Asymptotes obliques : méthode et exemples – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Une droite $D$ d'équation $y = ax + b$ (avec $a \neq 0$) est une asymptote oblique à la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ en $+\infty$ (respectivement en $-\infty$) si et seulement si $\lim_{x\to+\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ (respectivement $\lim_{x\to-\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$). Intuitivement, cela signifie que la distance verticale entre la courbe et la droite tend vers zéro lorsque $x$ tend vers l'infini.

💡 Bon réflexe : Toujours simplifier l'expression de $f(x)$ (par division euclidienne ou factorisation) avant de chercher une asymptote oblique, cela rend les calculs de limites plus simples et moins sujets aux erreurs.

Méthode — Asymptotes obliques : méthode et exemples

Étape 1 : Calcul de la limite de $f(x)/x$

Pour qu'une asymptote oblique d'équation $y = ax + b$ existe, il faut d'abord que la limite de $f(x)/x$ soit finie et non nulle. Calculez $a = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}$. Si cette limite n'existe pas, est infinie ou est nulle, il n'y a pas d'asymptote oblique. Si $a=0$, on peut avoir une asymptote horizontale.

Étape 2 : Calcul de la limite de $f(x) - ax$

Si $a$ est un réel non nul trouvé à l'étape précédente, calculez ensuite $b = \lim_{x\to\pm\infty} [f(x) - ax]$. Si cette limite est finie, alors $b$ est l'ordonnée à l'origine de l'asymptote oblique.

Étape 3 : Conclusion

Si $a$ et $b$ sont des réels finis et que $a \neq 0$, alors la droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$ selon le cas étudié). N'oubliez pas de préciser le signe de l'infini.

Étape 4 : Étude de la position relative (facultatif mais recommandé)

Pour déterminer la position de la courbe par rapport à son asymptote, étudiez le signe de la différence $d(x) = f(x) - (ax + b)$. Si $d(x) > 0$, la courbe est au-dessus de l'asymptote. Si $d(x) < 0$, la courbe est en dessous. Si $d(x) = 0$, la courbe coupe l'asymptote.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2 + 1}{x^2}$. Démontrer que la courbe représentative de $f$ admet une asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$ dont on précisera l'équation, puis étudier la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote.

Simplifier l'expression de $f(x)$

On peut réécrire $f(x)$ pour faciliter les calculs : $f(x) = \frac{x^3}{x^2} + \frac{2x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x + 2 + \frac{1}{x^2}$. Cette forme est plus pratique pour la recherche d'asymptote oblique.

Calculer $a = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}$

En utilisant la forme simplifiée : $\frac{f(x)}{x} = \frac{x + 2 + \frac{1}{x^2}}{x} = 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}$. Donc, $a = \lim_{x\to\pm\infty} \left(1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}\right) = 1 + 0 + 0 = 1$. Puisque $a=1 \neq 0$, une asymptote oblique est possible.

Calculer $b = \lim_{x\to\pm\infty} [f(x) - ax]$

Avec $a=1$, on calcule $f(x) - 1x = (x + 2 + \frac{1}{x^2}) - x = 2 + \frac{1}{x^2}$. Donc, $b = \lim_{x\to\pm\infty} \left(2 + \frac{1}{x^2}\right) = 2 + 0 = 2$. Puisque $b=2$ est un réel fini.

Conclure sur l'asymptote oblique

Les limites $a=1$ et $b=2$ étant finies et $a \neq 0$, la droite $D$ d'équation $y = x + 2$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $D$

On étudie le signe de $f(x) - (x+2)$. $f(x) - (x+2) = (x + 2 + \frac{1}{x^2}) - (x+2) = \frac{1}{x^2}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, $x^2 > 0$, donc $\frac{1}{x^2} > 0$. Par conséquent, $f(x) - (x+2) > 0$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est toujours au-dessus de son asymptote oblique $D$ sur son domaine de définition.

