Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Comment savoir si deux droites sont sécantes, parallèles ou non coplanaires ?

Pour deux droites $D_1$ et $D_2$ :Vérifier le parallélisme : Comparer leurs vecteurs directeurs. S'ils sont colinéaires, les droites sont parallèles (confondues ou strictement parallèles).Si parallèles : Vérifier si un point de $D_1$ appartient à $D_2$. Si oui, elles sont confondues. Sinon, elles sont strictement parallèles.Si non parallèles : Elles sont soit sécantes, soit non coplanaires (gauches). Pour le déterminer, on cherche un point d'intersection en égalant leurs représentations paramétriques (avec des paramètres différents, par exemple $t$ et $s$). Si le système a une solution unique, elles sont sécantes. Si le système n'a pas de solution, elles sont non coplanaires (gauches).

Définition

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, une droite $D$ passant par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ admet une représentation paramétrique de la forme :

$$D: \begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$

où $t$ est un paramètre réel. Chaque valeur de $t$ correspond à un unique point de la droite $D$.

💡 Bon réflexe : Pour une droite, pense toujours à un point et un vecteur directeur ; pour un plan, pense à un point et un vecteur normal, ou trois points non alignés.

Méthode — Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace

Étape 1 : Identifier un point de la droite

Pour établir la représentation paramétrique d'une droite, il faut d'abord connaître les coordonnées d'un point $A(x_A, y_A, z_A)$ appartenant à cette droite. Ce point peut être donné directement ou calculé à partir d'autres informations (par exemple, point d'intersection, milieu d'un segment).

Étape 2 : Déterminer un vecteur directeur de la droite

Ensuite, il est nécessaire de trouver les coordonnées d'un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ de la droite. Un vecteur directeur est un vecteur non nul qui a la même direction que la droite. Il peut être donné directement, ou calculé à partir de deux points de la droite (par exemple, si $B$ est un autre point, $\vec{u} = \vec{AB}$), ou encore être orthogonal à un plan, ou parallèle à une autre droite.

Étape 3 : Écrire la représentation paramétrique

Une fois le point $A(x_A, y_A, z_A)$ et le vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ identifiés, on peut écrire la représentation paramétrique de la droite $D$ en utilisant la formule générale :

$$D: \begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Il est crucial de préciser que $t$ est un réel.

Étape 4 : Vérifier la cohérence (facultatif mais recommandé)

Pour s'assurer de la justesse de la représentation, on peut vérifier que le point $A$ appartient bien à la droite (en prenant $t=0$) et que le vecteur $\vec{u}$ est bien un vecteur directeur (en vérifiant que les coefficients $a, b, c$ correspondent aux variations des coordonnées pour $t=1$).

Exemple résolu

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1, -2, 3)$ et $B(3, 0, -1)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.

Identifier un point de la droite

La droite $(AB)$ passe par le point $A(1, -2, 3)$. On peut donc prendre $x_A = 1$, $y_A = -2$, $z_A = 3$.

Déterminer un vecteur directeur de la droite

Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est le vecteur $\vec{AB}$.

Les coordonnées de $\vec{AB}$ sont $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

Ainsi, $\vec{AB}(3 - 1, 0 - (-2), -1 - 3)$, ce qui donne $\vec{AB}(2, 2, -4)$.

On peut prendre $\vec{u}(2, 2, -4)$ comme vecteur directeur, donc $a=2$, $b=2$, $c=-4$.

Écrire la représentation paramétrique

En utilisant le point $A(1, -2, 3)$ et le vecteur directeur $\vec{u}(2, 2, -4)$, la représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :

$$ (AB): \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + 2t \\ z = 3 - 4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $$

Vérifier la cohérence (facultatif)

Pour $t=0$, on obtient le point $(1, -2, 3)$, qui est $A$.

Pour $t=1$, on obtient le point $(1+2, -2+2, 3-4)$, soit $(3, 0, -1)$, qui est $B$.

La représentation est correcte.

Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :

$$ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + 2t \\ z = 3 - 4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $$

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion entre point et vecteur

Ne pas confondre les coordonnées d'un point (qui sont des positions) avec les coordonnées d'un vecteur (qui sont des déplacements). Le point de départ $(x_A, y_A, z_A)$ et le vecteur directeur $(a, b, c)$ ont des rôles distincts dans la formule.
Oublier de préciser que le paramètre $t$ appartient à $\mathbb{R}$. C'est essentiel pour indiquer que la droite est infinie et non un segment.
Utiliser un vecteur nul comme vecteur directeur. Un vecteur directeur doit toujours être non nul.
Ne pas simplifier le vecteur directeur. Par exemple, si $\vec{u}(2, 2, -4)$ est un vecteur directeur, $\vec{v}(1, 1, -2)$ est aussi un vecteur directeur et peut simplifier les calculs.

