Inégalités d'intégrales : comparaison et encadrement – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \leq b$, et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a, b]$.

Si $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in [a, b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$.
Si $f(x) \leq g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$.
Si $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x \in [a, b]$, où $m$ et $M$ sont des constantes réelles, alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$. C'est l'inégalité de la moyenne.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier la continuité de la fonction et l'ordre des bornes d'intégration ($a \leq b$) avant d'appliquer les inégalités.

Méthode — Inégalités d'intégrales : comparaison et encadrement

Étape 1 : Identifier la relation d'ordre entre les fonctions ou les bornes

Avant d'appliquer une inégalité d'intégrale, il est crucial de bien comprendre la relation entre les fonctions à intégrer ou les bornes de l'intégrale. S'agit-il de comparer deux fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $[a, b]$ (c'est-à-dire $f(x) \leq g(x)$ ou $f(x) \geq g(x)$) ou d'encadrer une seule fonction $f$ par des constantes $m$ et $M$ ($m \leq f(x) \leq M$) ?

Étape 2 : Vérifier les conditions d'application des théorèmes

Les fonctions $f$ et $g$ doivent être continues sur l'intervalle d'intégration $[a, b]$. De plus, l'ordre des bornes doit être respecté : $a \leq b$. Si $b < a$, il faut utiliser la propriété $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$ pour se ramener à un intervalle où la borne inférieure est plus petite que la borne supérieure.

Étape 3 : Appliquer l'inégalité appropriée

Pour comparer deux intégrales : Si $f(x) \leq g(x)$ sur $[a, b]$ avec $a \leq b$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$.
Pour encadrer une intégrale (inégalité de la moyenne) : Si $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a, b]$ avec $a \leq b$, alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$.
Pour le signe d'une intégrale : Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a \leq b$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$.

Étape 4 : Justifier les inégalités utilisées

Pour justifier que $f(x) \leq g(x)$ ou $m \leq f(x) \leq M$, on peut étudier le signe de la différence $g(x) - f(x)$, ou étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[a, b]$ pour trouver ses bornes (minimum $m$ et maximum $M$). Une fois l'inégalité sur les fonctions établie, l'application de la propriété d'intégration doit être clairement énoncée.

Exemple résolu

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-x^2}$.

1. Montrer que pour tout $x \in [0, 1]$, $e^{-1} \leq e^{-x^2} \leq 1$.

2. En déduire un encadrement de l'intégrale $I = \int_0^1 e^{-x^2}\,dx$.

1. Étude de la fonction $f(x) = e^{-x^2}$ sur l'intervalle $[0, 1]$ pour établir l'encadrement.

La fonction $f(x) = e^{-x^2}$ est une composée de fonctions. Soit $u(x) = -x^2$. La fonction $u$ est décroissante sur $[0, 1]$ car sa dérivée $u'(x) = -2x$ est négative sur cet intervalle. La fonction exponentielle $x \mapsto e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Par composition, la fonction $f(x) = e^{u(x)}$ est décroissante sur $[0, 1]$ car $u$ est décroissante et l'exponentielle est croissante. Donc, pour tout $x \in [0, 1]$ : $0 \leq x \leq 1 \implies 0 \leq x^2 \leq 1 \implies -1 \leq -x^2 \leq 0$. Comme la fonction exponentielle est croissante, on a : $e^{-1} \leq e^{-x^2} \leq e^0$. Ce qui donne $e^{-1} \leq e^{-x^2} \leq 1$ pour tout $x \in [0, 1]$. On a bien $m = e^{-1}$ et $M = 1$.

2. Application de l'inégalité de la moyenne pour encadrer l'intégrale $I = \int_0^1 e^{-x^2}\,dx$.

On a montré que pour tout $x \in [0, 1]$, $e^{-1} \leq e^{-x^2} \leq 1$. La fonction $f(x) = e^{-x^2}$ est continue sur $[0, 1]$. L'intervalle d'intégration est $[a, b] = [0, 1]$, donc $b-a = 1-0 = 1$. En appliquant l'inégalité de la moyenne, on obtient : $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$ $e^{-1} \times (1-0) \leq \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \leq 1 \times (1-0)$ $e^{-1} \leq \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \leq 1$.

