Définition
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, une droite $D$ et un plan $P$ peuvent adopter trois positions relatives distinctes :
- La droite $D$ est sécante au plan $P$ : ils ont un unique point d'intersection.
- La droite $D$ est parallèle au plan $P$ et non incluse dans $P$ : ils n'ont aucun point d'intersection.
- La droite $D$ est incluse dans le plan $P$ : tous les points de la droite appartiennent au plan.
Ces positions sont déterminées en étudiant l'existence et le nombre de solutions du système formé par l'équation cartésienne du plan et la représentation paramétrique de la droite.
Méthode — Positions relatives d'une droite et d'un plan
Étape 1 : Écrire l'équation du plan et la représentation paramétrique de la droite
Soit un plan $P$ d'équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ et une droite $D$ définie par une représentation paramétrique :
$$D: \begin{cases} x = x_0 + \alpha t \\ y = y_0 + \beta t \\ z = z_0 + \gamma t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$où $(x_0, y_0, z_0)$ est un point de la droite et $(\alpha, \beta, \gamma)$ est un vecteur directeur de la droite.
Étape 2 : Substituer les coordonnées de la droite dans l'équation du plan
Remplacez $x$, $y$, $z$ de la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan. Cela conduit à une équation du premier degré en $t$ :
$$a(x_0 + \alpha t) + b(y_0 + \beta t) + c(z_0 + \gamma t) + d = 0$$Développez et regroupez les termes en $t$ :
$$(a\alpha + b\beta + c\gamma)t + (ax_0 + by_0 + cz_0 + d) = 0$$Cette équation est de la forme $At + B = 0$, où $A = a\alpha + b\beta + c\gamma$ et $B = ax_0 + by_0 + cz_0 + d$.
Étape 3 : Analyser l'équation en $t$
Trois cas peuvent se présenter pour l'équation $At + B = 0$ :
- Cas 1 : Si $A \neq 0$, l'équation a une unique solution $t = -B/A$. La droite $D$ est sécante au plan $P$ en un unique point.
- Cas 2 : Si $A = 0$ et $B \neq 0$, l'équation devient $0t + B = 0$, soit $B = 0$, ce qui est impossible. L'équation n'a aucune solution. La droite $D$ est parallèle au plan $P$ et non incluse dans $P$.
- Cas 3 : Si $A = 0$ et $B = 0$, l'équation devient $0t + 0 = 0$, soit $0 = 0$, ce qui est toujours vrai. L'équation a une infinité de solutions. La droite $D$ est incluse dans le plan $P$.
Étape 4 : Déterminer le point d'intersection (si sécante)
Si la droite est sécante au plan (Cas 1), substituez la valeur unique de $t$ trouvée dans la représentation paramétrique de la droite pour obtenir les coordonnées $(x, y, z)$ du point d'intersection.
Exemple résolu
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère le plan $P$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z - 1 = 0$ et la droite $D$ définie par la représentation paramétrique :
$$D: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$Déterminer la position relative de la droite $D$ et du plan $P$. Si elles sont sécantes, préciser les coordonnées du point d'intersection.
L'équation du plan $P$ est $2x - y + 3z - 1 = 0$.
La représentation paramétrique de la droite $D$ est :
$$D: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$Un vecteur normal au plan $P$ est $\vec{n}(2, -1, 3)$. Un vecteur directeur de la droite $D$ est $\vec{u}(2, 1, -1)$.
On remplace $x$, $y$, $z$ dans l'équation du plan :
$$2(1 + 2t) - (-1 + t) + 3(2 - t) - 1 = 0$$Développons cette équation :
$$2 + 4t + 1 - t + 6 - 3t - 1 = 0$$Regroupons les termes en $t$ et les constantes :
$$(4t - t - 3t) + (2 + 1 + 6 - 1) = 0$$$$0t + 8 = 0$$Cette équation se simplifie en $8 = 0$, ce qui est une contradiction.
Puisque l'équation $0t + 8 = 0$ n'a aucune solution, la droite $D$ et le plan $P$ n'ont aucun point d'intersection. La droite $D$ est donc parallèle au plan $P$ et non incluse dans $P$.
La droite $D$ est parallèle au plan $P$ et n'est pas incluse dans $P$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli de la vérification d'inclusion
- Confondre "parallèle" et "incluse" : Si $A=0$, il faut absolument vérifier si $B=0$. Si $B \neq 0$, la droite est parallèle mais non incluse. Si $B=0$, la droite est incluse.
- Erreurs de calcul lors de la substitution ou du développement de l'équation en $t$, menant à une conclusion erronée sur le nombre de solutions.
- Ne pas vérifier si le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan. Si $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$, alors la droite est parallèle au plan (ou incluse). C'est une vérification rapide mais ne suffit pas à distinguer parallèle non incluse et incluse.
Exercice type BAC
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère :
- Le plan $P$ d'équation cartésienne $x - 2y + z - 3 = 0$.
- La droite $D_1$ dont une représentation paramétrique est : $$D_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = 4 - t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
- La droite $D_2$ passant par les points $A(1, 0, 2)$ et $B(3, 4, 0)$.
