nouvelle intégrale $\int_a^b u'(t)v(t)\,dt$. Si cette intégrale est encore trop complexe, une deuxième intégration par parties peut être nécessaire, ou il faut revoir le choix initial de $u(t)$ et $v'(t)$.
Exemple résolu
Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 t e^t \,dt$.
Ainsi, $u(t) = t$ et $v'(t) = e^t$.
Trouvons une primitive de $v'(t)$ : $v(t) = e^t$ (on choisit la primitive avec la constante nulle).
En substituant nos fonctions et les bornes $a=0$, $b=1$ :
$$I = [t e^t]_0^1 - \int_0^1 1 \times e^t \,dt$$
Calculons le terme $[t e^t]_0^1$:
$$(1 \times e^1) - (0 \times e^0) = e - 0 = e$$
Donc, $I = e - \int_0^1 e^t \,dt$.
Une primitive de $e^t$ est $e^t$.
$$\int_0^1 e^t \,dt = [e^t]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$$
En combinant les résultats, on obtient : $$I = e - (e - 1) = e - e + 1 = 1$$
Ainsi, $\int_0^1 t e^t \,dt = 1$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Mauvais choix de $u$ et $v'$
- Inverser $u(t)$ et $v'(t)$ peut rendre la nouvelle intégrale plus complexe. Par exemple, si on avait choisi $u(t) = e^t$ et $v'(t) = t$ dans l'exemple, on aurait dû calculer $\int e^t \frac{t^2}{2}\,dt$, ce qui est plus difficile.
- Oublier d'évaluer le terme $[u(t)v(t)]_a^b$ aux bornes de l'intégrale. C'est une erreur courante qui conduit à un résultat incorrect.
- Faire une erreur de signe lors de l'application de la formule. La formule est $... - \int ...$, le signe moins est important.
Exercice type BAC
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x+1)e^{-x}$.
- Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
- En déduire une primitive $F$ de la fonction $g(x) = -x e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.
- À l'aide d'une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l'intégrale $J = \int_0^2 x e^{-x}\,dx$.
Calcul de la dérivée $f'(x)$ :
La fonction $f(x) = (x+1)e^{-x}$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = x+1$ et $v(x) = e^{-x}$.
On a $u'(x) = 1$ et $v'(x) = -e^{-x}$.
La formule de dérivation d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$.
Donc $f'(x) = 1 \times e^{-x} + (x+1) \times (-e^{-x})$
$f'(x) = e^{-x} - (x+1)e^{-x}$
$f'(x) = e^{-x} (1 - (x+1))$
$f'(x) = e^{-x} (1 - x - 1)$
$f'(x) = -x e^{-x}$.
Déduction d'une primitive de $g(x) = -x e^{-x}$ :
D'après la question précédente, nous avons montré que $f'(x) = -x e^{-x}$.
Par définition, si $f'(x) = g(x)$, alors $f(x)$ est une primitive de $g(x)$.
Donc, une primitive $F$ de $g(x) = -x e^{-x}$ est $F(x) = (x+1)e^{-x}$.
Calcul de l'intégrale $J = \int_0^2 x e^{-x}\,dx$ par intégration par parties :
Nous voulons calculer $J = \int_0^2 x e^{-x}\,dx$.
Nous allons utiliser la formule d'intégration par parties : $\int_a^b u(t)v'(t)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\,dt$.
Choisissons :
- $u(x) = x$ (car sa dérivée est plus simple) $\implies u'(x) = 1$
- $v'(x) = e^{-x}$ (car sa primitive est facile à trouver) $\implies v(x) = -e^{-x}$
Appliquons la formule :
$$J = [x(-e^{-x})]_0^2 - \int_0^2 1 \times (-e^{-x})\,dx$$
$$J = [-x e^{-x}]_0^2 - \int_0^2 -e^{-x}\,dx$$
Calculons le premier terme :
$$[-x e^{-x}]_0^2 = (-2 e^{-2}) - (0 \times e^{-0}) = -2e^{-2} - 0 = -2e^{-2}$$
Calculons la nouvelle intégrale :
$$ - \int_0^2 -e^{-x}\,dx = \int_0^2 e^{-x}\,dx$$
Une primitive de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$.
$$\int_0^2 e^{-x}\,dx = [-e^{-x}]_0^2 = (-e^{-2}) - (-e^{-0}) = -e^{-2} - (-1) = 1 - e^{-2}$$
En combinant les deux parties :
$$J = -2e^{-2} + (1 - e^{-2})$$
$$J = 1 - 3e^{-2}$$
La valeur exacte de l'intégrale est $J = 1 - 3e^{-2}$.
Questions fréquentes
Quand faut-il utiliser l'intégration par parties ?
Comment choisir $u(t)$ et $v'(t)$ ?
Peut-on faire plusieurs intégrations par parties ?
La formule d'intégration par parties est-elle fournie au BAC ?
Pour aller plus loin
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