Primitives : tableau fondamental et propriétés – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si, pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des fonctions de la forme $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle arbitraire.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier sa primitive en la dérivant, et ne jamais oublier la constante $C$ pour une primitive générale.

Méthode — Primitives : tableau fondamental et propriétés

Identifier la forme de la fonction $f(x)$

Avant de chercher une primitive, il est essentiel d'analyser la structure de la fonction $f(x)$. Est-ce une fonction usuelle (polynôme, exponentielle, trigonométrique) ? Est-ce un produit, un quotient, une composition de fonctions ?

Utiliser le tableau des primitives usuelles

Pour les fonctions simples, on utilise directement le tableau des primitives. Par exemple, une primitive de $x^n$ est $\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ (pour $n \neq -1$), une primitive de $e^x$ est $e^x$, une primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$.

Appliquer les propriétés de linéarité

Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ est une primitive de $g$ sur $I$, et si $k$ est un réel, alors :

Une primitive de $f+g$ est $F+G$.
Une primitive de $k \times f$ est $k \times F$.

Ces propriétés permettent de traiter les sommes et les produits par une constante.

Reconnaître les formes $u'u^n$, $u'e^u$, $u'/u$, $u'\cos(u)$, $u'\sin(u)$

Pour les fonctions composées, il faut souvent identifier une forme $u'u^n$, $u'e^u$, $u'/u$, $u'\cos(u)$, $u'\sin(u)$, etc. dont on connaît une primitive. Par exemple, une primitive de $u'(x)e^{u(x)}$ est $e^{u(x)}$, et une primitive de $u'(x)u^n(x)$ est $\frac{1}{n+1}u^{n+1}(x)$ (pour $n \neq -1$). Il est parfois nécessaire de multiplier ou diviser par une constante pour faire apparaître la forme $u'$.

Déterminer la constante d'intégration $C$ (si nécessaire)

Si une condition initiale est donnée (par exemple $F(x_0) = y_0$), on utilise cette condition pour trouver la valeur de la constante $C$. On remplace $x$ par $x_0$ et $F(x)$ par $y_0$ dans l'expression de la primitive $F(x) + C$ et on résout l'équation pour $C$.

Exemple résolu

Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x+1)e^{x^2+x}$ telle que $F(0) = 1$.

Identifier la forme de la fonction $f(x)$.

La fonction $f(x) = (2x+1)e^{x^2+x}$ est un produit de fonctions. On remarque qu'elle ressemble à la forme $u'e^u$. Posons $u(x) = x^2+x$. Alors $u'(x) = 2x+1$.
Ainsi, $f(x)$ est de la forme $u'(x)e^{u(x)}$.

Appliquer la règle de primitivation pour la forme $u'e^u$.

On sait qu'une primitive de $u'(x)e^{u(x)}$ est $e^{u(x)}$.
Donc, une primitive de $f(x) = (2x+1)e^{x^2+x}$ est $F(x) = e^{x^2+x} + C$, où $C$ est une constante réelle.

Utiliser la condition initiale pour déterminer la constante $C$.

On nous donne la condition $F(0) = 1$.
On remplace $x$ par $0$ dans l'expression de $F(x)$ :
$F(0) = e^{0^2+0} + C = e^0 + C = 1 + C$.
Puisque $F(0) = 1$, on a $1 + C = 1$, ce qui implique $C = 0$.

Écrire l'expression finale de la primitive $F(x)$.

En remplaçant $C$ par $0$, on obtient l'expression de la primitive $F(x)$ qui satisfait la condition donnée.

La primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=1$ est $F(x) = e^{x^2+x}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli de la constante et confusion

Oublier d'ajouter la constante d'intégration $C$ lors de la recherche d'une primitive générale. C'est une erreur fréquente qui coûte des points.
Confondre primitive et dérivée : bien vérifier que la dérivée de la primitive trouvée redonne la fonction initiale.
Ne pas identifier correctement la forme $u'u^n$, $u'e^u$, etc. et tenter d'appliquer des règles incorrectes (par exemple, chercher une primitive de $uv$ comme $UV$).
Erreurs de calcul avec les signes ou les coefficients lors de l'ajustement pour obtenir la forme $u'$.