- Déterminer la position relative de la droite $D_1$ et du plan $P$. Si elles sont sécantes, préciser les coordonnées de leur point d'intersection.
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D_2$.
- Déterminer la position relative de la droite $D_2$ et du plan $P$.
Position relative de $D_1$ et $P$ :
L'équation du plan $P$ est $x - 2y + z - 3 = 0$.
La représentation paramétrique de la droite $D_1$ est :
$$D_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = 4 - t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$Substituons les expressions de $x, y, z$ dans l'équation du plan :
$$(1 + t) - 2(2t) + (4 - t) - 3 = 0$$$$1 + t - 4t + 4 - t - 3 = 0$$Regroupons les termes en $t$ et les constantes :
$$(t - 4t - t) + (1 + 4 - 3) = 0$$$$-4t + 2 = 0$$C'est une équation du premier degré en $t$. On a $-4t = -2$, donc $t = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$.
Puisqu'il y a une unique solution pour $t$, la droite $D_1$ est sécante au plan $P$.
Pour trouver les coordonnées du point d'intersection $I$, on remplace $t = \frac{1}{2}$ dans la représentation paramétrique de $D_1$ :
$$x_I = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ $$y_I = 2 \times \frac{1}{2} = 1$$ $$z_I = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$$Le point d'intersection est $I\left(\frac{3}{2}, 1, \frac{7}{2}\right)$.
Représentation paramétrique de la droite $D_2$ :
La droite $D_2$ passe par $A(1, 0, 2)$ et $B(3, 4, 0)$.
Un vecteur directeur de $D_2$ est $\vec{AB} = (3-1, 4-0, 0-2) = (2, 4, -2)$.
On peut prendre le point $A(1, 0, 2)$ comme point de départ. Une représentation paramétrique de $D_2$ est donc :
$$D_2: \begin{cases} x = 1 + 2k \\ y = 0 + 4k \\ z = 2 - 2k \end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}$$Soit :
$$D_2: \begin{cases} x = 1 + 2k \\ y = 4k \\ z = 2 - 2k \end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}$$Position relative de $D_2$ et $P$ :
L'équation du plan $P$ est $x - 2y + z - 3 = 0$.
La représentation paramétrique de la droite $D_2$ est :
$$D_2: \begin{cases} x = 1 + 2k \\ y = 4k \\ z = 2 - 2k \end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}$$Substituons les expressions de $x, y, z$ dans l'équation du plan :
$$(1 + 2k) - 2(4k) + (2 - 2k) - 3 = 0$$$$1 + 2k - 8k + 2 - 2k - 3 = 0$$Regroupons les termes en $k$ et les constantes :
$$(2k - 8k - 2k) + (1 + 2 - 3) = 0$$$$-8k + 0 = 0$$Cette équation se simplifie en $-8k = 0$, ce qui implique $k = 0$.
Puisqu'il y a une unique solution pour $k$, la droite $D_2$ est sécante au plan $P$.
Pour trouver les coordonnées du point d'intersection $J$, on remplace $k = 0$ dans la représentation paramétrique de $D_2$ :
$$x_J = 1 + 2(0) = 1$$ $$y_J = 4(0) = 0$$ $$z_J = 2 - 2(0) = 2$$Le point d'intersection est $J(1, 0, 2)$. On remarque que ce point est le point $A$, ce qui est cohérent car $A$ est un point de la droite $D_2$ et satisfait l'équation du plan $P$ ($1 - 2(0) + 2 - 3 = 0$, soit $1+2-3=0$, ce qui est vrai).
Questions fréquentes
Comment savoir si une droite est parallèle à un plan sans utiliser la substitution ?
Une droite $D$ de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha, \beta, \gamma)$ est parallèle à un plan $P$ d'équation $ax + by + cz + d = 0$ (et donc de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$) si et seulement si le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan. C'est-à-dire si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$, soit $a\alpha + b\beta + c\gamma = 0$.
Cependant, cette condition ne permet pas de distinguer si la droite est incluse dans le plan ou strictement parallèle. Pour cela, il faut quand même tester si un point de la droite appartient au plan.
Que signifie un système avec une infinité de solutions pour $t$ ?
Si l'équation en $t$ (obtenue après substitution) se simplifie en $0 = 0$, cela signifie que pour toute valeur de $t$, les coordonnées du point de la droite vérifient l'équation du plan. Autrement dit, tous les points de la droite appartiennent au plan. La droite est alors incluse dans le plan.
Peut-on utiliser l'équation cartésienne de la droite pour cette méthode ?
Non, la méthode standard pour étudier la position relative d'une droite et d'un plan utilise la représentation paramétrique de la droite et l'équation cartésienne du plan. Si la droite est donnée par deux équations cartésiennes (intersection de deux plans), il faut d'abord la convertir en représentation paramétrique.
Comment trouver le point d'intersection si la droite et le plan sont sécants ?
Une fois que vous avez trouvé la valeur unique de $t$ qui satisfait l'équation $At + B = 0$, il suffit de substituer cette valeur de $t$ dans la représentation paramétrique de la droite. Les coordonnées $(x, y, z)$ obtenues seront celles du point d'intersection.
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