Limites & Continuité · Fiche N°37 / 110

Prolongement par continuité

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel n'appartenant pas à $I$ mais étant une borne de $I$. Si $f$ admet une limite finie $L$ en $a$, alors on peut prolonger $f$ par continuité en $a$ en définissant une nouvelle fonction $\tilde{f}$ sur $I \cup \{a\}$ telle que $\tilde{f}(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ et $\tilde{f}(a) = L$. La fonction $\tilde{f}$ est alors continue en $a$.

💡 Bon réflexe : Pour un prolongement par continuité, toujours calculer la limite au point 'problématique' : si elle est finie, le prolongement est possible et sa valeur est cette limite.
xyO1f(x) = sin(x)/xOn pose f(0)=1 → f continue en 0

Méthode — Prolongement par continuité

1

Identifier le point de prolongement

Déterminer le point $a$ où la fonction $f$ n'est pas définie mais où l'on souhaite étudier un prolongement par continuité. Ce point est généralement une valeur interdite du domaine de définition de $f$, souvent une valeur qui annule un dénominateur ou rend indéterminée une expression.

2

Calculer la limite de la fonction en ce point

Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$. Si cette limite est finie et égale à $L$, alors un prolongement par continuité est possible. Si la limite est infinie ou n'existe pas, le prolongement par continuité n'est pas possible en ce point.

3

Définir la fonction prolongée

Si la limite $L$ est finie, définir la fonction prolongée $\tilde{f}$ comme suit : $$\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \in D_f \ L & \text{si } x = a \end{cases}$$ où $D_f$ est le domaine de définition de $f$.

4

Vérifier la continuité

Par construction, la fonction $\tilde{f}$ est continue en $a$ puisque $\lim_{x \to a} \tilde{f}(x) = \lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\tilde{f}(a) = L$. Il est important de s'assurer que $f$ est déjà continue sur son domaine de définition pour que $\tilde{f}$ soit continue sur $D_f \cup \{a\}$.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie pour $x \neq 1$ par $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. Montrer que $f$ peut être prolongée par continuité en $x=1$ et donner l'expression de la fonction prolongée.

1
Identifier le point de prolongement
La fonction $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ n'est pas définie en $x=1$ car le dénominateur s'annule. C'est donc le point $a=1$ où nous allons chercher à prolonger la fonction par continuité.
2
Calculer la limite de la fonction en ce point
Nous calculons la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$.
Pour $x \neq 1$, on peut factoriser le numérateur : $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Ainsi, $f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ pour $x \neq 1$.
Calculons la limite : $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$$ La limite est finie et égale à $L=2$.
3
Définir la fonction prolongée
Puisque la limite est finie, la fonction $f$ peut être prolongée par continuité en $x=1$. La fonction prolongée $\tilde{f}$ est définie par : $$\tilde{f}(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x \neq 1 \ 2 & \text{si } x = 1 \end{cases}$$
4
Simplifier l'expression de la fonction prolongée
On peut simplifier l'expression de $\tilde{f}(x)$. Pour $x \neq 1$, nous avons montré que $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$.
Donc, la fonction prolongée peut s'écrire de manière plus simple : $$\tilde{f}(x) = x + 1$$ Cette fonction est définie et continue sur $\mathbb{R}$.

La fonction $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ peut être prolongée par continuité en $x=1$. La fonction prolongée est $\tilde{f}(x) = x+1$, définie sur $\mathbb{R}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Limite infinie

  1. Oublier de vérifier que la limite est finie : si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$, alors il n'y a pas de prolongement par continuité possible en $a$.
  2. Ne pas simplifier l'expression de la fonction avant de calculer la limite, ce qui peut mener à une forme indéterminée non résolue.
  3. Confondre le prolongement par continuité avec le fait qu'une fonction soit définie en un point. Le prolongement est une extension de la définition de la fonction.

Exercice type BAC

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $g(x) = \frac{\sin(x)}{x}$.

  1. Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
  2. La fonction $g$ peut-elle être prolongée par continuité en $x=0$ ? Si oui, donner l'expression de la fonction prolongée $\tilde{g}$.
  3. Justifier la continuité de la fonction $\tilde{g}$ sur son nouvel ensemble de définition.

  1. Calculons la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.

    Nous savons que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$. C'est une limite de référence à connaître.

    Donc, $\lim_{x \to 0} g(x) = 1$.

  2. Puisque la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ est finie (elle est égale à $1$), la fonction $g$ peut être prolongée par continuité en $x=0$.

    La fonction prolongée $\tilde{g}$ est définie par :

    $$\tilde{g}(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{si } x \neq 0 \ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

  3. Justifions la continuité de $\tilde{g}$ sur son nouvel ensemble de définition.

    • Pour $x \neq 0$, la fonction $\tilde{g}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ est le quotient de deux fonctions continues (la fonction sinus et la fonction identité), dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}^*$. Donc $\tilde{g}$ est continue sur $\mathbb{R}^*$.
    • En $x=0$, nous avons par définition $\tilde{g}(0) = 1$. De plus, nous avons calculé $\lim_{x \to 0} \tilde{g}(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$.
      Puisque $\lim_{x \to 0} \tilde{g}(x) = \tilde{g}(0)$, la fonction $\tilde{g}$ est continue en $x=0$.

    En conclusion, la fonction $\tilde{g}$ est continue sur $\mathbb{R}^* \cup \{0\}$, c'est-à-dire sur $\mathbb{R}$.

Questions fréquentes

Pourquoi parle-t-on de 'prolongement' ?
On parle de prolongement car la nouvelle fonction $\tilde{f}$ 'étend' le domaine de définition de la fonction originale $f$ à un point où elle n'était pas définie, tout en conservant la propriété de continuité en ce point. C'est comme si on 'bouchait un trou' dans la courbe représentative de $f$ pour la rendre continue.
Est-ce que toutes les fonctions peuvent être prolongées par continuité ?
Non, seules les fonctions qui admettent une limite finie $L$ au point où l'on souhaite prolonger peuvent l'être. Si la limite est infinie (par exemple, $f(x) = \frac{1}{x}$ en $x=0$) ou si la limite n'existe pas, le prolongement par continuité n'est pas possible.
Quelle est la différence entre une fonction continue et une fonction prolongeable par continuité ?
Une fonction est continue en un point $a$ si elle est définie en $a$ et si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Une fonction est prolongeable par continuité en $a$ si elle n'est pas définie en $a$ mais que $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et est finie. Le prolongement consiste alors à définir la valeur de la fonction en $a$ pour la rendre continue.
Le prolongement par continuité est-il unique ?
Oui, si un prolongement par continuité existe en un point $a$, il est unique. La valeur que l'on doit attribuer à la fonction en $a$ est nécessairement la limite finie de la fonction en ce point.

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