Définition
Une droite $(d)$ est perpendiculaire à un plan $(\mathcal{P})$ si elle est orthogonale à toutes les droites de $(\mathcal{P})$. Si $(d)$ est perpendiculaire à $(\mathcal{P})$, alors $(\mathcal{P})$ est perpendiculaire à $(d)$.
Méthode — Droite perpendiculaire à un plan : définition et propriétés
Comprendre la définition
La définition formelle stipule qu'une droite $(d)$ est perpendiculaire à un plan $(\mathcal{P})$ si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites contenues dans $(\mathcal{P})$. En pratique, il est impossible de vérifier cette condition pour une infinité de droites.
Appliquer le théorème fondamental
Pour démontrer qu'une droite $(d)$ est perpendiculaire à un plan $(\mathcal{P})$, on utilise le théorème suivant :
Si une droite $(d)$ est orthogonale à deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ du plan $(\mathcal{P})$ qui sont sécantes, alors la droite $(d)$ est perpendiculaire au plan $(\mathcal{P})$.
Il est crucial que les deux droites soient sécantes.
Identifier les droites et le plan
Dans un problème donné, identifiez la droite $(d)$ dont vous voulez prouver la perpendicularité et le plan $(\mathcal{P})$ concerné. Ensuite, cherchez deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ qui sont contenues dans $(\mathcal{P})$ et qui sont sécantes.
Démontrer l'orthogonalité
Utilisez les outils de la géométrie analytique (produit scalaire nul) ou de la géométrie euclidienne (propriétés des figures, théorème de Pythagore, etc.) pour montrer que la droite $(d)$ est orthogonale à $(d_1)$ et que $(d)$ est orthogonale à $(d_2)$.
Rappel : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Exemple résolu
Dans un repère orthonormé de l'espace $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$ et $C(0; 0; 1)$. Soit la droite $(d)$ passant par l'origine $O(0; 0; 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1; 1; 1)$. Démontrer que la droite $(d)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
Calculons les vecteurs directeurs de ces droites :
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (0-1; 1-0; 0-0) = (-1; 1; 0)$.
$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (0-1; 0-0; 1-0) = (-1; 0; 1)$.
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles), donc les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont bien sécantes.
$\vec{u} \cdot \vec{AB} = (1)( -1) + (1)(1) + (1)(0) = -1 + 1 + 0 = 0$.
Puisque $\vec{u} \cdot \vec{AB} = 0$, la droite $(d)$ est orthogonale à la droite $(AB)$.
$\vec{u} \cdot \vec{AC} = (1)(-1) + (1)(0) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0$.
Puisque $\vec{u} \cdot \vec{AC} = 0$, la droite $(d)$ est orthogonale à la droite $(AC)$.
D'après le théorème, la droite $(d)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
La droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{u}(1; 1; 1)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Orthogonalité vs Perpendicularité
- Confondre 'orthogonal' et 'perpendiculaire'. Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, même si elles ne sont pas coplanaires. 'Perpendiculaire' est réservé aux droites coplanaires ou à une droite et un plan.
- Oublier la condition 'sécantes' dans le théorème. Si la droite est orthogonale à deux droites parallèles du plan, cela ne suffit pas à prouver la perpendicularité au plan.
- Ne pas justifier que les droites choisies dans le plan sont bien sécantes (par exemple, en montrant que leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires).
Exercice type BAC
Dans un repère orthonormé de l'espace $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(2; -1; 3)$, $B(1; 1; 1)$ et $C(4; 0; 1)$.
- Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
- Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
- Soit la droite $(d)$ passant par le point $D(3; 2; 4)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(1; 2; -1)$. Montrer que la droite $(d)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
Détermination des coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
$\vec{AB} = (1-2; 1-(-1); 1-3) = (-1; 2; -2)$.
$\vec{AC} = (4-2; 0-(-1); 1-3) = (2; 1; -2)$.
Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan :
Pour que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan, il faut qu'ils ne soient pas alignés. Cela revient à montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Les coordonnées de $\vec{AB}$ sont $(-1; 2; -2)$ et celles de $\vec{AC}$ sont $(2; 1; -2)$.
Si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ étaient colinéaires, il existerait un réel $k$ tel que $\vec{AC} = k \vec{AB}$.
On aurait :
- $2 = k × (-1) \implies k = -2$
- $1 = k × 2 \implies k = 1/2$
Puisque les valeurs de $k$ ne sont pas les mêmes, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés et définissent bien un plan.
Montrer que la droite $(d)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$ :
La droite $(d)$ a pour vecteur directeur $\vec{v}(1; 2; -1)$.
Pour montrer que $(d)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$, il suffit de montrer que $\vec{v}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$, par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Calculons le produit scalaire $\vec{v} \cdot \vec{AB}$ :
$\vec{v} \cdot \vec{AB} = (1)(-1) + (2)(2) + (-1)(-2) = -1 + 4 + 2 = 5$.
Ah ! Le produit scalaire n'est pas nul. Il y a une erreur dans l'énoncé ou les données. Reprenons avec des données cohérentes pour que le produit scalaire soit nul.
Correction de l'énoncé pour la question 3 : Soit la droite $(d)$ passant par le point $D(3; 2; 4)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(2; 2; 3)$. Montrer que la droite $(d)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
Reprenons avec le nouveau vecteur $\vec{v}(2; 2; 3)$.
Calculons le produit scalaire $\vec{v} \cdot \vec{AB}$ :
$\vec{v} \cdot \vec{AB} = (2)(-1) + (2)(2) + (3)(-2) = -2 + 4 - 6 = -4$.
Toujours pas nul. Il faut que je construise un vecteur $\vec{v}$ qui soit orthogonal à $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est donné par le produit vectoriel $\vec{AB} × \vec{AC}$.
$\vec{AB} = (-1; 2; -2)$
$\vec{AC} = (2; 1; -2)$
$\vec{n} = \vec{AB} × \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ -1 \end{pmatrix} × \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(-2) - (-2)(1) \ (-2)(2) - (-1)(-2) \ (-1)(1) - (2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - (-2) \ -4 - 2 \ -1 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ -6 \ -5 \end{pmatrix}$.
Prenons $\vec{v} = (2; 6; 5)$ comme vecteur directeur de $(d)$ pour que cela fonctionne.
Nouvelle correction de l'énoncé pour la question 3 : Soit la droite $(d)$ passant par le point $D(3; 2; 4)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(2; 6; 5)$. Montrer que la droite $(d)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
Reprise du corrigé avec les bonnes données :
La droite $(d)$ a pour vecteur directeur $\vec{v}(2; 6; 5)$.
Les vecteurs $\vec{AB}(-1; 2; -2)$ et $\vec{AC}(2; 1; -2)$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
Calculons le produit scalaire $\vec{v} \cdot \vec{AB}$ :
$\vec{v} \cdot \vec{AB} = (2)(-1) + (6)(2) + (5)(-2) = -2 + 12 - 10 = 0$.
Donc, la droite $(d)$ est orthogonale à la droite $(AB)$.
Calculons le produit scalaire $\vec{v} \cdot \vec{AC}$ :
$\vec{v} \cdot \vec{AC} = (2)(2) + (6)(1) + (5)(-2) = 4 + 6 - 10 = 0$.
Donc, la droite $(d)$ est orthogonale à la droite $(AC)$.
Puisque la droite $(d)$ est orthogonale à deux droites sécantes $(AB)$ et $(AC)$ du plan $(ABC)$, alors la droite $(d)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre orthogonalité et perpendicularité ?
Pourquoi faut-il que les deux droites du plan soient sécantes ?
Comment prouver l'orthogonalité de deux droites en pratique ?
Une droite perpendiculaire à un plan est-elle aussi perpendiculaire à toutes les droites de ce plan ?
Pour aller plus loin
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