Colinéarité et coplanarité de vecteurs dans l'espace – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Dans l'espace muni d'un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, des vecteurs sont dits colinéaires s'ils ont la même direction, c'est-à-dire si l'un est un multiple de l'autre. Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont dits coplanaires s'ils sont situés dans un même plan. Cela équivaut à dire que l'un des vecteurs peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des deux autres, ou que leur produit mixte est nul.

💡 Bon réflexe : Pour la colinéarité, vérifie si les coordonnées sont proportionnelles ; pour la coplanarité, utilise le produit mixte pour un calcul rapide et fiable.

Méthode — Colinéarité et coplanarité de vecteurs dans l'espace

Vérifier la colinéarité de deux vecteurs

Soient deux vecteurs $\vec{u}(x; y; z)$ et $\vec{v}(x'; y'; z')$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. Cela se traduit par le système d'équations : $$\begin{cases} x' = kx \ y' = ky \ z' = kz \end{cases}$$ Si $x, y, z$ ne sont pas tous nuls, on peut trouver $k$ en divisant les coordonnées correspondantes. Si un des vecteurs est le vecteur nul, il est colinéaire à tout autre vecteur.

Vérifier la coplanarité de trois vecteurs (méthode 1 : combinaison linéaire)

Soient trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$. Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si l'un d'eux peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des deux autres. C'est-à-dire, s'il existe des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. Cela se traduit par un système de trois équations à deux inconnues $a$ et $b$. Si ce système admet une solution, les vecteurs sont coplanaires.

Vérifier la coplanarité de trois vecteurs (méthode 2 : produit mixte)

Soient trois vecteurs $\vec{u}(x; y; z)$, $\vec{v}(x'; y'; z')$ et $\vec{w}(x''; y''; z'')$. Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul. Le produit mixte est défini par $\vec{u} \cdot (\vec{v} × \vec{w})$. Le calcul du produit mixte peut se faire via le déterminant de la matrice formée par les coordonnées des vecteurs : $$ \text{det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} x & x' & x'' \\ y & y' & y'' \\ z & z' & z'' \end{vmatrix} = x(y'z'' - z'y'') - y(x'z'' - z'x'') + z(x'y'' - y'x'') $$ Si ce déterminant est égal à 0, les vecteurs sont coplanaires.

Vérifier l'alignement de trois points ou la coplanarité de quatre points

Alignement de trois points : Trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Coplanarité de quatre points : Quatre points $A, B, C, D$ sont coplanaires si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ sont coplanaires. On utilise alors l'une des méthodes précédentes pour vérifier la coplanarité des trois vecteurs.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1; 2; 3)$, $B(3; 0; 1)$, $C(0; 1; 2)$ et $D(5; -1; 0)$. 1. Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont-ils colinéaires ? 2. Les points $A, B, C$ sont-ils alignés ? 3. Les points $A, B, C, D$ sont-ils coplanaires ?

Calculer les coordonnées des vecteurs nécessaires.

Coordonnées des vecteurs : $\vec{AB} = (3-1; 0-2; 1-3) = (2; -2; -2)$ $\vec{CD} = (5-0; -1-1; 0-2) = (5; -2; -2)$ $\vec{AC} = (0-1; 1-2; 2-3) = (-1; -1; -1)$ $\vec{AD} = (5-1; -1-2; 0-3) = (4; -3; -3)$

Vérifier la colinéarité de $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$.

Pour que $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ soient colinéaires, il doit exister un réel $k$ tel que $\vec{CD} = k\vec{AB}$. Cela donne le système : $$\begin{cases} 5 = 2k \ -2 = -2k \ -2 = -2k \end{cases}$$ De la deuxième équation, on tire $k = 1$. De la troisième, on tire aussi $k = 1$. Cependant, la première équation donne $k = 5/2$. Puisque $1 \neq 5/2$, il n'existe pas de tel $k$. Donc, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ne sont pas colinéaires.

Vérifier l'alignement des points $A, B, C$.

Les points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. $\vec{AB} = (2; -2; -2)$ et $\vec{AC} = (-1; -1; -1)$. On cherche un réel $k$ tel que $\vec{AB} = k\vec{AC}$. $$\begin{cases} 2 = -k \ -2 = -k \ -2 = -k \end{cases}$$ De la première équation, $k = -2$. De la deuxième, $k = 2$. De la troisième, $k = 2$. Puisque $-2 \neq 2$, il n'existe pas de tel $k$. Donc, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires, et les points $A, B, C$ ne sont pas alignés.

Vérifier la coplanarité des points $A, B, C, D$ en utilisant le produit mixte des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$.

Les points $A, B, C, D$ sont coplanaires si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ sont coplanaires. $\vec{AB} = (2; -2; -2)$ $\vec{AC} = (-1; -1; -1)$ $\vec{AD} = (4; -3; -3)$ Calculons le produit mixte $\text{det}(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ : $$ \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -2 & -1 & -3 \\ -2 & -1 & -3 \end{vmatrix} $$ On remarque que la deuxième et la troisième colonne sont identiques (ou que la deuxième et la troisième ligne sont identiques). Un déterminant ayant deux colonnes (ou deux lignes) identiques est nul. Donc, $\text{det}(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = 0$. Les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ sont coplanaires.

