Dérivée de [f(x)]^n et 1/f(x) – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $n$ un entier relatif non nul. La dérivée de la fonction $u \mapsto u^n$ est $u'u^{n-1}$ et la dérivée de la fonction $u \mapsto \frac{1}{u}$ est $-\frac{u'}{u^2}$. Plus généralement, la dérivée de la fonction $u \mapsto \frac{1}{u^n}$ est $-\frac{nu'}{u^{n+1}}$.

💡 Bon réflexe : Avant de dériver, réécris toujours les fractions et les racines sous forme de puissances pour simplifier l'application des formules.

Méthode — Dérivée de $[f(x)]^n$ et $\frac{1}{f(x)}$

Identifier la forme de la fonction

Déterminer si la fonction est de la forme $u^n$ ou $\frac{1}{u}$ (ou $\frac{1}{u^n}$). Pour cela, il faut identifier la fonction $u(x)$ et l'exposant $n$ (qui peut être $1$ pour $\frac{1}{u}$). Rappelez-vous que $\frac{1}{u(x)}$ peut s'écrire $u(x)^{-1}$.

Dériver la fonction $u(x)$

Calculer la dérivée $u'(x)$ de la fonction $u(x)$ identifiée à l'étape précédente. Cette étape peut nécessiter l'application d'autres règles de dérivation (somme, produit, quotient, etc.).

Appliquer la formule de dérivation appropriée

Si la fonction est de la forme $f(x) = [u(x)]^n$ avec $n \in \mathbb{Z}^*$, sa dérivée est $f'(x) = n × u'(x) × [u(x)]^{n-1}$. Si la fonction est de la forme $f(x) = \frac{1}{u(x)}$, sa dérivée est $f'(x) = -\frac{u'(x)}{[u(x)]^2}$. Notez que la seconde formule est un cas particulier de la première avec $n=-1$ : $f(x) = [u(x)]^{-1}$, donc $f'(x) = (-1) × u'(x) × [u(x)]^{-1-1} = -u'(x) × [u(x)]^{-2} = -\frac{u'(x)}{[u(x)]^2}$.

Simplifier l'expression obtenue

Après avoir appliqué la formule, simplifier l'expression de la dérivée autant que possible. Cela peut inclure la mise au même dénominateur, la factorisation ou la réduction de termes.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $]1; +\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{(x^2 - 1)^3}$. Déterminer l'expression de sa dérivée $f'(x)$.

Identifier la forme de la fonction

La fonction $f(x) = \frac{1}{(x^2 - 1)^3}$ est de la forme $\frac{1}{u(x)^n}$. On peut aussi l'écrire sous la forme $[u(x)]^{-n}$.
Ici, $u(x) = x^2 - 1$ et $n = 3$. Donc $f(x) = (x^2 - 1)^{-3}$.

Dériver la fonction $u(x)$

La fonction $u(x) = x^2 - 1$ est une somme de fonctions dérivables. Sa dérivée est $u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(1) = 2x - 0 = 2x$.

Appliquer la formule de dérivation appropriée

On utilise la formule de dérivation pour $[u(x)]^n$, qui est $n × u'(x) × [u(x)]^{n-1}$.
Dans notre cas, $n = -3$, $u(x) = x^2 - 1$ et $u'(x) = 2x$.
Donc, $f'(x) = (-3) × (2x) × (x^2 - 1)^{-3-1}$
$f'(x) = -6x × (x^2 - 1)^{-4}$.

Simplifier l'expression obtenue

On réécrit l'expression avec un exposant positif pour simplifier la lecture :
$f'(x) = -6x × \frac{1}{(x^2 - 1)^4}$
$f'(x) = \frac{-6x}{(x^2 - 1)^4}$.

La dérivée de la fonction $f(x) = \frac{1}{(x^2 - 1)^3}$ est $f'(x) = \frac{-6x}{(x^2 - 1)^4}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli du $u'(x)$

Oublier de multiplier par $u'(x)$ lors de l'application de la formule. Par exemple, dériver $(2x+1)^3$ en $3(2x+1)^2$ au lieu de $3 × 2 × (2x+1)^2 = 6(2x+1)^2$.
Confondre la dérivée de $u^n$ avec celle de $x^n$. La formule $nx^{n-1}$ est pour $x^n$, pas pour une fonction composée $u(x)^n$.
Erreur de signe lors de la dérivation de $\frac{1}{u(x)}$ : la dérivée est $-\frac{u'(x)}{u(x)^2}$, le signe moins est crucial.
Ne pas vérifier le domaine de dérivabilité de la fonction $u(x)$ (en particulier pour $\frac{1}{u(x)}$, $u(x)$ ne doit pas s'annuler).

