Limites de e^x en ±∞ et croissances comparées – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, est la fonction réciproque du logarithme népérien. Elle est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, et vérifie $e^0 = 1$ et $e^1 = e$. Sa dérivée est elle-même : $(e^x)' = e^x$. Ses limites aux bornes de son ensemble de définition sont $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

💡 Bon réflexe : Face à une limite avec $e^x$ et des polynômes, toujours penser aux croissances comparées et à la factorisation pour lever les formes indéterminées.

Méthode — Limites de $e^x$ en $\pm\infty$ et croissances comparées

Identifier la forme de la limite

Avant tout calcul, il est crucial d'identifier la forme de la limite. Si elle est de la forme $e^x$ avec $x \to +\infty$ ou $x \to -\infty$, les limites directes s'appliquent. Si elle est de la forme $e^{u(x)}$ où $u(x)$ tend vers une limite connue, on utilise la composition de fonctions. Si elle est de la forme $x^n e^x$ ou $\frac{e^x}{x^n}$ avec $n \in \mathbb{N}^*$, on est dans un cas de croissance comparée.

Appliquer les limites usuelles de $e^x$

Pour les cas simples :
- Si $x \to +\infty$, alors $e^x \to +\infty$.
- Si $x \to -\infty$, alors $e^x \to 0$.
Pour une fonction composée $e^{u(x)}$ :
- Si $\lim_{x \to a} u(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to a} e^{u(x)} = +\infty$.
- Si $\lim_{x \to a} u(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to a} e^{u(x)} = 0$.
- Si $\lim_{x \to a} u(x) = L$ (réel), alors $\lim_{x \to a} e^{u(x)} = e^L$ (par continuité de la fonction exponentielle).

Utiliser les croissances comparées

Les croissances comparées permettent de lever certaines formes indéterminées ($0 \times \infty$ ou $\frac{\infty}{\infty}$). Pour tout entier naturel $n \geq 1$ :
- En $+\infty$ : la fonction exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$.
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$
- En $-\infty$ : la fonction exponentielle tend vers 0 plus rapidement que toute puissance de $x$ ne tend vers l'infini.
$$\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$$
Ces limites sont fondamentales et doivent être connues par cœur.

Transformer l'expression si nécessaire

Si l'expression ne correspond pas directement à une forme de croissance comparée, il peut être nécessaire de la transformer par factorisation, changement de variable ou manipulation algébrique. Par exemple, pour calculer $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x)$, on peut factoriser par $e^x$ : $e^x(1 - \frac{x}{e^x})$. On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{x}{e^x}) = 1$. Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} e^x(1 - \frac{x}{e^x}) = +\infty \times 1 = +\infty$.

Exemple résolu

Calculer les limites suivantes :
1. $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - e^x)$
2. $\lim_{x \to -\infty} (x^3 e^x + 2x)$
3. $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{x^3}$

Calcul de $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - e^x)$

On a $\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$. La limite est de la forme indéterminée $$\infty - \infty$$.
Pour lever l'indétermination, on factorise par le terme dominant, qui est $e^x$ d'après les croissances comparées :
$$x^2 - e^x = e^x \left( \frac{x^2}{e^x} - 1 \right)$$
On sait que, par croissance comparée, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty$, donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$.
Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{e^x} - 1 \right) = 0 - 1 = -1$.
Comme $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$, on a finalement :
$$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - e^x) = +\infty \times (-1) = -\infty$$

Calcul de $\lim_{x \to -\infty} (x^3 e^x + 2x)$

On a $\lim_{x \to -\infty} x^3 e^x$. C'est une forme de croissance comparée. Pour tout $n \geq 1$, $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$. Donc, $\lim_{x \to -\infty} x^3 e^x = 0$.
On a aussi $\lim_{x \to -\infty} 2x = -\infty$.
Par somme des limites :
$$\lim_{x \to -\infty} (x^3 e^x + 2x) = 0 + (-\infty) = -\infty$$

Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{x^3}$

On a une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. Pour utiliser la croissance comparée $\lim_{X \to +\infty} \frac{e^X}{X^n} = +\infty$, on doit faire un changement de variable. Posons $X = 2x$.
Lorsque $x \to +\infty$, $X \to +\infty$.
L'expression devient $\frac{e^X}{(\frac{X}{2})^3} = \frac{e^X}{\frac{X^3}{8}} = 8 \frac{e^X}{X^3}$.
Par croissance comparée, $\lim_{X \to +\infty} \frac{e^X}{X^3} = +\infty$.
Donc :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{x^3} = 8 \times (+\infty) = +\infty$$

Les limites sont :
1. $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - e^x) = -\infty$
2. $\lim_{x \to -\infty} (x^3 e^x + 2x) = -\infty$
3. $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{x^3} = +\infty$

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion des croissances comparées

Ne pas confondre les croissances comparées en $+\infty$ et en $-\infty$. En $+\infty$, $e^x$ l'emporte sur $x^n$. En $-\infty$, $x^n e^x$ tend vers 0.
Oublier de faire un changement de variable lorsque l'exposant de $e$ n'est pas simplement $x$ (ex: $e^{2x}$ ou $e^{-x}$).
Appliquer les croissances comparées sans avoir une forme $0 \times \infty$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ (par exemple, pour $\lim_{x \to +\infty} (e^x + x)$, il n'y a pas d'indétermination, la limite est $+\infty$).
Mal factoriser une expression pour faire apparaître une forme de croissance comparée.

