Plans perpendiculaires : définition et critère de perpendicularité – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Deux plans sont dits perpendiculaires si l'angle dièdre qu'ils forment est un angle droit ($90°$). Cela signifie qu'un plan contient une droite perpendiculaire à l'autre plan. Cette propriété est symétrique : si le plan $\mathcal{P}_1$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}_2$, alors $\mathcal{P}_2$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}_1$.

💡 Bon réflexe : Pour la perpendicularité des plans, pense toujours à l'orthogonalité de leurs vecteurs normaux et au produit scalaire nul.

Méthode — Plans perpendiculaires : définition et critère de perpendicularité

Identifier les vecteurs normaux aux plans

Pour deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ dont les équations cartésiennes sont respectivement $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ et $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$, les vecteurs normaux sont $\vec{n_1}(a_1, b_1, c_1)$ et $\vec{n_2}(a_2, b_2, c_2)$. Si les plans sont définis par trois points non alignés, il faut d'abord déterminer une équation cartésienne pour chacun afin d'obtenir leurs vecteurs normaux.

Calculer le produit scalaire des vecteurs normaux

Le produit scalaire des deux vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ est donné par la formule : $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2$.

Appliquer le critère de perpendicularité

Deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont orthogonaux. Cela se traduit par la condition que leur produit scalaire est nul : $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$. Si cette condition est vérifiée, les plans sont perpendiculaires. Sinon, ils ne le sont pas.

Conclure

En fonction du résultat du produit scalaire, on peut affirmer si les plans sont perpendiculaires ou non. La justification repose sur le critère de perpendicularité des plans via l'orthogonalité de leurs vecteurs normaux.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathcal{P}_1$ d'équation $x + 2y - z + 3 = 0$ et le plan $\mathcal{P}_2$ passant par les points $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$ et $C(0, 0, 1)$. Déterminer si les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.

Déterminer un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$

L'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est $x + 2y - z + 3 = 0$. Un vecteur normal à $\mathcal{P}_1$ est donc $\vec{n_1}(1, 2, -1)$.

Déterminer un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_2$

Le plan $\mathcal{P}_2$ passe par les points $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$ et $C(0, 0, 1)$.
Calculons deux vecteurs directeurs du plan $\mathcal{P}_2$ :
$\vec{AB} = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$
$\vec{AC} = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$
Un vecteur normal $\vec{n_2}(a, b, c)$ au plan $\mathcal{P}_2$ est orthogonal à $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. On a donc :
$\vec{n_2} \cdot \vec{AB} = -a + b = 0 \quad (1)$
$\vec{n_2} \cdot \vec{AC} = -a + c = 0 \quad (2)$
De (1), $b = a$. De (2), $c = a$.
En choisissant $a=1$, on obtient $\vec{n_2}(1, 1, 1)$.
L'équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$ est de la forme $x + y + z + d = 0$. Puisque $A(1, 0, 0)$ appartient à $\mathcal{P}_2$, on a $1 + 0 + 0 + d = 0$, donc $d = -1$.
L'équation de $\mathcal{P}_2$ est $x + y + z - 1 = 0$. Un vecteur normal est $\vec{n_2}(1, 1, 1)$.

Calculer le produit scalaire des vecteurs normaux

Nous avons $\vec{n_1}(1, 2, -1)$ et $\vec{n_2}(1, 1, 1)$.
Le produit scalaire est :
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(1) + (2)(1) + (-1)(1)$
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 + 2 - 1 = 2$

Conclure sur la perpendicularité des plans

Puisque $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \neq 0$, les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ ne sont pas orthogonaux. Par conséquent, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas perpendiculaires.

Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas perpendiculaires car le produit scalaire de leurs vecteurs normaux n'est pas nul.

⚠️ Confondre orthogonalité et perpendicularité

Ne pas faire la distinction entre l'orthogonalité de vecteurs (produit scalaire nul) et la perpendicularité de plans (produit scalaire nul des vecteurs normaux).
Oublier qu'un plan est défini par une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires. Le choix d'un vecteur normal particulier n'affecte pas le résultat du produit scalaire (à un facteur près non nul).
Erreur de calcul dans le produit scalaire des vecteurs normaux, conduisant à une conclusion erronée.

Exercice type BAC

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(1, 0, 2)$, $B(2, 1, 0)$ et $C(0, 1, 1)$.

On considère également le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + y - z + 1 = 0$.

