Définition
La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$. Sa dérivée est donc elle-même : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $(e^x)' = e^x$.
Méthode — Dérivée de $e^x$ : variations et représentation graphique
Calculer la dérivée de fonctions composées avec $e^x$
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $e^u$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est donnée par la formule $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$. Il est crucial d'identifier correctement la fonction $u(x)$.
Étudier le signe de la dérivée
La fonction exponentielle $e^x$ est strictement positive pour tout $x \in \mathbb{R}$. Par conséquent, le signe de la dérivée $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ est le même que le signe de $u'(x)$. Il suffit donc d'étudier le signe de $u'(x)$.
Déduire les variations de la fonction
En utilisant le théorème de la monotonie, si la dérivée $f'(x)$ est positive sur un intervalle, alors la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle. Si $f'(x)$ est négative, $f$ est décroissante. Si $f'(x)$ est nulle, $f$ est constante.
Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition
Pour la fonction $e^x$, on a $\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x\to-\infty} e^x = 0$. Pour des fonctions composées, il faut utiliser les règles de composition des limites. Par exemple, $\lim_{x\to+\infty} e^{-x} = \lim_{X\to-\infty} e^X = 0$ en posant $X = -x$.
Exemple résolu
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x-1)e^{-x}$. Étudier les variations de la fonction $f$ et déterminer ses limites aux bornes de son ensemble de définition.
On a $u'(x) = 2$.
Pour $v(x) = e^{-x}$, on utilise la formule $(e^{g(x)})' = g'(x)e^{g(x)}$ avec $g(x) = -x$, donc $g'(x) = -1$. Ainsi, $v'(x) = -e^{-x}$.
La formule de dérivation d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$.
Donc $f'(x) = 2e^{-x} + (2x-1)(-e^{-x}) = 2e^{-x} - (2x-1)e^{-x}$.
On factorise par $e^{-x}$ : $f'(x) = e^{-x}(2 - (2x-1)) = e^{-x}(2 - 2x + 1) = e^{-x}(3 - 2x)$.
Ainsi, $f'(x) = (3 - 2x)e^{-x}$.
Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $3 - 2x$.
$3 - 2x > 0 \iff 3 > 2x \iff x < \frac{3}{2}$.
$3 - 2x < 0 \iff 3 < 2x \iff x > \frac{3}{2}$.
$3 - 2x = 0 \iff x = \frac{3}{2}$.
Sur $]\frac{3}{2}; +\infty[$, $f'(x) < 0$, donc $f$ est strictement décroissante.
En $x = \frac{3}{2}$, $f$ admet un maximum local. Le maximum est $f(\frac{3}{2}) = (2 × \frac{3}{2} - 1)e^{-\frac{3}{2}} = (3-1)e^{-\frac{3}{2}} = 2e^{-\frac{3}{2}}$.
$\lim_{x\to-\infty} (2x-1) = -\infty$.
$\lim_{x\to-\infty} e^{-x} = +\infty$ (car $\lim_{X\to+\infty} e^X = +\infty$ en posant $X=-x$).
Par produit, $\lim_{x\to-\infty} f(x) = (-\infty) × (+\infty) = -\infty$.
En $+\infty$ :
$f(x) = (2x-1)e^{-x} = 2xe^{-x} - e^{-x}$.
On sait que $\lim_{x\to+\infty} e^{-x} = 0$.
On utilise la limite de croissance comparée : $\lim_{x\to+\infty} xe^{-x} = 0$.
Donc $\lim_{x\to+\infty} 2xe^{-x} = 0$.
Par somme, $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0 - 0 = 0$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty; \frac{3}{2}]$ et strictement décroissante sur $[\frac{3}{2}; +\infty[$. Elle admet un maximum en $x = \frac{3}{2}$ de valeur $2e^{-\frac{3}{2}}$. Les limites sont $\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli des règles de dérivation
- Oublier d'appliquer la règle de dérivation en chaîne pour $e^{u(x)}$, en écrivant $(e^{u(x)})' = e^{u(x)}$ au lieu de $u'(x)e^{u(x)}$.
- Confondre la dérivée d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec celle d'un quotient ou d'une somme.
- Ne pas factoriser la dérivée pour en étudier le signe, ce qui rend l'analyse plus complexe ou erronée.
Exercice type BAC
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 e^{1-x}$.
- Calculer la dérivée $g'(x)$ de la fonction $g$.
- Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $g$.
- Déterminer les limites de $g(x)$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
Calcul de la dérivée $g'(x)$ :
La fonction $g$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = x^2$ et $v(x) = e^{1-x}$.
On a $u'(x) = 2x$.
Pour $v(x) = e^{1-x}$, on utilise la formule $(e^{h(x)})' = h'(x)e^{h(x)}$ avec $h(x) = 1-x$, donc $h'(x) = -1$. Ainsi, $v'(x) = -e^{1-x}$.
En utilisant la formule $(uv)' = u'v + uv'$ :
$g'(x) = (2x)e^{1-x} + x^2(-e^{1-x})$
$g'(x) = 2xe^{1-x} - x^2e^{1-x}$
On factorise par $xe^{1-x}$ :
$g'(x) = xe^{1-x}(2 - x)$.
Étude du signe de $g'(x)$ et tableau de variations :
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^{1-x} > 0$.
Le signe de $g'(x)$ dépend donc du signe de $x(2-x)$.
- $x > 0$ pour $x \in ]0; +\infty[$
- $2-x > 0 \iff 2 > x \iff x \in ]-\infty; 2[$
On construit un tableau de signes :
$x$ $-\infty$ $0$ $2$ $+\infty$ $x$ $-$ $0$ $+$ $+$ $2-x$ $+$ $+$ $0$ $-$ $g'(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ Variations de $g$ $\searrow$ $\nearrow$ $\searrow$ La fonction $g$ est décroissante sur $]-\infty; 0]$ et sur $[2; +\infty[$. Elle est croissante sur $[0; 2]$.
Minimum local en $x=0$: $g(0) = 0^2 e^{1-0} = 0$.
Maximum local en $x=2$: $g(2) = 2^2 e^{1-2} = 4e^{-1} = \frac{4}{e}$.
Détermination des limites :
En $-\infty$ :
$\lim_{x\to-\infty} x^2 = +\infty$.
$\lim_{x\to-\infty} (1-x) = +\infty$, donc $\lim_{x\to-\infty} e^{1-x} = +\infty$.
Par produit, $\lim_{x\to-\infty} g(x) = (+\infty) × (+\infty) = +\infty$.
En $+\infty$ :
$g(x) = x^2 e^{1-x} = x^2 e^1 e^{-x} = e \frac{x^2}{e^x}$.
On utilise la limite de croissance comparée : $\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
Donc $\lim_{x\to+\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$.
Par conséquent, $\lim_{x\to+\infty} g(x) = e × 0 = 0$.
Questions fréquentes
Pourquoi la dérivée de $e^x$ est-elle $e^x$ ?
Comment dériver une fonction du type $e^{ax+b}$ ?
La fonction exponentielle peut-elle être négative ?
Quelles sont les limites importantes de la fonction exponentielle ?
Pour aller plus loin
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