Définition
Les croissances comparées permettent de déterminer la limite d'expressions indéterminées de la forme $\frac{f(n)}{g(n)}$ ou $f(n) × g(n)$ lorsque $n \to +\infty$. Pour les suites, la propriété fondamentale est que l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $n$, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $k \geq 1$, $\lim_{n\to+\infty} \frac{e^n}{n^k} = +\infty$ et $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^k}{e^n} = 0$.
Méthode — Croissances comparées : exp(n) domine n^k
Identifier la forme indéterminée
Avant d'appliquer les croissances comparées, il est crucial de reconnaître une forme indéterminée du type $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$, $0 × \infty$, ou $\infty - \infty$. Si la limite est directe, les croissances comparées ne sont pas nécessaires.
Mettre en évidence les termes dominants
Factoriser l'expression par le terme qui "croît le plus vite" au numérateur et au dénominateur. Cela permet de faire apparaître des quotients de la forme $\frac{e^n}{n^k}$ ou $\frac{n^k}{e^n}$.
Appliquer la propriété des croissances comparées
Utiliser la propriété fondamentale : pour tout entier naturel $k \geq 1$, $\lim_{n\to+\infty} \frac{e^n}{n^k} = +\infty$ et $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^k}{e^n} = 0$. On peut aussi utiliser la forme équivalente avec $\ln(n)$ : pour tout $k \geq 1$, $\lim_{n\to+\infty} \frac{\ln(n)}{n^k} = 0$ et $\lim_{n\to+\infty} n^k \ln(n) = +\infty$.
Conclure sur la limite de l'expression
Après avoir appliqué les croissances comparées, simplifier l'expression et calculer la limite des termes restants. La limite finale sera souvent $0$, $+\infty$, ou $-\infty$.
Exemple résolu
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \frac{e^n + n^2}{n^3 + 2e^n}$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n \to +\infty$.
Ainsi, $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{e^n} = 0$ et $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^3}{e^n} = 0$.
La limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n \to +\infty$ est $\frac{1}{2}$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Oublier la factorisation
- Ne pas factoriser par le terme dominant avant d'appliquer les croissances comparées, ce qui peut mener à des erreurs de calcul ou à ne pas voir la forme simplifiée.
- Confondre les ordres de croissance : penser que $n^k$ domine $e^n$, ou que $\ln(n)$ domine $n^k$. Toujours se rappeler que $e^n$ domine $n^k$, qui domine $\ln(n)$.
- Appliquer les croissances comparées à des termes isolés sans avoir transformé l'expression globale pour lever l'indétermination.
Exercice type BAC
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 0$ par $u_n = \frac{e^{2n} - n^4}{e^{2n} + n^2 \ln(n+1)}$.
- Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n \to +\infty$.
- On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par $v_n = n^2 e^{-n}$. Montrer que $\lim_{n\to+\infty} v_n = 0$.
- En déduire la limite de la suite $(w_n)$ définie par $w_n = \frac{n^2}{e^n + 1}$ lorsque $n \to +\infty$.
Pour déterminer la limite de $u_n = \frac{e^{2n} - n^4}{e^{2n} + n^2 \ln(n+1)}$ lorsque $n \to +\infty$ :
Lorsque $n \to +\infty$, $e^{2n} \to +\infty$, $n^4 \to +\infty$, $n^2 \ln(n+1) \to +\infty$. On a une forme indéterminée du type $\frac{\infty}{\infty}$.
Factorisons par le terme dominant au numérateur et au dénominateur, qui est $e^{2n}$ :$$u_n = \frac{e^{2n} \left(1 - \frac{n^4}{e^{2n}}\right)}{e^{2n} \left(1 + \frac{n^2 \ln(n+1)}{e^{2n}}\right)} = \frac{1 - \frac{n^4}{e^{2n}}}{1 + \frac{n^2 \ln(n+1)}{e^{2n}}}$$
D'après les croissances comparées, $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^k}{e^n} = 0$ pour tout $k \geq 1$. Par conséquent, $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^4}{e^{2n}} = 0$ (car $e^{2n} = (e^n)^2$ croît encore plus vite que $e^n$).
Pour le terme $\frac{n^2 \ln(n+1)}{e^{2n}}$, on peut l'écrire $\frac{n^2}{e^n} \times \frac{\ln(n+1)}{e^n}$.
On sait que $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{e^n} = 0$.
De plus, $\lim_{n\to+\infty} \frac{\ln(n+1)}{e^n} = 0$ car $\ln(n+1)$ croît beaucoup moins vite que $e^n$.
Donc, par produit de limites, $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^2 \ln(n+1)}{e^{2n}} = 0 \times 0 = 0$.En substituant ces limites dans l'expression de $u_n$ :$$\lim_{n\to+\infty} u_n = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$
Pour montrer que $\lim_{n\to+\infty} v_n = 0$ avec $v_n = n^2 e^{-n}$ :
On peut réécrire $v_n = \frac{n^2}{e^n}$.
D'après la propriété des croissances comparées, pour tout entier naturel $k \geq 1$, $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^k}{e^n} = 0$.
En prenant $k=2$, on a directement $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{e^n} = 0$.
Donc, $\lim_{n\to+\infty} v_n = 0$.
Pour déduire la limite de la suite $(w_n)$ définie par $w_n = \frac{n^2}{e^n + 1}$ :
Lorsque $n \to +\infty$, le numérateur $n^2 \to +\infty$ et le dénominateur $e^n + 1 \to +\infty$. On a une forme indéterminée du type $\frac{\infty}{\infty}$.
Factorisons le dénominateur par $e^n$ :$$w_n = \frac{n^2}{e^n \left(1 + \frac{1}{e^n}\right)} = \frac{n^2}{e^n} \times \frac{1}{1 + \frac{1}{e^n}}$$
Nous avons montré à la question précédente que $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{e^n} = 0$.
De plus, $\lim_{n\to+\infty} e^n = +\infty$, donc $\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{e^n} = 0$.
Par conséquent, $\lim_{n\to+\infty} \left(1 + \frac{1}{e^n}\right) = 1 + 0 = 1$.
En utilisant le produit des limites :$$\lim_{n\to+\infty} w_n = \left(\lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{e^n}\right) \times \left(\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{e^n}}\right) = 0 \times \frac{1}{1} = 0$$
Donc, $\lim_{n\to+\infty} w_n = 0$.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que cela signifie que 'l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $n$' ?
Les croissances comparées s'appliquent-elles aussi aux fonctions continues ?
Y a-t-il d'autres types de croissances comparées à connaître ?
Comment gérer les expressions avec $e^{-n}$ ?
Pour aller plus loin
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