Déterminer les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n_P}$ au plan $\mathcal{P}$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{Q}$ passant par les points $A$, $B$ et $C$.
Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont-ils perpendiculaires ? Justifier votre réponse.

Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne $x + y - z + 1 = 0$.
Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est donné par les coefficients de $x$, $y$ et $z$.
Donc, $\vec{n_P}(1, 1, -1)$.
Pour déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{Q}$ passant par $A(1, 0, 2)$, $B(2, 1, 0)$ et $C(0, 1, 1)$, nous allons d'abord trouver deux vecteurs directeurs du plan.
$\vec{AB} = (2-1, 1-0, 0-2) = (1, 1, -2)$
$\vec{AC} = (0-1, 1-0, 1-2) = (-1, 1, -1)$
Soit $\vec{n_Q}(a, b, c)$ un vecteur normal au plan $\mathcal{Q}$. $\vec{n_Q}$ doit être orthogonal à $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
$\vec{n_Q} \cdot \vec{AB} = 0 \implies a + b - 2c = 0 \quad (1)$
$\vec{n_Q} \cdot \vec{AC} = 0 \implies -a + b - c = 0 \quad (2)$
Additionnons (1) et (2) : $(a + b - 2c) + (-a + b - c) = 0 \implies 2b - 3c = 0$.
On peut choisir $c = 2$. Alors $2b - 3(2) = 0 \implies 2b = 6 \implies b = 3$.
Substituons $b=3$ et $c=2$ dans (1) : $a + 3 - 2(2) = 0 \implies a + 3 - 4 = 0 \implies a - 1 = 0 \implies a = 1$.
Donc, un vecteur normal au plan $\mathcal{Q}$ est $\vec{n_Q}(1, 3, 2)$.
L'équation cartésienne du plan $\mathcal{Q}$ est de la forme $x + 3y + 2z + d = 0$.
Puisque le point $A(1, 0, 2)$ appartient au plan $\mathcal{Q}$, ses coordonnées vérifient l'équation :
$1 + 3(0) + 2(2) + d = 0$
$1 + 0 + 4 + d = 0$
$5 + d = 0 \implies d = -5$.
Une équation cartésienne du plan $\mathcal{Q}$ est $x + 3y + 2z - 5 = 0$.
Pour déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont perpendiculaires, nous allons calculer le produit scalaire de leurs vecteurs normaux $\vec{n_P}$ et $\vec{n_Q}$.
Nous avons $\vec{n_P}(1, 1, -1)$ et $\vec{n_Q}(1, 3, 2)$.
$\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = (1)(1) + (1)(3) + (-1)(2)$
$\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 1 + 3 - 2$
$\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 2$
Puisque le produit scalaire $\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 2 \neq 0$, les vecteurs normaux ne sont pas orthogonaux.
Par conséquent, les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ ne sont pas perpendiculaires.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un angle dièdre ?

L'angle dièdre est l'angle formé par l'intersection de deux plans. Il est mesuré en prenant un point sur la droite d'intersection des deux plans, puis en traçant deux demi-droites perpendiculaires à cette droite d'intersection, une dans chaque plan. L'angle entre ces deux demi-droites est l'angle dièdre.

Pourquoi le critère de perpendicularité des plans utilise-t-il les vecteurs normaux ?

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. En effet, si un plan contient une droite perpendiculaire à l'autre plan, alors le vecteur directeur de cette droite est un vecteur normal au second plan. Ce vecteur est aussi orthogonal au vecteur normal du premier plan. Cette relation d'orthogonalité se transmet directement aux vecteurs normaux des deux plans.

Peut-on déterminer la perpendicularité de plans sans leurs équations cartésiennes ?

Oui, si les plans sont définis par des droites ou des points, il est possible de trouver des vecteurs normaux en utilisant des produits vectoriels (hors programme de spécialité) ou en résolvant des systèmes d'équations pour trouver un vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan. Une fois les vecteurs normaux obtenus, la méthode reste la même : calculer leur produit scalaire.

Existe-t-il d'autres méthodes pour prouver la perpendicularité de plans ?

Oui, une méthode alternative (souvent plus complexe sans l'outil du produit vectoriel) est de montrer qu'un plan contient une droite perpendiculaire à l'autre plan. Pour cela, il faudrait trouver une droite dans le premier plan et prouver qu'elle est orthogonale à deux droites sécantes du second plan, ce qui est équivalent à prouver qu'elle est orthogonale à un vecteur normal du second plan. La méthode des vecteurs normaux est la plus directe et la plus efficace au niveau Terminale Spécialité.

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