Dérivée d'une fonction composée f(g(x)) – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur des intervalles appropriés. La dérivée de la fonction composée $f(x) = u(v(x))$ est donnée par la formule $f'(x) = u'(v(x)) × v'(x)$. Cette règle est fondamentale pour dériver des fonctions complexes construites à partir de fonctions plus simples.

💡 Bon réflexe : Toujours identifier clairement les fonctions intérieure et extérieure, dériver chacune séparément, puis appliquer la formule $u'(v(x)) × v'(x)$ sans oublier le facteur $v'(x)$.

Méthode — Dérivée d\'une fonction composée $f(g(x))$

Identifier les fonctions composantes

Pour une fonction $f(x)$ de la forme $u(v(x))$, il faut d'abord identifier clairement la fonction 'extérieure' $u$ et la fonction 'intérieure' $v$. Souvent, $v(x)$ est l'expression à l'intérieur d'une autre fonction, par exemple $v(x) = ax+b$ ou $v(x) = x^2+1$.

Dériver chaque fonction composante séparément

Calculez la dérivée de la fonction extérieure $u$, notée $u'$, et la dérivée de la fonction intérieure $v$, notée $v'$. N'oubliez pas que $u'$ sera une fonction de $v(x)$.

Appliquer la formule de dérivation des fonctions composées

Utilisez la formule $f'(x) = u'(v(x)) × v'(x)$. Cela signifie que vous remplacez $x$ par $v(x)$ dans l'expression de $u'(x)$, puis vous multipliez le tout par $v'(x)$.

Simplifier l'expression obtenue

Après avoir appliqué la formule, simplifiez l'expression de $f'(x)$ autant que possible pour obtenir une forme finale claire et concise.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x^2 - 2x + 1)^4$. Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.

Identifier les fonctions composantes $u$ et $v$

La fonction $f(x)$ est de la forme $u(v(x))$ où :
$v(x) = 3x^2 - 2x + 1$
$u(y) = y^4$

Dériver chaque fonction composante séparément

Dérivée de $v(x)$ : $v'(x) = 3 × (2x) - 2 × 1 + 0 = 6x - 2$
Dérivée de $u(y)$ : $u'(y) = 4y^3$

Appliquer la formule $f'(x) = u'(v(x)) × v'(x)$

On remplace $y$ par $v(x)$ dans $u'(y)$ : $u'(v(x)) = 4(3x^2 - 2x + 1)^3$
On multiplie par $v'(x)$ : $f'(x) = 4(3x^2 - 2x + 1)^3 × (6x - 2)$

Simplifier l'expression obtenue

On peut factoriser $2$ dans $(6x - 2)$ : $6x - 2 = 2(3x - 1)$.
Donc $f'(x) = 4(3x^2 - 2x + 1)^3 × 2(3x - 1)$
$f'(x) = 8(3x - 1)(3x^2 - 2x + 1)^3$

La dérivée de la fonction $f(x) = (3x^2 - 2x + 1)^4$ est $f'(x) = 8(3x - 1)(3x^2 - 2x + 1)^3$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli du $v'(x)$

Oublier de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure $v'(x)$. C'est l'erreur la plus courante et elle conduit à un résultat faux.
Confondre $u'(v(x))$ avec $u'(x)$ ou $u'(y)$. Il faut bien évaluer la dérivée de la fonction extérieure en la fonction intérieure $v(x)$.
Erreurs de calcul lors de la dérivation de $u(y)$ ou $v(x)$, notamment avec les puissances ou les signes.

Exercice type BAC

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{x^2 - 3x + 2}$.

Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'$ de $f$.
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Détermination de $f'(x)$ :
La fonction $f(x) = \text{e}^{x^2 - 3x + 2}$ est de la forme $\text{e}^{v(x)}$ où $v(x) = x^2 - 3x + 2$.
On a $u(y) = \text{e}^y$, donc $u'(y) = \text{e}^y$.
La dérivée de $v(x)$ est $v'(x) = 2x - 3$.
En utilisant la formule de dérivation des fonctions composées $(u(v(x)))' = u'(v(x)) × v'(x)$, on obtient :
$f'(x) = \text{e}^{x^2 - 3x + 2} × (2x - 3)$
Étude du signe de $f'(x)$ :
Pour étudier le signe de $f'(x)$, on étudie le signe de chaque facteur :
- Le facteur $\text{e}^{x^2 - 3x + 2}$ est toujours strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$ car la fonction exponentielle est toujours positive.
- Le facteur $(2x - 3)$ est un polynôme du premier degré. Il est positif si $2x - 3 > 0$, c'est-à-dire $2x > 3$, soit $x > \frac{3}{2}$. Il est négatif si $x < \frac{3}{2}$ et nul si $x = \frac{3}{2}$.
On peut résumer le signe de $f'(x)$ dans un tableau :
$x$ $-\infty$ $\frac{3}{2}$ $+\infty$
Signe de $2x - 3$ $-$ $0$ $+$
Signe de $\text{e}^{x^2 - 3x + 2}$ $+$ $+$ $+$
Signe de $f'(x)$ $-$ $0$ $+$
Déduction des variations de $f$ :
D'après le signe de $f'(x)$ :
- Si $f'(x) < 0$ sur $]-\infty; \frac{3}{2}[$, alors $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
- Si $f'(x) > 0$ sur $]\frac{3}{2}; +\infty[$, alors $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
- Si $f'(x) = 0$ en $x = \frac{3}{2}$, alors $f$ admet un extremum local en ce point.
La fonction $f$ admet donc un minimum local en $x = \frac{3}{2}$.
$f(\frac{3}{2}) = \text{e}^{(\frac{3}{2})^2 - 3(\frac{3}{2}) + 2} = \text{e}^{\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2} = \text{e}^{\frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{8}{4}} = \text{e}^{-\frac{1}{4}}$
Tableau de variations de $f$ :
$x$ $-\infty$ $\frac{3}{2}$ $+\infty$
Signe de $f'(x)$ $-$ $0$ $+$
Variations de $f$ $\searrow$ $\text{e}^{-\frac{1}{4}}$ $\nearrow$

$x$	$-\infty$	$\frac{3}{2}$	$+\infty$
Signe de $2x - 3$	$-$	$0$	$+$
Signe de $\text{e}^{x^2 - 3x + 2}$	$+$	$+$	$+$
Signe de $f'(x)$	$-$	$0$	$+$

$x$	$-\infty$	$\frac{3}{2}$	$+\infty$
Signe de $f'(x)$	$-$	$0$	$+$
Variations de $f$	$\searrow$	$\text{e}^{-\frac{1}{4}}$	$\nearrow$

Questions fréquentes

Quand utilise-t-on la formule de dérivation des fonctions composées ?

On l'utilise dès qu'une fonction est 'emboîtée' dans une autre, c'est-à-dire quand on a une expression de la forme $u(v(x))$. Par exemple, $\sin(2x+1)$, $\sqrt{x^2+1}$, $\ln(x^3)$, $\text{e}^{-x}$, $(f(x))^n$ sont toutes des fonctions composées.

Y a-t-il des cas particuliers à connaître ?

Oui, plusieurs formes sont très courantes et découlent de cette règle :
- $(\text{e}^{v(x)})' = v'(x)\text{e}^{v(x)}$
- $(\ln(v(x)))' = \frac{v'(x)}{v(x)}$ (pour $v(x) > 0$)
- $((v(x))^n)' = n(v(x))^{n-1} × v'(x)$
- $(\sqrt{v(x)})' = \frac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}$ (pour $v(x) > 0$)

Comment ne pas confondre $u'(v(x))$ et $u'(x)$ ?

Pensez à $u(y)$ comme une fonction de la variable $y$. Quand vous calculez $u'(y)$, vous obtenez une expression en $y$. Ensuite, pour $u'(v(x))$, vous remplacez simplement $y$ par l'expression $v(x)$. Par exemple, si $u(y) = y^3$, alors $u'(y) = 3y^2$. Donc $u'(v(x)) = 3(v(x))^2$ et non $3x^2$.

Cette règle est-elle démontrable au niveau Terminale ?

La démonstration formelle de la dérivée d'une fonction composée est généralement hors programme en Terminale. Cependant, il est important de comprendre son application et les cas particuliers. La démonstration repose sur la définition de la dérivée et le taux d'accroissement.

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