Exercice type BAC

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(2, -1, 3)$, $B(0, 1, 1)$ et le plan $P$ d'équation cartésienne $x + 2y - z + 4 = 0$.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
Le point $C(1, 0, 2)$ appartient-il à la droite $(AB)$ ? Justifier.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ de la droite $(AB)$ et du plan $P$.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ :
La droite $(AB)$ passe par le point $A(2, -1, 3)$.
Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vec{AB}$.
Les coordonnées de $\vec{AB}$ sont $(0 - 2, 1 - (-1), 1 - 3)$, soit $\vec{AB}(-2, 2, -2)$.
On peut simplifier ce vecteur directeur en prenant $\vec{u}(-1, 1, -1)$ (en divisant par 2).
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est donc :
$$ (AB): \begin{cases} x = 2 - t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $$
Le point $C(1, 0, 2)$ appartient-il à la droite $(AB)$ ?
Pour que $C$ appartienne à la droite $(AB)$, il faut qu'il existe une valeur de $t$ telle que les coordonnées de $C$ vérifient le système d'équations paramétriques :
$$ \begin{cases} 1 = 2 - t \\ 0 = -1 + t \\ 2 = 3 - t \end{cases} $$
De la première équation : $t = 2 - 1 = 1$.
De la deuxième équation : $t = 0 + 1 = 1$.
De la troisième équation : $t = 3 - 2 = 1$.
Puisqu'on trouve la même valeur de $t=1$ pour les trois équations, le point $C(1, 0, 2)$ appartient bien à la droite $(AB)$.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ de la droite $(AB)$ et du plan $P$ :
Le point $I$ appartient à la fois à la droite $(AB)$ et au plan $P$. Ses coordonnées $(x_I, y_I, z_I)$ doivent donc vérifier la représentation paramétrique de la droite et l'équation cartésienne du plan.
On substitue les expressions de $x, y, z$ de la représentation paramétrique de $(AB)$ dans l'équation du plan $P: x + 2y - z + 4 = 0$ :
$$ (2 - t) + 2(-1 + t) - (3 - t) + 4 = 0 $$ $$ 2 - t - 2 + 2t - 3 + t + 4 = 0 $$ $$ (-t + 2t + t) + (2 - 2 - 3 + 4) = 0 $$ $$ 2t + 1 = 0 $$ $$ 2t = -1 $$ $$ t = -\frac{1}{2} $$
Maintenant, on substitue cette valeur de $t$ dans la représentation paramétrique de la droite $(AB)$ pour trouver les coordonnées de $I$ :
$$ \begin{cases} x_I = 2 - (-\frac{1}{2}) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \\ y_I = -1 + (-\frac{1}{2}) = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \\ z_I = 3 - (-\frac{1}{2}) = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \end{cases} $$
Les coordonnées du point d'intersection $I$ sont $(\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$.

Questions fréquentes

Une droite a-t-elle une seule représentation paramétrique ?

Non, une droite a une infinité de représentations paramétriques. On peut choisir n'importe quel point de la droite comme point de départ et n'importe quel vecteur directeur non nul (colinéaire au premier) pour la définir. Par exemple, si $\vec{u}$ est un vecteur directeur, $k\vec{u}$ (avec $k \neq 0$) est aussi un vecteur directeur. De même, on peut utiliser un autre point de la droite.

Comment savoir si deux droites sont parallèles à partir de leurs représentations paramétriques ?

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Si $D_1$ a pour vecteur directeur $\vec{u_1}(a_1, b_1, c_1)$ et $D_2$ a pour vecteur directeur $\vec{u_2}(a_2, b_2, c_2)$, alors $D_1$ et $D_2$ sont parallèles si et seulement s'il existe un réel $k \neq 0$ tel que $\vec{u_2} = k\vec{u_1}$, c'est-à-dire $a_2 = ka_1$, $b_2 = kb_1$, $c_2 = kc_1$.

Comment savoir si deux droites sont sécantes, parallèles ou non coplanaires ?

Pour deux droites $D_1$ et $D_2$ :

Vérifier le parallélisme : Comparer leurs vecteurs directeurs. S'ils sont colinéaires, les droites sont parallèles (confondues ou strictement parallèles).
Si parallèles : Vérifier si un point de $D_1$ appartient à $D_2$. Si oui, elles sont confondues. Sinon, elles sont strictement parallèles.
Si non parallèles : Elles sont soit sécantes, soit non coplanaires (gauches). Pour le déterminer, on cherche un point d'intersection en égalant leurs représentations paramétriques (avec des paramètres différents, par exemple $t$ et $s$). Si le système a une solution unique, elles sont sécantes. Si le système n'a pas de solution, elles sont non coplanaires (gauches).

Peut-on représenter un segment avec une représentation paramétrique ?

Oui, un segment $[AB]$ peut être représenté paramétriquement. Si la droite $(AB)$ a pour représentation paramétrique $x = x_A + ta$, $y = y_A + tb$, $z = z_A + tc$, alors le segment $[AB]$ correspond aux valeurs de $t$ pour lesquelles le point $M(x,y,z)$ est entre $A$ et $B$. Si on utilise $\vec{u} = \vec{AB}$, alors $A$ correspond à $t=0$ et $B$ correspond à $t=1$. Donc, le segment $[AB]$ est représenté par le même système d'équations, mais avec $t \in [0, 1]$.

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