Branches infinies : classification et détermination – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Une branche infinie correspond au comportement d'une fonction $f$ lorsque $x$ tend vers l'infini (soit $+\infty$, soit $-\infty$) ou lorsque $x$ tend vers une valeur finie $a$ et que $f(x)$ tend vers l'infini. Il existe trois types principaux de branches infinies : les asymptotes verticales, les asymptotes horizontales et les asymptotes obliques, ainsi que les branches paraboliques.

💡 Bon réflexe : Toujours commencer par l'étude des limites aux bornes du domaine de définition pour identifier rapidement les asymptotes verticales et horizontales avant de chercher les asymptotes obliques ou branches paraboliques.

Méthode — Branches infinies : classification et détermination

Étape 1 : Étude des limites aux bornes du domaine de définition

Calculer $\lim_{x \to a} f(x)$ lorsque $a$ est une valeur finie où $f$ n'est pas définie (par exemple, annulation du dénominateur), et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ si le domaine de définition le permet. Ces limites orientent vers le type de branche infinie.

Étape 2 : Identification des asymptotes verticales

Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ pour un réel $a$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$. Le comportement de $f(x)$ est alors un "mur" vertical.

Étape 3 : Identification des asymptotes horizontales

Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un réel) ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$, alors la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$ ou en $-\infty$ respectivement. La courbe se "rapproche" d'une ligne horizontale.

Étape 4 : Recherche d'asymptotes obliques ou de branches paraboliques

Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$, on calcule $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$.

Si cette limite est un réel $m \neq 0$, on calcule ensuite $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx)$. Si cette deuxième limite est un réel $p$, alors la droite d'équation $y = mx + p$ est une asymptote oblique.
Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, alors la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$, alors la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 5}{x - 1}$. Déterminer les éventuelles branches infinies de la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$.

Étude des limites aux bornes du domaine de définition.

Le domaine de définition est $D_f = ]-\infty; 1[ \cup ]1; +\infty[$.
1. Limite en $x=1$: On calcule $\lim_{x \to 1} (x^2 - 3x + 5) = 1 - 3 + 5 = 3$.
On calcule $\lim_{x \to 1} (x - 1) = 0$.
Si $x \to 1^+$, $x - 1 > 0$, donc $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{3}{0^+} = +\infty$.
Si $x \to 1^-$, $x - 1 < 0$, donc $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{3}{0^-} = -\infty$.
2. Limite en $+\infty$: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty$.
3. Limite en $-\infty$: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty$.

Identification des asymptotes verticales.

Puisque $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$, la droite d'équation $x = 1$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.

Recherche d'asymptotes horizontales.

Puisque $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, il n'y a pas d'asymptote horizontale.

Recherche d'asymptotes obliques ou de branches paraboliques.

On calcule $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$.
$\frac{f(x)}{x} = \frac{x^2 - 3x + 5}{x(x - 1)} = \frac{x^2 - 3x + 5}{x^2 - x}$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1$. On pose $m = 1$.
Ensuite, on calcule $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{x^2 - 3x + 5}{x - 1} - x\right)$.
$f(x) - x = \frac{x^2 - 3x + 5 - x(x - 1)}{x - 1} = \frac{x^2 - 3x + 5 - x^2 + x}{x - 1} = \frac{-2x + 5}{x - 1}$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2x + 5}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2x}{x} = -2$. On pose $p = -2$.
Puisque $m=1 \neq 0$ et $p=-2$ est un réel, la droite d'équation $y = 1x - 2$, soit $y = x - 2$, est une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 1$ et une asymptote oblique d'équation $y = x - 2$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion entre asymptote oblique et branche parabolique

Ne pas oublier de calculer la deuxième limite $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx)$ après avoir trouvé $m \neq 0$. Si cette limite est infinie, il n'y a pas d'asymptote oblique mais une branche parabolique de direction $y=mx$.
Oublier de vérifier les limites à gauche et à droite pour les asymptotes verticales, surtout si la fonction est définie par morceaux ou si le point d'indéfinition est une borne de l'intervalle.
Simplifier hâtivement les expressions pour les limites, en particulier pour les fonctions rationnelles, sans s'assurer que le terme dominant est correctement identifié.

