Limite d'une fonction en un point : définition et calcul – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Soit $I$ un intervalle et $a$ un réel de $I$ ou une borne de $I$. Soit $f$ une fonction définie sur $I$. On dit que $f$ admet pour limite $L$ en $a$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$. On note alors $\lim_{x \to a} f(x) = L$. Si $L$ est infini, on parle de limite infinie. Si $a$ est infini, on parle de limite à l'infini. Les limites peuvent être à gauche ou à droite de $a$.

💡 Bon réflexe : Face à une limite, toujours évaluer d'abord pour identifier une éventuelle forme indéterminée, puis choisir la bonne technique (factorisation, conjugué, croissances comparées).

Méthode — Limite d'une fonction en un point : définition et calcul

1. Identification du type de limite

Déterminer si la limite est en un réel $a$ (fini) ou à l'infini ($+\infty$ ou $-\infty$). Identifier si la fonction est polynomiale, rationnelle, exponentielle, logarithmique ou trigonométrique.

2. Application des limites de référence et opérations

Utiliser les limites des fonctions usuelles (ex: $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$, $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$) et les règles d'opérations sur les limites (somme, produit, quotient, composition). Attention aux formes indéterminées.

3. Gestion des formes indéterminées

Si une forme indéterminée ($+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$) apparaît, il faut manipuler l'expression de la fonction. Les techniques courantes incluent la factorisation par le terme de plus haut degré (pour les polynômes et fractions rationnelles), la multiplication par l'expression conjuguée, ou l'utilisation des croissances comparées.

4. Utilisation des théorèmes de comparaison ou d'encadrement

Si la fonction est difficile à manipuler directement, on peut utiliser le théorème des gendarmes (pour l'encadrement) ou les théorèmes de comparaison (pour les limites infinies) si la fonction peut être encadrée ou comparée à des fonctions dont la limite est connue.

5. Vérification et rédaction

Après le calcul, vérifier la cohérence du résultat. Rédiger clairement chaque étape du calcul en justifiant l'utilisation des règles et théorèmes.

Exemple résolu

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5}$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$
$\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^3)$

Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5}$

Il s'agit d'une limite de fonction rationnelle en $+\infty$. On factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré :
$\frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5} = \frac{x^2(2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{5}{x^2})} = \frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}}$
Lorsque $x \to +\infty$, on a $\frac{3}{x} \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to 0$ et $\frac{5}{x^2} \to 0$.
Donc $\lim_{x \to +\infty} (2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}) = 2$ et $\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{5}{x^2}) = 1$.
Par quotient des limites, $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5} = \frac{2}{1} = 2$.

Calcul de $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$

Lorsque $x \to 0$, le numérateur tend vers $\sqrt{0+1} - 1 = 1 - 1 = 0$ et le dénominateur tend vers $0$. C'est une forme indéterminée de type $\frac{0}{0}$.
On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur :
$\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{(\sqrt{x+1} - 1)(\sqrt{x+1} + 1)}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{(x+1) - 1^2}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$
Pour $x \neq 0$, on peut simplifier par $x$ :
$\frac{1}{\sqrt{x+1} + 1}$
Lorsque $x \to 0$, le dénominateur tend vers $\sqrt{0+1} + 1 = 1 + 1 = 2$.
Donc $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{1}{2}$.

Calcul de $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^3)$

Lorsque $x \to +\infty$, $e^x \to +\infty$ et $x^3 \to +\infty$. C'est une forme indéterminée de type $+\infty - \infty$.
On factorise par le terme prépondérant, ici $e^x$ (croissances comparées) :
$e^x - x^3 = e^x(1 - \frac{x^3}{e^x})$
D'après le théorème des croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{e^x} = 0$.
Donc $\lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{x^3}{e^x}) = 1 - 0 = 1$.
Comme $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$, par produit des limites, $\lim_{x \to +\infty} e^x(1 - \frac{x^3}{e^x}) = +\infty \times 1 = +\infty$.

Les limites calculées sont :
1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + 5} = 2$
2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{1}{2}$
3. $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^3) = +\infty$

⚠️ Piège fréquent au BAC — Formes indéterminées mal gérées

Oublier de factoriser par le terme de plus haut degré pour les fonctions rationnelles ou les polynômes à l'infini.
Ne pas reconnaître une forme indéterminée et appliquer les règles d'opérations directement, menant à un résultat faux.
Ne pas utiliser l'expression conjuguée pour les formes indéterminées impliquant des racines carrées.
Confondre les croissances comparées et ne pas savoir quel terme est prépondérant (ex: $e^x$ l'emporte sur $x^n$ en $+\infty$, $\ln(x)$ est moins fort que $x^n$ en $+\infty$).

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln(x)}{x} + x - 1$.

Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$.
Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Montrer que la droite $D$ d'équation $y = x - 1$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.

Calcul de $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ :
On a $f(x) = \frac{\ln(x)}{x} + x - 1$.
On étudie chaque terme :
- $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
- $\lim_{x \to 0^+} x = 0^+$
Par quotient, $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = -\infty$.
De plus, $\lim_{x \to 0^+} (x - 1) = 0 - 1 = -1$.
Par somme des limites, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty + (-1) = -\infty$.
Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ :
On a $f(x) = \frac{\ln(x)}{x} + x - 1$.
On étudie chaque terme :
- D'après le théorème des croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
- $\lim_{x \to +\infty} (x - 1) = +\infty$.
Par somme des limites, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 + (+\infty) = +\infty$.
Montrer que la droite $D$ d'équation $y = x - 1$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$ :
Pour montrer qu'une droite $y = ax + b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+\infty$, il faut montrer que $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$.
Ici, $ax+b = x-1$.
Calculons $f(x) - (x-1)$ :
$f(x) - (x-1) = \left(\frac{\ln(x)}{x} + x - 1\right) - (x - 1)$
$f(x) - (x-1) = \frac{\ln(x)}{x} + x - 1 - x + 1$
$f(x) - (x-1) = \frac{\ln(x)}{x}$
Nous avons calculé précédemment que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (par croissances comparées).
Puisque $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (x-1)) = 0$, la droite $D$ d'équation $y = x - 1$ est bien une asymptote oblique à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une forme indéterminée ?

Une forme indéterminée est une situation où l'application directe des règles d'opérations sur les limites ne permet pas de conclure sur la valeur de la limite. Les quatre formes indéterminées principales sont : $$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, +\infty - \infty, 0 \times \infty$$

Comment lever une forme indéterminée de type $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\frac{0}{0}$ pour les fonctions rationnelles ?

Pour les fonctions rationnelles (rapport de polynômes) en $+\infty$ ou $-\infty$, on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré. Pour les limites en un point $a$ où l'on obtient $\frac{0}{0}$, on peut souvent factoriser par $(x-a)$ au numérateur et au dénominateur, puis simplifier.

Quand utilise-t-on les croissances comparées ?

Les croissances comparées sont utilisées pour lever des formes indéterminées impliquant des fonctions exponentielles, logarithmiques et puissances en $+\infty$ ou $0$. Par exemple, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$.

Qu'est-ce qu'une asymptote oblique et comment la trouver ?

Une droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à la courbe représentative d'une fonction $f$ en $+\infty$ (ou $-\infty$) si $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$. Pour la trouver, on calcule d'abord $a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, puis $b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax)$.

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