Dérivation & Intégration · Fiche N°51 / 110

Primitives de fonctions composées ($f\'\times g \circ f$)

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Si $u$ est une fonction dérivable sur $I$ et $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $J$ tel que $u(I) \subset J$, alors une primitive de la fonction $f \circ u × u'$ (c'est-à-dire $f(u(x)) × u'(x)$) sur $I$ est la fonction $F \circ u$, c'est-à-dire $F(u(x))$. En d'autres termes, $\int f(u(x)) × u'(x) \,dx = F(u(x)) + C$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier votre primitive en la dérivant pour retrouver la fonction de départ.
∫ u′·f(u) dx = F(u) + Csi F est une primitive de f∫ u′eᵘ dx = eᵘ + C∫ u′/u dx = ln|u| + C∫ u′·uⁿ dx = uⁿ⁺¹/(n+1) + Cn ≠ −1

Méthode — Primitives de fonctions composées ($f\'\times g \circ f$)

1

Identifier la forme $f(u(x)) × u'(x)$

La première étape consiste à reconnaître si la fonction à intégrer est de la forme $f(u(x)) × u'(x)$. Pour cela, il faut identifier une fonction $u(x)$ et sa dérivée $u'(x)$ qui apparaissent dans l'expression, ainsi qu'une fonction $f$ dont on connaît une primitive $F$.

2

Déterminer $u(x)$ et $u'(x)$

Choisissez une partie de l'expression comme étant $u(x)$. Calculez ensuite sa dérivée $u'(x)$. Si $u'(x)$ apparaît (éventuellement à un facteur constant près) dans l'expression, c'est un bon candidat. Si ce n'est pas le cas, essayez une autre fonction $u(x)$.

3

Déterminer $f(X)$ et sa primitive $F(X)$

Une fois $u(x)$ et $u'(x)$ identifiés, l'expression restante (après avoir éventuellement ajusté un facteur constant) doit correspondre à $f(u(x))$. Il faut alors déterminer la fonction $f(X)$ (où $X$ est une variable muette) et trouver une primitive $F(X)$ de $f(X)$.

4

Appliquer la formule et vérifier

La primitive de $f(u(x)) × u'(x)$ est $F(u(x)) + C$. Il est crucial de vérifier le résultat en dérivant $F(u(x))$ pour s'assurer que l'on retrouve bien la fonction de départ. N'oubliez pas la constante d'intégration $C$.

Exemple résolu

Déterminer une primitive de la fonction $g(x) = (2x+1)e^{x^2+x}$ sur $\mathbb{R}$.

1
Identifier la forme $f(u(x)) × u'(x)$
La fonction $g(x)$ est un produit de deux termes : $(2x+1)$ et $e^{x^2+x}$. L'exponentielle suggère que $u(x)$ pourrait être l'exposant.
2
Déterminer $u(x)$ et $u'(x)$
Posons $u(x) = x^2+x$. Alors $u'(x) = 2x+1$. On remarque que $u'(x)$ est exactement le premier facteur de $g(x)$. Donc $g(x)$ est de la forme $e^{u(x)} × u'(x)$.
3
Déterminer $f(X)$ et sa primitive $F(X)$
Ici, $f(u(x)) = e^{u(x)}$. Donc $f(X) = e^X$. Une primitive de $f(X) = e^X$ est $F(X) = e^X$.
4
Appliquer la formule et vérifier
En utilisant la formule $\int f(u(x)) × u'(x) \,dx = F(u(x)) + C$, on obtient :
$\int (2x+1)e^{x^2+x} \,dx = e^{x^2+x} + C$.
Vérification : Dérivons $F(x) = e^{x^2+x}$. En posant $u(x) = x^2+x$, on a $F(x) = e^{u(x)}$. La dérivée de $e^{u(x)}$ est $u'(x)e^{u(x)}$.
Donc $F'(x) = (2x+1)e^{x^2+x}$, ce qui correspond bien à $g(x)$.

Une primitive de la fonction $g(x) = (2x+1)e^{x^2+x}$ est $G(x) = e^{x^2+x} + C$, où $C$ est une constante réelle.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli du facteur constant

  1. Ne pas ajuster le facteur constant : Si vous avez $\int u'(x)f(u(x)) \,dx$ mais que votre expression est $k × u'(x)f(u(x))$, n'oubliez pas le $k$ dans la primitive. Par exemple, pour $\int 2x e^{x^2} \,dx$, si $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$, alors $f(X)=e^X$, et la primitive est $e^{x^2}$. Mais pour $\int x e^{x^2} \,dx$, on a $x = \frac{1}{2} × 2x$, donc la primitive est $\frac{1}{2}e^{x^2}$.
  2. Confondre $u(x)$ et $u'(x)$ : Assurez-vous que le terme que vous identifiez comme $u'(x)$ est bien la dérivée de $u(x)$ et non l'inverse ou une autre fonction.
  3. Oublier la constante d'intégration $C$ : Pour une primitive générale, la constante $C$ est indispensable. Elle peut être déterminée si une condition initiale est donnée (par exemple, $F(a)=b$).
  4. Ne pas vérifier le résultat : La dérivation est l'opération inverse de l'intégration. Dériver votre primitive pour retrouver la fonction initiale est la meilleure façon de s'assurer de l'exactitude de votre réponse.