Ainsi, un encadrement de l'intégrale $I = \int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ est :

$$e^{-1} \leq I \leq 1$$

Soit environ $0,368 \leq I \leq 1$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Ordre des bornes et signe de $b-a$

Oublier de vérifier que $a \leq b$. Si $b < a$, il faut utiliser $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$ et inverser le sens des inégalités si nécessaire, ou bien le facteur $(b-a)$ sera négatif et inversera les inégalités.
Ne pas justifier la continuité des fonctions sur l'intervalle d'intégration. Bien que souvent implicite pour les fonctions usuelles, c'est une condition fondamentale.
Confondre l'encadrement de la fonction avec l'encadrement de l'intégrale. L'inégalité de la moyenne multiplie les bornes par $(b-a)$.
Faire des erreurs dans l'étude des variations de la fonction pour trouver ses bornes $m$ et $M$ sur l'intervalle donné.

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{1}{1+e^x}$.

Montrer que pour tout $x \in [0, 1]$, on a $e^0 \leq e^x \leq e^1$.
En déduire que pour tout $x \in [0, 1]$, on a $\frac{1}{1+e} \leq f(x) \leq \frac{1}{2}$.
À l'aide des questions précédentes, donner un encadrement de l'intégrale $J = \int_0^1 \frac{1}{1+e^x}\,dx$.

Pour tout $x \in [0, 1]$ :
La fonction exponentielle $x \mapsto e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Donc, si $0 \leq x \leq 1$, alors $e^0 \leq e^x \leq e^1$.
Ce qui donne $1 \leq e^x \leq e$.
Pour tout $x \in [0, 1]$ :
D'après la question 1, on a $1 \leq e^x \leq e$.
En ajoutant 1 à chaque membre de l'inégalité, on obtient :
$1+1 \leq 1+e^x \leq 1+e$
$2 \leq 1+e^x \leq 1+e$.
La fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$. Puisque $1+e^x > 0$, on peut appliquer la fonction inverse en inversant le sens des inégalités :
$\frac{1}{1+e} \leq \frac{1}{1+e^x} \leq \frac{1}{2}$.
Donc, pour tout $x \in [0, 1]$, on a bien $\frac{1}{1+e} \leq f(x) \leq \frac{1}{2}$.
La fonction $f(x) = \frac{1}{1+e^x}$ est continue sur l'intervalle $[0, 1]$ (car $1+e^x \neq 0$ pour tout $x$).
D'après la question 2, pour tout $x \in [0, 1]$, on a $\frac{1}{1+e} \leq f(x) \leq \frac{1}{2}$.
L'intervalle d'intégration est $[a, b] = [0, 1]$, donc $b-a = 1-0 = 1$.
En appliquant l'inégalité de la moyenne :
$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$
$\frac{1}{1+e} \times (1-0) \leq \int_0^1 \frac{1}{1+e^x}\,dx \leq \frac{1}{2} \times (1-0)$
$\frac{1}{1+e} \leq J \leq \frac{1}{2}$.
Un encadrement de l'intégrale $J$ est donc $\frac{1}{1+e} \leq J \leq \frac{1}{2}$.

Questions fréquentes

Quand utilise-t-on l'inégalité de la moyenne plutôt que la comparaison simple ?

L'inégalité de la moyenne est utilisée pour encadrer une intégrale par des valeurs numériques, en connaissant les bornes (minimum $m$ et maximum $M$) de la fonction sur l'intervalle d'intégration. La comparaison simple est utilisée pour comparer deux intégrales entre elles, ou pour déterminer le signe d'une intégrale si la fonction est toujours positive ou négative.

Est-il toujours nécessaire de trouver le minimum et le maximum exacts de la fonction pour l'inégalité de la moyenne ?

Non, il n'est pas toujours nécessaire de trouver le minimum et le maximum exacts. Il suffit de trouver des constantes $m$ et $M$ telles que $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x$ dans l'intervalle. Cependant, plus $m$ est proche du minimum et $M$ du maximum, plus l'encadrement de l'intégrale sera précis.

Que se passe-t-il si la fonction n'est pas continue sur l'intervalle ?

Les propriétés de comparaison et d'encadrement des intégrales reposent sur la continuité des fonctions sur l'intervalle d'intégration. Si la fonction n'est pas continue, ces théorèmes ne s'appliquent pas directement. Il faudrait alors étudier la nature de la discontinuité (intégrale généralisée, etc.), ce qui dépasse le cadre du programme de Terminale Spécialité.

Peut-on utiliser ces inégalités pour des intégrales avec des bornes infinies ?

Non, les inégalités d'intégrales telles qu'enseignées en Terminale Spécialité s'appliquent uniquement aux intégrales définies sur un intervalle fermé et borné $[a, b]$. Les intégrales avec des bornes infinies sont appelées intégrales généralisées et nécessitent des outils d'analyse plus avancés.

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