Exercice type BAC

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + 7x - 5}{(x - 2)^2}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Déterminer les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$. En déduire l'existence d'une asymptote verticale.
Déterminer les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et $-\infty$.
Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Détermination des limites en $x=2$ :
Le numérateur en $x=2$ est $2^3 - 4(2^2) + 7(2) - 5 = 8 - 16 + 14 - 5 = 1$.
Le dénominateur en $x=2$ est $(2 - 2)^2 = 0$.
Puisque $(x - 2)^2 > 0$ pour $x \neq 2$, le dénominateur tend vers $0^+$ que $x$ tende vers $2^+$ ou $2^-$.
Ainsi, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty$ et $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty$.
La droite d'équation $x = 2$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
Détermination des limites en $+\infty$ et $-\infty$ :
Pour $x \to \pm\infty$, $f(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + 7x - 5}{(x - 2)^2} = \frac{x^3 - 4x^2 + 7x - 5}{x^2 - 4x + 4}$.
En tant que fonction rationnelle, la limite est celle du rapport des termes de plus haut degré :
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty$.
Démonstration de l'asymptote oblique $y = x$ :
On doit d'abord calculer $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$.
$\frac{f(x)}{x} = \frac{x^3 - 4x^2 + 7x - 5}{x(x - 2)^2} = \frac{x^3 - 4x^2 + 7x - 5}{x(x^2 - 4x + 4)} = \frac{x^3 - 4x^2 + 7x - 5}{x^3 - 4x^2 + 4x}$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^3} = 1$. Donc $m = 1$.
Ensuite, on calcule $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - x)$.
$f(x) - x = \frac{x^3 - 4x^2 + 7x - 5}{(x - 2)^2} - x = \frac{x^3 - 4x^2 + 7x - 5 - x(x - 2)^2}{(x - 2)^2}$.
$x(x - 2)^2 = x(x^2 - 4x + 4) = x^3 - 4x^2 + 4x$.
Donc, $f(x) - x = \frac{x^3 - 4x^2 + 7x - 5 - (x^3 - 4x^2 + 4x)}{(x - 2)^2} = \frac{x^3 - 4x^2 + 7x - 5 - x^3 + 4x^2 - 4x}{(x - 2)^2} = \frac{3x - 5}{(x - 2)^2}$.
$\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x - 5}{(x - 2)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3}{x} = 0$. Donc $p = 0$.
Puisque $m=1$ et $p=0$, la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1x + 0$, soit $y = x$, est bien une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction a une asymptote horizontale ou oblique ?

Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (un réel), il y a une asymptote horizontale $y=L$. Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$, il faut chercher une asymptote oblique en calculant $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$. Si cette limite est un réel $m \neq 0$, on continue la recherche d'une asymptote oblique $y=mx+p$ en calculant $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = p$.

Qu'est-ce qu'une branche parabolique ?

Une branche parabolique est un type de branche infinie où la courbe de la fonction tend vers l'infini sans se rapprocher d'une droite (ni horizontale, ni verticale, ni oblique). Elle se "courbe" dans une direction particulière. Par exemple, si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ et $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, la branche parabolique est de direction l'axe des abscisses.

Une fonction peut-elle avoir plusieurs asymptotes ?

Oui, une fonction peut avoir plusieurs asymptotes. Par exemple, une asymptote verticale, et une asymptote horizontale différente en $+\infty$ et en $-\infty$ (ou une asymptote oblique). Une fonction rationnelle peut avoir une asymptote verticale et une asymptote horizontale ou oblique.

Est-il nécessaire de factoriser le numérateur et le dénominateur pour trouver les limites ?

Pour les fonctions rationnelles, pour les limites en $\pm\infty$, il suffit de considérer le rapport des termes de plus haut degré. Pour les limites en un réel $a$ qui annule le dénominateur, il est crucial de déterminer le signe du dénominateur (par exemple, en factorisant ou en étudiant le signe d'un polynôme) pour savoir si la limite est $+\infty$ ou $-\infty$.

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