La droite d'équation $y = x + 2$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est toujours située au-dessus de cette asymptote.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli des conditions

Oublier de vérifier que $a \neq 0$. Si $a=0$, on a une asymptote horizontale, pas oblique.
Ne pas simplifier $f(x)$ avant de commencer les calculs, ce qui peut rendre les limites plus complexes à évaluer.
Confondre les limites en $+\infty$ et en $-\infty$. Il faut parfois les étudier séparément si le comportement de la fonction est différent.
Ne pas justifier l'existence des limites ou utiliser des formes indéterminées sans les lever correctement.

Exercice type BAC

Soit la fonction $f$ définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x) = \frac{x^2 - x + 3}{x - 1}$.

Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x \in ]1;+\infty[$, $f(x) = ax + b + \frac{c}{x-1}$.
En déduire que la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ admet une asymptote oblique $D$ en $+\infty$ dont on précisera l'équation.
Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à l'asymptote $D$.

Pour déterminer les réels $a$, $b$ et $c$, on peut réduire l'expression $ax + b + \frac{c}{x-1}$ au même dénominateur :
$\qquad ax + b + \frac{c}{x-1} = \frac{(ax+b)(x-1) + c}{x-1} = \frac{ax^2 - ax + bx - b + c}{x-1} = \frac{ax^2 + (b-a)x + (c-b)}{x-1}$.
Par identification avec $f(x) = \frac{x^2 - x + 3}{x - 1}$, on obtient le système d'équations :
- $a = 1$
- $b - a = -1$
- $c - b = 3$
De la première équation, $a=1$. En substituant dans la deuxième, $b - 1 = -1 \implies b = 0$. En substituant $b=0$ dans la troisième, $c - 0 = 3 \implies c = 3$.
Ainsi, pour tout $x \in ]1;+\infty[$, $f(x) = x + \frac{3}{x-1}$.
On cherche une asymptote oblique d'équation $y = ax + b$. D'après la question précédente, $f(x) = x + \frac{3}{x-1}$.
On calcule la limite de $f(x) - x$ en $+\infty$ :
$\qquad \lim_{x\to+\infty} [f(x) - x] = \lim_{x\to+\infty} \left[\left(x + \frac{3}{x-1}\right) - x\right] = \lim_{x\to+\infty} \frac{3}{x-1}$.
Comme $\lim_{x\to+\infty} (x-1) = +\infty$, alors $\lim_{x\to+\infty} \frac{3}{x-1} = 0$.
Puisque $\lim_{x\to+\infty} [f(x) - x] = 0$, la droite $D$ d'équation $y = x$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$. (Ici $a=1$ et $b=0$).
Pour étudier la position relative, on étudie le signe de la différence $f(x) - (x)$.
$\qquad f(x) - x = \frac{3}{x-1}$.
Sur l'intervalle de définition $]1;+\infty[$, on a $x > 1$, donc $x-1 > 0$.
Par conséquent, $\frac{3}{x-1} > 0$ pour tout $x \in ]1;+\infty[$.
Puisque $f(x) - x > 0$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de son asymptote oblique $D$ sur $]1;+\infty[$.

Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction a une asymptote oblique ?

Une fonction $f$ peut avoir une asymptote oblique si $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \pm\infty$. Si cette condition est remplie, il faut ensuite vérifier que $\lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$) et $\lim_{x\to\pm\infty} [f(x) - ax] = b$ (avec $b$ fini).

Quelle est la différence entre une asymptote oblique et une asymptote horizontale ?

Une asymptote horizontale est un cas particulier d'asymptote oblique où la pente $a$ est nulle ($a=0$). L'équation est alors $y=b$. Pour une asymptote oblique, la pente $a$ doit être non nulle ($a \neq 0$).

Est-il possible d'avoir une asymptote oblique en $+\infty$ et une autre en $-\infty$ ?

Oui, c'est tout à fait possible. Les limites de $f(x)/x$ et $f(x)-ax$ peuvent être différentes en $+\infty$ et en $-\infty$, conduisant à des asymptotes obliques distinctes, ou à une seule asymptote dans un sens et pas dans l'autre.

Pourquoi l'étude de la position relative est-elle importante ?

L'étude de la position relative permet de mieux visualiser le comportement de la courbe par rapport à son asymptote. Elle indique si la courbe approche l'asymptote par le haut ou par le bas, ce qui est utile pour tracer la courbe et comprendre son allure générale.

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