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ne sont pas colinéaires. Les points $A, B, C$ ne sont pas alignés. Les points $A, B, C, D$ sont coplanaires.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion entre colinéarité et coplanarité

Ne pas confondre la colinéarité (deux vecteurs, une seule direction) et la coplanarité (trois vecteurs, dans un même plan).
Oublier de vérifier toutes les coordonnées lors de la recherche du coefficient $k$ pour la colinéarité. Un seul $k$ doit fonctionner pour toutes les coordonnées.
Faire des erreurs de calcul dans le déterminant pour le produit mixte, en particulier les signes des termes.
Tenter de vérifier la coplanarité de trois points : trois points sont toujours coplanaires (ils définissent un plan, sauf s'ils sont alignés). La question de coplanarité n'a de sens qu'à partir de quatre points ou trois vecteurs.

Exercice type BAC

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1; 0; 2)$, $B(3; 2; 0)$, $C(-1; -2; 4)$ et $D(2; 1; 1)$.

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Les points $A, B, C$ sont-ils alignés ?
Les vecteurs $\vec{u}(1; 1; -1)$ et $\vec{v}(-2; -2; 2)$ sont-ils colinéaires ? Justifier.
Les points $A, B, C, D$ sont-ils coplanaires ? Justifier votre réponse par le calcul du produit mixte des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$.

Coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
$\vec{AB} = (3-1; 2-0; 0-2) = (2; 2; -2)$
$\vec{AC} = (-1-1; -2-0; 4-2) = (-2; -2; 2)$
Alignement des points $A, B, C$ :
Les points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. On cherche un réel $k$ tel que $\vec{AC} = k\vec{AB}$.
Cela conduit au système :
$$\begin{cases} -2 = 2k \ -2 = 2k \ 2 = -2k \end{cases}$$
De la première équation, $k = -1$.
De la deuxième équation, $k = -1$.
De la troisième équation, $k = -1$.
Puisque $k = -1$ est une solution commune aux trois équations, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Par conséquent, les points $A, B, C$ sont alignés.
Colinéarité des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :
On a $\vec{u}(1; 1; -1)$ et $\vec{v}(-2; -2; 2)$.
On cherche un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.
Cela conduit au système :
$$\begin{cases} -2 = k × 1 \ -2 = k × 1 \ 2 = k × (-1) \end{cases}$$
De la première équation, $k = -2$.
De la deuxième équation, $k = -2$.
De la troisième équation, $k = -2$.
Puisque $k = -2$ est une solution commune aux trois équations, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
Coplanarité des points $A, B, C, D$ :
Les points $A, B, C, D$ sont coplanaires si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ sont coplanaires.
Nous avons déjà $\vec{AB} = (2; 2; -2)$ et $\vec{AC} = (-2; -2; 2)$.
Calculons les coordonnées de $\vec{AD}$ :
$\vec{AD} = (2-1; 1-0; 1-2) = (1; 1; -1)$
Calculons le produit mixte $\text{det}(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ :
$$\text{det}(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$
On remarque que la première colonne est $(2; 2; -2)$ et la deuxième colonne est $(-2; -2; 2)$. On a $\vec{AC} = -1 × \vec{AB}$.
Puisque les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires (démontré à la question 1), les trois vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ sont coplanaires.
Alternativement, on peut calculer le déterminant :
$$\begin{aligned} \text{det}(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) &= 2((-2) × (-1) - 1 × 2) - (-2)(2 × (-1) - (-2) × 1) + 1(2 × 2 - (-2) × (-2)) \\ &= 2(2 - 2) + 2(-2 - (-2)) + 1(4 - 4) \\ &= 2(0) + 2(0) + 1(0) \\ &= 0 \end{aligned}$$
Le produit mixte est nul, donc les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ sont coplanaires. Par conséquent, les points $A, B, C, D$ sont coplanaires.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre colinéarité et parallélisme ?

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils sont parallèles. Pour des droites, deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Pour des plans, deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Est-ce que trois points sont toujours coplanaires ?

Oui, trois points distincts sont toujours coplanaires. S'ils ne sont pas alignés, ils définissent un plan unique. S'ils sont alignés, ils appartiennent à une infinité de plans. La question de coplanarité n'est pertinente que pour quatre points ou plus, ou pour trois vecteurs.

Quand utilise-t-on la méthode de la combinaison linéaire et quand utilise-t-on le produit mixte pour la coplanarité ?

Les deux méthodes sont valides. La méthode de la combinaison linéaire ($\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$) est souvent plus intuitive pour comprendre la notion de coplanarité. La méthode du produit mixte (déterminant nul) est généralement plus rapide et systématique pour les calculs, surtout si les coordonnées sont simples ou si l'on maîtrise bien le calcul de déterminants $3 × 3$.

Peut-on utiliser le produit scalaire pour la colinéarité ou la coplanarité ?

Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est utile pour déterminer l'orthogonalité de vecteurs (si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux). Il n'est pas directement utilisé pour la colinéarité ou la coplanarité. Cependant, le produit mixte est une combinaison du produit scalaire et du produit vectoriel : $\vec{u} \cdot (\vec{v} × \vec{w})$.

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