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x}{(x^2+1)^2}$.

  1. Montrer que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $k × u'(x) × (u(x))^n$, où $u(x)$ est une fonction à déterminer, $u'(x)$ sa dérivée, $n$ un entier relatif et $k$ une constante réelle.
  2. En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  3. Déterminer la primitive $G$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ telle que $G(0) = 1$.

  1. On cherche à écrire $f(x) = \frac{x}{(x^2+1)^2}$ sous la forme $k × u'(x) × (u(x))^n$.

    Observons le dénominateur $(x^2+1)^2$. Il est tentant de poser $u(x) = x^2+1$.

    Si $u(x) = x^2+1$, alors $u'(x) = 2x$.

    La fonction $f(x)$ peut être réécrite comme $f(x) = x × (x^2+1)^{-2}$.

    On a $x = \frac{1}{2} × (2x)$.

    Donc $f(x) = \frac{1}{2} × (2x) × (x^2+1)^{-2}$.

    Ainsi, $f(x) = \frac{1}{2} × u'(x) × (u(x))^{-2}$.

    On a donc $u(x) = x^2+1$, $u'(x) = 2x$, $n = -2$ et $k = \frac{1}{2}$.

  2. Nous avons identifié $f(x) = \frac{1}{2} × u'(x) × (u(x))^{-2}$.

    Nous cherchons une primitive de la forme $k × u'(x) × (u(x))^n$. Une primitive de $u'(x) × (u(x))^n$ pour $n \neq -1$ est $\frac{(u(x))^{n+1}}{n+1}$.

    Ici, $n = -2$, donc $n+1 = -1$.

    Une primitive de $u'(x) × (u(x))^{-2}$ est $\frac{(u(x))^{-2+1}}{-2+1} = \frac{(u(x))^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u(x)}$.

    Puisque $k = \frac{1}{2}$, une primitive $F$ de $f$ est $F(x) = \frac{1}{2} × \left(-\frac{1}{u(x)}\right) + C = -\frac{1}{2(x^2+1)} + C$, où $C$ est une constante réelle.

  3. Nous cherchons la primitive $G$ de $f$ telle que $G(0) = 1$.

    Nous avons $G(x) = -\frac{1}{2(x^2+1)} + C$.

    Utilisons la condition $G(0) = 1$ :

    $G(0) = -\frac{1}{2(0^2+1)} + C = 1$

    $-\frac{1}{2(1)} + C = 1$

    $-\frac{1}{2} + C = 1$

    $C = 1 + \frac{1}{2}$

    $C = \frac{3}{2}$

    Donc, la primitive $G$ de $f$ telle que $G(0) = 1$ est $G(x) = -\frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{3}{2}$.

Questions fréquentes

Comment reconnaître qu'il faut utiliser la formule des fonctions composées pour les primitives ?
Cette formule est souvent utile lorsque la fonction à intégrer est un produit de deux fonctions, et que l'une d'elles est la dérivée (ou un multiple de la dérivée) de l'argument de l'autre. Par exemple, si vous voyez $u'(x)$ multiplié par une fonction de $u(x)$, comme $u'(x)e^{u(x)}$, $u'(x)\cos(u(x))$, ou $u'(x)(u(x))^n$.
Quelles sont les primitives usuelles à connaître pour cette méthode ?
Il est essentiel de connaître les primitives de base : $\int e^X \,dX = e^X$, $\int \cos(X) \,dX = \sin(X)$, $\int \sin(X) \,dX = -\cos(X)$, $\int X^n \,dX = \frac{X^{n+1}}{n+1}$ (pour $n \neq -1$), et $\int \frac{1}{X} \,dX = \ln|X|$. Ces formes de $f(X)$ sont les plus courantes.
Que faire si $u'(x)$ n'apparaît pas exactement, mais à un facteur constant près ?
C'est très courant. Si vous avez $\int k × u'(x) × f(u(x)) \,dx$, la primitive sera $k × F(u(x)) + C$. Si vous avez $\int u'(x) × f(u(x)) \,dx$ mais que votre expression est $g(x) = u'(x) × f(u(x))$, et que vous avez un facteur constant $a$ en trop ou en moins, vous pouvez écrire $g(x) = \frac{1}{a} × (a × u'(x)) × f(u(x))$ ou $g(x) = a × (\frac{1}{a} × u'(x)) × f(u(x))$ pour ajuster.
Cette méthode s'applique-t-elle aussi aux intégrales définies ?
Oui, absolument. Pour une intégrale définie $\int_a^b f(u(x)) × u'(x) \,dx$, on calcule d'abord la primitive $F(u(x))$, puis on applique le théorème fondamental de l'analyse : $[F(u(x))]_a^b = F(u(b)) - F(u(a))$. La constante $C$ s'annule dans ce cas.

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