Exercice type BAC

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x-1)^2 + \frac{2}{2x+3} + \cos(4x)$.

Déterminer une primitive $F_1$ de la fonction $g(x) = (3x-1)^2$ sur $\mathbb{R}$.
Déterminer une primitive $F_2$ de la fonction $h(x) = \frac{2}{2x+3}$ sur $]-\frac{3}{2};+\infty[$.
En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]-\frac{3}{2};+\infty[$.

Pour déterminer une primitive de $g(x) = (3x-1)^2$ :
On reconnaît la forme $u'u^n$ avec $u(x) = 3x-1$ et $n=2$. Alors $u'(x) = 3$.
La fonction $g(x)$ peut s'écrire $g(x) = \frac{1}{3} \times 3 \times (3x-1)^2 = \frac{1}{3} u'(x) u^2(x)$.
Une primitive de $u'u^n$ est $\frac{1}{n+1}u^{n+1}$.
Donc, une primitive $F_1(x)$ de $g(x)$ est $F_1(x) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2+1}(3x-1)^{2+1} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}(3x-1)^3 = \frac{1}{9}(3x-1)^3$.
Pour déterminer une primitive de $h(x) = \frac{2}{2x+3}$ :
On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u(x) = 2x+3$. Alors $u'(x) = 2$.
La fonction $h(x)$ est directement de la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$.
Une primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln(|u|)$. Puisque nous sommes sur $]-\frac{3}{2};+\infty[$, $2x+3 > 0$, donc $|2x+3| = 2x+3$.
Donc, une primitive $F_2(x)$ de $h(x)$ est $F_2(x) = \ln(2x+3)$.
Pour en déduire une primitive $F$ de $f$ :
La fonction $f(x)$ est la somme de trois termes : $f(x) = (3x-1)^2 + \frac{2}{2x+3} + \cos(4x)$.
Nous avons déjà trouvé des primitives pour les deux premiers termes. Il reste à trouver une primitive pour $\cos(4x)$.
Pour $\cos(4x)$, on reconnaît la forme $u'\cos(u)$ avec $u(x) = 4x$. Alors $u'(x) = 4$.
On peut écrire $\cos(4x) = \frac{1}{4} \times 4 \times \cos(4x) = \frac{1}{4} u'(x) \cos(u(x))$.
Une primitive de $u'\cos(u)$ est $\sin(u)$.
Donc, une primitive de $\cos(4x)$ est $\frac{1}{4}\sin(4x)$.
Par linéarité, une primitive $F(x)$ de $f(x)$ est la somme des primitives de chaque terme :
$F(x) = F_1(x) + F_2(x) + \frac{1}{4}\sin(4x) + C$
$F(x) = \frac{1}{9}(3x-1)^3 + \ln(2x+3) + \frac{1}{4}\sin(4x) + C$, où $C$ est une constante réelle.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une primitive et une intégrale ?

Une primitive est une fonction dont la dérivée est la fonction donnée. Il y a une infinité de primitives pour une fonction donnée (différant par une constante). Une intégrale définie (par exemple $\int_a^b f(x)\,dx$) est un nombre qui représente l'aire sous la courbe de la fonction $f$ entre $a$ et $b$. Le Théorème Fondamental de l'Analyse relie les deux : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, où $F$ est n'importe quelle primitive de $f$.

Pourquoi y a-t-il toujours une constante $C$ dans les primitives ?

La dérivée d'une constante est toujours zéro. Donc, si $F'(x) = f(x)$, alors $(F(x)+C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$. Cela signifie que toutes les fonctions de la forme $F(x)+C$ sont des primitives de $f$. La constante $C$ est déterminée si une condition initiale (un point par lequel la primitive doit passer) est donnée.

Comment vérifier si ma primitive est correcte ?

Pour vérifier si une primitive $F(x)$ est correcte, il suffit de la dériver. Si $F'(x)$ est égale à la fonction initiale $f(x)$, alors votre primitive est correcte (à une constante près).

Existe-t-il toujours une primitive pour toute fonction ?

Non, pas pour toute fonction. Cependant, le Théorème Fondamental de l'Analyse garantit que toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur cet intervalle. En Terminale, toutes les fonctions que vous étudierez seront continues sur les intervalles considérés, donc elles admettront des primitives.

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