Exercice type BAC

Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{x^2} - \frac{3}{\sqrt{x}} + (2x-1)^4$.

Écrire la fonction $f(x)$ sous la forme d'une somme de puissances de $x$ et d'une puissance d'une fonction composée.
Déterminer l'expression de la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
Calculer $f'(1)$.

Écrire la fonction $f(x)$ sous la forme d'une somme de puissances de $x$ et d'une puissance d'une fonction composée.
On a $f(x) = \frac{1}{x^2} - \frac{3}{\sqrt{x}} + (2x-1)^4$.
On sait que $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
On sait que $\sqrt{x} = x^{1/2}$, donc $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.
Ainsi, $f(x) = x^{-2} - 3x^{-1/2} + (2x-1)^4$.
Déterminer l'expression de la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
La fonction $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0; +\infty[$. Sa dérivée est la somme des dérivées.
- Pour $x^{-2}$ : C'est de la forme $x^n$ avec $n=-2$. La dérivée est $-2x^{-2-1} = -2x^{-3}$.
- Pour $-3x^{-1/2}$ : C'est de la forme $c × x^n$ avec $c=-3$ et $n=-1/2$. La dérivée est $-3 × (-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} = \frac{3}{2}x^{-3/2}$.
- Pour $(2x-1)^4$ : C'est de la forme $[u(x)]^n$ avec $u(x) = 2x-1$ et $n=4$.
  On a $u'(x) = 2$.
  La dérivée est $n × u'(x) × [u(x)]^{n-1} = 4 × 2 × (2x-1)^{4-1} = 8(2x-1)^3$.
En combinant ces résultats, on obtient :
$f'(x) = -2x^{-3} + \frac{3}{2}x^{-3/2} + 8(2x-1)^3$.
On peut réécrire avec des exposants positifs :
$f'(x) = -\frac{2}{x^3} + \frac{3}{2\sqrt{x^3}} + 8(2x-1)^3$.
Calculer $f'(1)$.
On remplace $x$ par $1$ dans l'expression de $f'(x)$ :
$f'(1) = -2(1)^{-3} + \frac{3}{2}(1)^{-3/2} + 8(2 × 1 - 1)^3$
$f'(1) = -2 × 1 + \frac{3}{2} × 1 + 8(1)^3$
$f'(1) = -2 + \frac{3}{2} + 8$
$f'(1) = 6 + \frac{3}{2}$
$f'(1) = \frac{12}{2} + \frac{3}{2}$
$f'(1) = \frac{15}{2}$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre dériver $x^n$ et $u(x)^n$ ?

La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$. C'est une formule de base. La dérivée de $u(x)^n$ est $n × u'(x) × u(x)^{n-1}$. Il faut multiplier par la dérivée de la fonction 'intérieure' $u(x)$, c'est la règle de dérivation des fonctions composées.

Peut-on utiliser la formule de $\frac{1}{u}$ pour dériver $\frac{1}{u^n}$ ?

Oui, on peut voir $\frac{1}{u^n}$ comme $u^{-n}$. En appliquant la formule de dérivation de $u^k$ avec $k=-n$, on obtient $(-n) × u' × u^{-n-1} = -n \frac{u'}{u^{n+1}}$. C'est plus direct que d'utiliser la formule du quotient $\left(\frac{v}{w}\right)' = \frac{v'w - vw'}{w^2}$.

Comment dériver une fonction avec une racine carrée au dénominateur, comme $\frac{1}{\sqrt{f(x)}}$ ?

On réécrit $\frac{1}{\sqrt{f(x)}}$ comme $[f(x)]^{-1/2}$. Ensuite, on applique la formule de dérivation de $u^n$ avec $u(x) = f(x)$ et $n = -1/2$. La dérivée sera $-\frac{1}{2} × f'(x) × [f(x)]^{-3/2} = -\frac{f'(x)}{2[f(x)]^{3/2}} = -\frac{f'(x)}{2f(x)\sqrt{f(x)}}$.

Ces formules sont-elles valables pour tout $n$ entier relatif ?

Oui, la formule de dérivation de $u^n$ est valable pour tout entier relatif $n \neq 0$. Si $n=0$, $u^0=1$ (pour $u \neq 0$), dont la dérivée est $0$. Pour $n=1$, la dérivée de $u$ est $u'$. Pour les exposants rationnels (comme $\sqrt{u} = u^{1/2}$), la formule $n × u' × u^{n-1}$ est également valable, mais cela dépasse légèrement le cadre strict de la question initiale sur les entiers relatifs.

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