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2 + x + 1)e^{-x}$.

Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x \to +\infty$.
Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x \to -\infty$.
Démontrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = (-x^2 + x)e^{-x}$.

Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x \to +\infty$.
On a $f(x) = (x^2 + x + 1)e^{-x} = \frac{x^2 + x + 1}{e^x}$.
Lorsque $x \to +\infty$ :
- $\lim_{x \to +\infty} (x^2 + x + 1) = +\infty$ (limite d'un polynôme, le terme de plus haut degré l'emporte).
- $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.
On est face à une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. On peut réécrire $f(x)$ en factorisant par $e^x$ au dénominateur et en distribuant $e^{-x}$ :
$$f(x) = x^2 e^{-x} + x e^{-x} + e^{-x}$$
Utilisons les croissances comparées :
- $\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$ (par croissance comparée, $e^x$ l'emporte sur $x^2$).
- $\lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$ (par croissance comparée, $e^x$ l'emporte sur $x$).
- $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$ (car $\lim_{x \to +\infty} (-x) = -\infty$, et $\lim_{X \to -\infty} e^X = 0$).
Par somme des limites :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 + 0 + 0 = 0$$
Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x \to -\infty$.
On a $f(x) = (x^2 + x + 1)e^{-x}$.
Lorsque $x \to -\infty$ :
- $\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x + 1) = +\infty$ (limite d'un polynôme, le terme de plus haut degré $x^2$ l'emporte).
- $\lim_{x \to -\infty} (-x) = +\infty$, donc $\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty$.
Par produit des limites :
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = (+\infty) \times (+\infty) = +\infty$$
Démontrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = (-x^2 + x)e^{-x}$.
La fonction $f$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = x^2 + x + 1$ et $v(x) = e^{-x}$.
On calcule les dérivées :
- $u'(x) = 2x + 1$.
- $v'(x) = -e^{-x}$ (en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées $(e^u)' = u'e^u$ avec $u(x) = -x$, donc $u'(x) = -1$).
La formule de dérivation d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$.
$$f'(x) = (2x + 1)e^{-x} + (x^2 + x + 1)(-e^{-x})$$
Factorisons par $e^{-x}$ :
$$f'(x) = e^{-x} [ (2x + 1) - (x^2 + x + 1) ]$$
$$f'(x) = e^{-x} [ 2x + 1 - x^2 - x - 1 ]$$
$$f'(x) = e^{-x} [ -x^2 + x ]$$
$$f'(x) = (-x^2 + x)e^{-x}$$
La démonstration est faite.

Questions fréquentes

Pourquoi $e^x$ l'emporte sur $x^n$ en $+\infty$ ?

Intuitivement, la fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quelle fonction polynomiale. Mathématiquement, cela se prouve en utilisant la définition de l'exponentielle comme série ou en utilisant des inégalités. Par exemple, pour $x > 0$, $e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$, ce qui permet de montrer que $\frac{e^x}{x^n}$ tend vers $+\infty$.

Comment gérer les limites de $e^{u(x)}$ où $u(x)$ tend vers une constante ?

Si $\lim_{x \to a} u(x) = L$ où $L$ est un nombre réel, alors par continuité de la fonction exponentielle, $\lim_{x \to a} e^{u(x)} = e^L$. Par exemple, $\lim_{x \to 0} e^{2x+1} = e^{2(0)+1} = e^1 = e$.

Y a-t-il des cas où les croissances comparées ne s'appliquent pas directement ?

Oui, par exemple pour des fonctions comme $e^{x^2}$ ou $e^{\sqrt{x}}$. Dans ces cas, il faut souvent utiliser un changement de variable pour se ramener à une forme connue. Par exemple, pour $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x^2}}{x}$, on peut poser $X = x^2$, mais il faut aussi exprimer $x$ en fonction de $X$ ($x = \sqrt{X}$), ce qui donne $\frac{e^X}{\sqrt{X}}$. On peut alors utiliser la croissance comparée $\frac{e^X}{X^n}$ avec $n=1/2$.

Quelle est la différence entre $e^{-x}$ et $-e^x$ ?

$e^{-x}$ est l'inverse de $e^x$, c'est-à-dire $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$. Sa limite en $+\infty$ est $0$ et en $-\infty$ est $+\infty$. La fonction $-e^x$ est l'opposé de $e^x$. Sa limite en $+\infty$ est $-\infty$ et en $-\infty$ est $0$. Ce sont des fonctions très différentes.

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