Produit scalaire dans l'espace : définition et calcul – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace est un nombre réel. Il peut être défini de plusieurs manières :

Définition géométrique : Si $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AC}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = AB × AC × \cos(\vec{u}, \vec{v})$, où $(\vec{u}, \vec{v})$ est l'angle non orienté entre les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.
Définition avec projection orthogonale : Si $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AC}$, et si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$. Si $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont de même sens, $\vec{u} \cdot \vec{v} = AB × AH$. S'ils sont de sens opposés, $\vec{u} \cdot \vec{v} = -AB × AH$.
Définition analytique dans un repère orthonormé : Si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.

Le carré scalaire d'un vecteur $\vec{u}$ est $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2$, où $||\vec{u}||$ est la norme (longueur) du vecteur $\vec{u}$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si le repère est orthonormé avant d'appliquer la formule analytique du produit scalaire.

Méthode — Produit scalaire dans l'espace : définition et calcul

Identifier la situation et les informations disponibles

Avant de calculer un produit scalaire, il est crucial de déterminer si vous disposez des coordonnées des vecteurs, de leurs normes et de l'angle entre eux, ou si une projection orthogonale est pertinente. Le choix de la formule dépendra de ces informations.

Appliquer la formule adaptée

Si les coordonnées sont connues dans un repère orthonormé : Utilisez la formule analytique. Si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$. C'est souvent la méthode la plus simple si les coordonnées sont données ou faciles à calculer.
Si les normes et l'angle sont connus : Utilisez la formule géométrique. $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| × ||\vec{v}|| × \cos(\vec{u}, \vec{v})$. Cette formule est particulièrement utile dans des configurations géométriques où les longueurs et les angles sont donnés.
Si une projection orthogonale est évidente : Utilisez la formule avec projection. Si $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AC}$, et $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$. Attention au signe selon l'orientation de $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$.

Utiliser les propriétés du produit scalaire

Le produit scalaire est bilinéaire, symétrique et non dégénéré :

Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
Linéarité par rapport à chaque variable : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ pour tout réel $k$.
Orthogonalité : Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Cette propriété est fondamentale pour prouver des perpendicularités.
Identités remarquables : $||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$ et $||\vec{u} - \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v}$.

Vérifier le résultat et l'unité

Le produit scalaire est un scalaire (un nombre réel), il n'a pas d'unité spécifique en géométrie. Vérifiez la cohérence du signe : si l'angle est aigu, le produit scalaire est positif ; s'il est obtus, il est négatif ; s'il est droit, il est nul.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1, 2, 0)$, $B(3, -1, 1)$ et $C(0, 1, 2)$.

Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ et en déduire la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré près.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$. $$\vec{AB} = (3-1, -1-2, 1-0) = (2, -3, 1)$$ Les coordonnées du vecteur $\vec{AC}$ sont $(x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)$. $$\vec{AC} = (0-1, 1-2, 2-0) = (-1, -1, 2)$$

Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ en utilisant la formule analytique.

Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$. $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(-1) + (-3)(-1) + (1)(2)$$ $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -2 + 3 + 2 = 3$$

Calculer les normes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

La norme d'un vecteur $\vec{u}(x, y, z)$ est $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. $$||\vec{AB}|| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$$ $$||\vec{AC}|| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$

Utiliser la formule géométrique du produit scalaire pour trouver $\cos(\widehat{BAC})$.

On sait que $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = ||\vec{AB}|| × ||\vec{AC}|| × \cos(\widehat{BAC})$. Donc, $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{||\vec{AB}|| × ||\vec{AC}||}$. $$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{3}{\sqrt{14} × \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}}$$ $$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{3}{2\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{42} = \frac{\sqrt{21}}{14}$$

Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.

En utilisant la fonction arccos (ou $\cos^{-1}$) de la calculatrice : $$\widehat{BAC} = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right)$$ $$\widehat{BAC} \approx \arccos(0.3273) \approx 70.9°$$

Le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ est égal à $3$. L'angle $\widehat{BAC}$ mesure environ $70.9°$ au dixième de degré près.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Repère non orthonormé

Utiliser la formule analytique $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ dans un repère qui n'est pas orthonormé. Cette formule n'est valable QUE dans un repère orthonormé.
Oublier de vérifier si les vecteurs sont nuls avant d'appliquer la formule géométrique avec le cosinus. Si un vecteur est nul, le produit scalaire est nul, et l'angle n'est pas défini.
Confondre le produit scalaire (un nombre réel) avec un vecteur. Le résultat d'un produit scalaire est toujours un scalaire.
Erreur de signe lors de l'utilisation de la projection orthogonale : $\vec{AB} \cdot \vec{AH}$ est positif si $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont de même sens, négatif s'ils sont de sens opposés.

Exercice type BAC

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère les points $A(1, -1, 2)$, $B(3, 1, 1)$ et $C(0, 2, 3)$.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont-ils orthogonaux ? Justifier.
Calculer les normes $||\vec{AB}||$ et $||\vec{AC}||$.
En déduire la valeur exacte de $\cos(\widehat{BAC})$, puis une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés, arrondie au dixième.

Calcul des coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
Pour $\vec{AB}$ : $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (3-1, 1-(-1), 1-2) = (2, 2, -1)$.
Pour $\vec{AC}$ : $(x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (0-1, 2-(-1), 3-2) = (-1, 3, 1)$.
Calcul du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ :
Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.
$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(-1) + (2)(3) + (-1)(1) = -2 + 6 - 1 = 3$$
Orthogonalité des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Puisque $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \neq 0$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas orthogonaux.
Calcul des normes $||\vec{AB}||$ et $||\vec{AC}||$ :
La norme d'un vecteur $\vec{u}(x, y, z)$ est $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
$$||\vec{AB}|| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$
$$||\vec{AC}|| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$$
Déduction de $\cos(\widehat{BAC})$ et de l'angle $\widehat{BAC}$ :
On utilise la formule $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = ||\vec{AB}|| × ||\vec{AC}|| × \cos(\widehat{BAC})$.
Donc, $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{||\vec{AB}|| × ||\vec{AC}||}$.
$$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{3}{3 × \sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{11}}$$
Pour obtenir une valeur approchée de l'angle :
$$\widehat{BAC} = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{11}}\right) \approx \arccos(0.3015) \approx 72.47°$$
Arrondi au dixième de degré, $\widehat{BAC} \approx 72.5°$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le produit scalaire et le produit vectoriel ?

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel (un scalaire), tandis que le produit vectoriel de deux vecteurs est un nouveau vecteur qui est orthogonal aux deux vecteurs d'origine. Le produit vectoriel n'est pas au programme de Terminale Spécialité.

Le produit scalaire dépend-il du repère choisi ?

Non, le produit scalaire est une grandeur intrinsèque aux vecteurs, il ne dépend pas du repère. Cependant, la formule analytique $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ n'est valable que si le repère est orthonormé. Si le repère n'est pas orthonormé, il faut utiliser les définitions géométriques ou changer de repère.

Comment prouver que deux droites sont perpendiculaires avec le produit scalaire ?

Pour prouver que deux droites $(D_1)$ et $(D_2)$ sont perpendiculaires, il suffit de montrer que leurs vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont orthogonaux. Cela se traduit par $\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0$.

Peut-on calculer le produit scalaire de trois vecteurs ?

Non, le produit scalaire est défini pour deux vecteurs. Il n'existe pas de 'produit scalaire de trois vecteurs' au sens usuel. On peut cependant avoir des expressions comme $(\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$, qui est un vecteur colinéaire à $\vec{w}$, ou $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})$, qui est un scalaire.

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